【正文】 或0，故0。,02202200????????????????????zzgrpgzgzrpzgCCgzpzzyx????? 429 圖示一平面孔口流動(dòng)（即狹長縫隙流動(dòng)），因孔口尺寸較小，孔口附近的流場可 以用平面點(diǎn)匯表示，點(diǎn)匯位于孔口中心。已知孔口的作用水頭 H=5m，單寬出流流量 smLq 20? ，求圖中 a點(diǎn)的流速大小、方向和壓強(qiáng)。 解 小孔口流動(dòng)相當(dāng)于強(qiáng)度 2q 的平面點(diǎn)匯流動(dòng)。根據(jù)平面點(diǎn)匯流動(dòng)的流速公式，有 smsmrqumraurquaraar0 0 2 521020222該處的流速的大小為,521點(diǎn)，在0,22322??????????????? ? 流速方向沿著 a點(diǎn)與孔口中心連線的方向。 在過 a點(diǎn)連線上，自由面與 a點(diǎn)之間的伯努利方程為 022 zgugpz raa ??? ?其中 0z 表 示 自 由 面 高 程 ， p 表示 a 點(diǎn) 的 壓 強(qiáng) 。 將10 ??? Hzz a 代 入 上 式 ， 得mmgguHgp ra 620 0 1 22 ??????? ??????? 故 a 點(diǎn)壓強(qiáng)為 6m 水柱高。 430 完全自水流井汲水時(shí)產(chǎn)生的滲流場可以用平面點(diǎn)匯流動(dòng)求解。圖示自流井位于鉛直不透水墻附近，滲流場為圖示兩個(gè)點(diǎn)匯的疊加，兩者以不透水墻為對稱面。求汲水流量 smQ 31? 時(shí)，流動(dòng)的勢函數(shù) ? ，以及沿壁面上的流速分布。 解 該滲流場相當(dāng)于（ 2， 0） 點(diǎn)上強(qiáng)度 Q 的點(diǎn)匯和 （ +2， 0）點(diǎn)上強(qiáng)度 Q的點(diǎn)匯的疊加。對于 x=a 處的點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流場，有 29 流函數(shù) ??? 2 11Q?? ；勢函數(shù)11 ln2 rQ?? ?? 對于在 x=a處的點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流場，有 流函數(shù) ??? 2 22Q?? ；勢函數(shù)22 ln2 rQ???? 根 據(jù) 勢 流 疊 加 原 理 ， 兩 個(gè) 點(diǎn) 匯 疊 加 誘 導(dǎo) 的 流 場 中 任 一 點(diǎn) P （ x ， y ） 處 的 流 函 數(shù) 、 勢 函 數(shù) 分 別 為? ?? ? ? ?? ?? ?? ? ? ?2222222221112112132121212121422 時(shí)，有=1 、a=當(dāng)Q20,u0 壁面上，有=根據(jù)對稱性，在xtantan2壁面上流函數(shù)值為tan,tan0 壁面上，有=。在x ln21 時(shí)，有 s1mQ當(dāng) ln2lnln22yyyyyaQyyayyayQxaxyaxyQaxyaxyrrrrQrr????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????431 圖示一盛 水圓桶底中心有一小孔口，孔口出流時(shí)桶內(nèi)水體的運(yùn)動(dòng)可以由蘭金渦近似，其流速分布如圖所示：中心部分? ?0rr ? 為有旋流動(dòng) ? ? rru ?? ，外部 ? ?0rr ? 為 有 勢 流 動(dòng) ? ? rruru /00? ，其中 ? ?00 rruu ?? 。設(shè)孔口尺寸很小 , 0r 也很小，圓桶壁面上的流速? ? 0??? Rruu R ， 流動(dòng)是恒定的。（ 1）求速度環(huán)量 ? 的徑向分布；（ 2）求水面的形狀 解（ 1）速度環(huán)量 ?? rdu ??? ? 20 。對中心部分 ? ?0rr ? 的流速分布式 ? ? rru ?? 30 積分，得 2220 2 rdr ????? ??? ? 對外部 ? ?0rr ? 的流速分布式 ? ? rruru /00?積分，得 000020 2 urrdurr ??? ??? ? （ 2 ） 在 外 部 ? ?0rr ? ， 依 據(jù) 無 旋 流 動(dòng) 的 伯 諾 里 方 程 ， 對 任 意 點(diǎn) 均 有常數(shù)2 12 ???? Cgugpz ? 自由面上 0?p ，代入上式，得自由面方程 122 Cguz ?? 利用桶壁條件 ? ? HCHzRruu R ????? 1得常數(shù),和0 故自由面方程可寫成 0,21 200 rrHrurgz ??????????? (a) 在中心部分 ? ?0rr ? 的有旋流動(dòng)是一個(gè)柱狀強(qiáng)迫渦， 其 流速分布 ? ? rru ?? 與 習(xí) 題 428 直 立 圓 桶 繞 中 心 鉛 直 軸 等 速 運(yùn) 動(dòng) 的 流 速 分 布 為 速 度 分 布 為xyu ??? ??? 和 完 全 相 同 。 由 習(xí) 題 428 知 ， 自 由 面 方 程 可 寫 成? ? ? ? 002 ,021 rrzzgrg ????? (b) 為了確定 r=0 處自由面高程 00 將, rrz ? 代入（ a）、（ b） 兩式，消去 z，得 Hz ?0 。故式（ b）可改成 ? ? ? ? 002 ,021 rrzzgrg ????? 式（ a）和（ c）就是要求解的自由水面方程。 432 偶極子是等強(qiáng)度源和匯的組合，如圖 a 所示：點(diǎn)源位于 ? ?0,2????x 點(diǎn)源強(qiáng)度為 Q0。點(diǎn)匯位于? ?0,2????x ，強(qiáng)度為 Q0。點(diǎn)源與電匯疊加后 ,當(dāng)偶極子強(qiáng)度 QM ?? 為有限值、而取0?? 時(shí)，就得到式（ 475）中偶極子的勢函數(shù)和流函數(shù)。試?yán)门紭O子與均勻平行流疊加的方法（圖 b），導(dǎo)出圓柱 31 繞流的流速分布（可參見習(xí)題 426）。 解 先推到偶極子的勢函數(shù)。根據(jù)疊加原理，圖（ a）位于 ?? xx 的點(diǎn)源和位于 ?? xx 的點(diǎn)匯誘導(dǎo)的流速勢可寫成 212121 ln2ln2ln2 rrQrQrQ?????? ????? 其 中 ， 從 點(diǎn) 源 ? ?0,2?? 和點(diǎn)匯 ? ?0,2?? 到 P （ x ， y ） 的 失 徑 分 別 為? ? ? ? 222221 2/,2/ yxryxr ?????? ?? 故 ， 流 速 勢 可 寫 成? ?? ?? ?? ?222222222/2/ln42/2/ln2 yxyxQyxyxQ????????????????? ? ?? ? ? ?? ?2222022222124，得偶極子的流速勢0。取極限令2ln2ln4l i myxMxyxxMQMyxyxQM?????????????? ???????????? 再推導(dǎo)均勻平行流場與偶極子疊加，均勻平行流場的速度勢為 xU ??0? ，依據(jù)疊加原理，它與偶極子疊加后誘導(dǎo)的 流 速 勢 可 寫 成? ? ? ? xyx UMUxUyx Mxyx M ?????? ???????? ??? 122 1, 22220 ?????仿 照 式 （ 477 ） ， 令22 2 UMa??, 代 入 上 式 ， 得 圓 柱 繞 流 的 流 速 勢? ? ?? cos1, 222 ?? ???????? ?????????? ?? UrraxUrayx 依據(jù)式（ 466）得圓柱繞流的的各速度分量 ? ?????? ? sin11,cos1 2222 ????????? ????????????? ?????? ? rrarruUraru r 32 證畢。 433 在圓柱繞流流場上再疊加上一個(gè)位于原點(diǎn)的順時(shí)針點(diǎn)渦，得到有環(huán)量的圓柱繞流，如圖示。（ 1）當(dāng) ??? aU?4時(shí)，圓柱表面上的兩個(gè)滯留點(diǎn)重合。求過滯留點(diǎn)的兩條流線方程；（ 2）采用圓柱表面壓強(qiáng)積分的方法，試推導(dǎo)出升力公式；（ 3）??? aU?4 ，試確定滯留點(diǎn)位置。 解 由式（ 479）寫出有環(huán)量的圓柱繞流的流函數(shù) l nr2s i n)(),( 2 πIrarUyx ???? ? ?? （ a） 依據(jù)式（ 466），得各速度分量 r2s i n)1(c os)1(12222πIraUuraUru r?????????????????????? （ 1） 求當(dāng) I=4π a ?U 時(shí)過滯留點(diǎn)的流線方程。將 ）代入式（、 cr0u a??? 得滯留點(diǎn)滿足的方程?? ????? aU4s i n0a2s i n2 π或πIIU ?? 一起。，即兩個(gè)滯留點(diǎn)重合到π，π時(shí)，有π當(dāng)ππ和π面上的兩個(gè)滯留點(diǎn)值有兩個(gè)，它們是下表滿足該式的22aU4IaU4Is i naU4Is i n21211???????????????????? 線。），故上式代表兩條流π（因?yàn)椋é校ǚ匠坛?shù)”的性質(zhì)，得流線），（）和同一流線上“利用流函數(shù)表達(dá)式（）（），（），得代入式（π和值，將兩條流線的為了得出通過滯留點(diǎn)的?????????????????????????s i ns i na l n a1U2l n r2Is i nrarUyxaa l n a1U2yxaaU4I1s i n2（ 2）推到升力公式。在圓柱面上，有 r=a。代入帶式（ b）（ c） 得 gugpgUgpIUuur22a2s i n2,022??????????????根據(jù)伯諾里方程π 圓柱面上的壓強(qiáng)為 22 a2 Is i nU22/U2/1pp ）π（ ???? ??? ??? 33 積分該式，得圓柱受到的流暢作用力 ? ???? ?????????π ππ）π（）（的升力向量分量就是圓柱受到其，）（2022y20IUada2 Is i nU22/adpPyj s i ni c o snnadp????????P 0zU2s i nz1U0u0c o sz1U0rucb1,14Ir0u0u0uaraU4IrU4s i naU4Iar0r2Is i nra1Uc0uaU4I22r22???????????????????????????????????????????????）（：）（）（：）（）兩式，得）（由（π的滯留點(diǎn)。為此令到圓柱外滿足構(gòu)成的方程組，才能找和，必須求解上出現(xiàn)時(shí)，不可能在π這說明，當(dāng)ππ代入上式，得若將柱面條件π）（），得代入到式（時(shí)滯留點(diǎn)的位置。將π確定razaUa、 2/1aU4IaU4Ira,111z01z2ze1s i n2/0co sd222π和）π（π故得兩個(gè)滯點(diǎn)條件”才有意義只有取“和因?yàn)閳A柱外的滯點(diǎn)滿足可解出），得式（代入。將π，即滯點(diǎn)位于）中可解出從式（????????????????????????????z 434 設(shè)水平放置的 090 彎管如圖所示，內(nèi)外壁位于半徑分別為 mmrmmr 40 0和20 0 21 ?? 的同 34 心圓上。若軸向流速 ??ru 的斷面分布與自由渦相同，軸線流速 ? ? smru 20 ? ，（ 1）求水流通過時(shí)彎管內(nèi)外壁之壓差；（ 2）驗(yàn)證流體的總機(jī)械能在彎管內(nèi)外壁處相等。 解： （ 1）寫出自由渦的流速分布