【正文】 21 6 0 0 ??? ，即 BC8592? ，因此， BC 等于 74，所以 B=7， C=4，所以所求的三位數(shù)是 874。 12．如圖 5，作 B 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) B′，連結(jié) AB′ ， 則 N 關(guān)于 AC 的對(duì)稱點(diǎn) N′在 AB′上，過(guò) B 作 AB′的垂線，垂足為 H′，則 BM+MN=BM+MN′≥ BH′，即 BM+MN 的最小值為 BH′。 設(shè) AB′交 CD 于點(diǎn) P，連結(jié) BP，則△ ABP 的面積等于 100102021 ??? ，由 AB∥ CD 及由對(duì)稱性知∠ PAC=∠ PCA， ∴ AP=PC，設(shè) AP=PC=x，則 DP=20x，根據(jù)勾股定理，得 222 10)20( ??? xx ，解得 x=。 又 20222139。21 ???? BHAP ， ∴ 39。 ??BH 。 故 BM+MN 的最小值是 16。 13．如圖 6，過(guò) C 作 ED 延長(zhǎng)線的垂線，交于 F，過(guò) B 作 EA 延長(zhǎng)線的垂線，交于 H。 HB 的延長(zhǎng)線和 FC 的延長(zhǎng)線交于 G。易證 Rt△ CFD≌ Rt△ DEA≌ Rt△ AHB≌ Rt△ BGC， ∴四邊形 EHGF 也是正方形， P 也是正方形 EHGF 的中心。 ∴ PE 平分∠ DEA。 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 41 分式 經(jīng)驗(yàn)談： 分式 常常因?yàn)槠鋸?fù)雜的結(jié)構(gòu)使人望而生畏，成為考試中的難點(diǎn)。靈活的運(yùn)用相關(guān)的方法是解決這類問(wèn)題的唯一途徑 加之以靈巧的 拔 ，通過(guò)分析來(lái)例證，則可以使分式悄然變成考試中的亮點(diǎn)。 【內(nèi)容綜述】 一般地，有 A， B表示兩個(gè)整式，則式子 就叫做分式，注意 B有兩點(diǎn)要求：① B中含有字母，②B≠0 。 要解決有關(guān)分式的問(wèn)題，就必須準(zhǔn)確掌握分式的概念，分式的基本性質(zhì)、分式的四則運(yùn)算等知識(shí)，本講主要講述分式的變形和求值的技巧。 【要點(diǎn)講解】 ★★ 例 1 已知 a,b為整數(shù)，且滿足（ ）（ ） 。 求 a+b 的值。 思路 先把已知等式的左邊化簡(jiǎn)，然后考慮求出 、 b的值。 解 左邊 = = = = 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 42 =4 而 a,b為整數(shù)且不相等，故 3b2,3a2只可能取值 1， 4或 1， ba, 則 ① 或 ② 容易得出②無(wú)整數(shù)解，①的解為 b=1,a=2. ★★ 例 2 已知 a,b,c為非零實(shí)靈敏，且 求 。 思路應(yīng)設(shè)法由已知關(guān)系式找出 a、 b、 c之間的關(guān)系，然后再求值。 解設(shè) 三式相加得 說(shuō)明 當(dāng)已知條件以連比的形式出現(xiàn)時(shí)，可引進(jìn)一個(gè)參數(shù)來(lái)表示這個(gè)連比，從而將條件分式轉(zhuǎn)化為整式。 ★★★ 例 3 將分式 化為部分分式。 思路由于 故可利用待定系數(shù)法，為使兩個(gè)部分分式之和的分式的分子為 , 則其中每個(gè)部分分式的分子應(yīng)為常數(shù)。 解因?yàn)?，于是可設(shè) 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 43 得 即 比較系數(shù)，得 解得 A=1， B=2，所以 原式＝ 說(shuō)明 將一個(gè)真分式表示成若干個(gè)真分式的代數(shù)和的恒等變形叫做將分式化為部分分式，待定系數(shù)法是化部分分式的常用方法。這種變形在有關(guān)分式計(jì)算等方面運(yùn)用較多。 ★★★ 例 4 化簡(jiǎn) ?? + . 思路先研究通項(xiàng) 的分解變形情況 . 解設(shè) (k=1,2,? 1999).則 即 比較系數(shù) ,得 解得 A=1,B=1,所以 原式 = ?? 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 44 變形 ⑴化簡(jiǎn) ?? ⑵化簡(jiǎn) ?? 請(qǐng)同學(xué)們依照例題自己完成上面這兩道小題 . ★★★ 例 5 已知 ,求 . 解 . . . 說(shuō)明：由 的數(shù)值求出 的方法在運(yùn)算中經(jīng)常用到，希望同學(xué)們能熟練地掌握它們之間的關(guān)系。 ★★★ 例６ 求證 無(wú)論ａ為什么整數(shù)，分式 均不可約。 思路：可先證明公式 證明 ＝ 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 45 ＝ 因?yàn)闊o(wú)論ａ為什么整數(shù)，有 ，所以 不可約。 是不可約的。 是不可約的。 說(shuō)明 對(duì)于某些非零代數(shù)式來(lái)說(shuō)，如果從取倒數(shù)的角度來(lái)分析，有可能揭示出一些內(nèi)在的特征，從而找到解題的突破口。 ★★★ 例７求能使 能被 n+10 整除的正整數(shù) n 的最大值。 解 ＝ = 又從上式可看出 要能被 n+10 整除，則只需 n+10 整除 900，這時(shí) n 的最大值是 890。 能使 能被 n+10 整除的正整數(shù) n 的最大值是 890。 說(shuō)明 解決整除性問(wèn)題的一個(gè)常用方法是把整式部分分離出來(lái)，從而只須考慮后面的分式部分的整除性，這樣有利于簡(jiǎn)化問(wèn)題。 強(qiáng)化練習(xí) Ａ 級(jí) ★★ １．計(jì)算 ★★ ２．實(shí)數(shù) a,b滿足 ab=1,記Ｍ＝ ，則Ｍ，Ｎ的關(guān)系是 _______。 ★★ ３． 若 ，則 x+y+z=_________。 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 46 ４．將分式 化為部分分式。 Ｂ 級(jí) ★★ ５．已知 a、 b、 c為實(shí) 數(shù)，且 ，則 ★★ ６．設(shè) ，當(dāng) x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，則 y的取值范圍是 ______________。 ★★ ７．若在關(guān)于 x的恒等式 中， 為最簡(jiǎn)分式，且 ab, a+b=c , 則 N＝ _____。 ★★ ８．已知四個(gè)互不相等的正數(shù) x,y,m,N中， x最小， n最大，且 ，試比較 x+n與 y+m的大小，并證明你的結(jié)論。 參考答案或提示 １． . 提示：原式 = . 2. M=N 提示： 3． 0 提示：設(shè) ，則 x=k(ab) , y=k(bc), z=k(ca). 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 47 . 4． 設(shè) .由此可得 11x223x=A(x+3)(x3)+B(2x1)(x3)+c(2x1)(x+3). 在上式中依次取 得Ａ＝１，Ｂ＝４，Ｃ＝１ .所以 原式 . Ｂ組 ５． 提示：由 得 即 , 同理從而有 ６． . 提示： 因?yàn)?所以 所以 即 1y . 7. – 4 . 提示： 比較系數(shù)得 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 48 由①、②、⑥解得 a=2,b=1,代入 ⑤ 得 c=1, 把 a=2,b=1,c=1代入 ④ 得Ｎ＝－４。 ８． x+ny+m . 設(shè) 則 x=ky, m=kn, 所以 (x+n)(y+m)=(ky+n)(y+kn)=(k1)(yn). 由題意知 k1,yn0,故 (k1)(yn)0. 7++++++）的得數(shù)的整數(shù)部分是 _________。 解 原式 10)(2 9)( ????????? ，所以整數(shù)部分是 40。 例 5（ 1）計(jì)算： 908179。 501[731179。 1389（ 547179。 236+842179。 731495179。 361） ]。 （ 2）計(jì)算 63492818148974 4921141464732 ???????? ???????? 。 解 : （ 1）先去掉括 號(hào)，然后逐步逆用乘法分配律。 原式 =908179。 501731179。 1389+547179。 236+842179。 731495179。 361 =908179。 501731179。 547+547179。 236495179。 361 =908179。 501547179。 495495179。 361 =908179。 501495179。 908 =908179。 6=5448。 （ 2）原式23974732)71211()974()71211()732(??? ?????????????? 。 例 6 今有帶余除法算式 A247。 B=C?? 8，如果 A+B+C=2178，那么 A=（）。 （ A） 2022 （ B） 2022 （ C） 2071 （ D） 2100 解 由已知 A=BC+8，代入得 BC+B+C+8=2178，故 BC+B+C+1=2171， 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 49 即（ B+1）（ C+1） =13179。 167。因?yàn)?13 與 167 均為質(zhì)數(shù)，所以只有 ??? ?? ?? 1671 131CB或??? ?? ?? 131 1671CB。 故??? ??16612CB，或??? ??12166CB。 都可得 A=BC+8=166179。 12+8=2022。選 A。 例 7 若 1059， 1417， 2312 分別被自然數(shù) x 除時(shí)，所得余數(shù)都是 y，則 xy=（）， （ A） 15 （ B） 1 （ C） 164 （ D） 179 解： 設(shè)已知三數(shù)除以 x 的商分別為自然數(shù) a、 b、 c，則可得 ax+y=1059，① bx+y=1417，② cx+y=2312。③ ② ①得（ ba） x=358=2179。 179，④ ③ ②得（ cb） x=895=5179。 179，⑤ ⑤ ①得（ ca） x=1253=7179。 179。⑥ 從④、⑤、⑥三式可知 x=179，進(jìn)而易得 y=164，故 xy=179164=15。選 A。 例 8 已知 200 1200 0 199 9199 8 ????A ， 200 1199 9 200 0199 8 ????B ， 200 0199 9 200 1199 8????C ，則有（）。 （ A） ABC （ B） ABC （ C） BAC （ D） BCA 解： ∵ )20221999 20221998(20222022 19991998 ????????? BA 20221999202219981999202220221998 ???? 0)2022199919992022(20221998 ??? ， ∴ AB。同理 BC。 ∴ ABC。選（ A）。 豐富多彩的有理數(shù)競(jìng)賽題 50 例 9 用 min（ a， b）表示 a、 b 兩數(shù)中較小者， max（ a， b）表示 a、 b 兩數(shù)中較大者，例如 min（ 3， 5） =3， min（ 3， 3） =3， max（ 3， 5） =5， max（ 5， 5） =5。設(shè) a、 b、 c、 d 是不相等的自然數(shù)，min（ a， b） =P， min（ c， d） =Q， max（ P， Q） =X； max（ a， b） =M， max（ c， d） =N， min（ M，N） =Y，則（）。 （ A） XY （ B） YX （ C） X=Y （ D） XY， YX 都有可能 解： 取一組特殊值： a=4， b=3， c=2， d=1，可求 X=3， Y=2，∴ XY； 再取 a=4， b=2， c=3， d=1，可求 X=2， Y=3，∴ YX。 這說(shuō)明 XY， YX 都有可能。選 D。