【正文】 比例函數(shù) xky? （ k＜ 0）的圖象上，則 a、 b、c 的大小關(guān)系怎樣？ 名師指導(dǎo) 由 k＜ 0 可知，雙曲線位于第二、四象限，且在每一象限內(nèi)， y 隨 x 的增大而增大，因?yàn)?A、 B 在第二象限，且－ 1＞－ 2，故 b＞ a＞ 0；又 C 在 第四象限，則 c＜ 0，所以 b＞ a＞ 0＞ c． 歸納提煉 由于雙曲線的兩個(gè)分支分別位于兩個(gè)不同的象限內(nèi)，因此函數(shù)值 y 隨自變量 x 變化的增減性就不是連續(xù)的，一定要強(qiáng)調(diào)“在每一象限內(nèi)”，否則，如果籠統(tǒng)說(shuō) k＜ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而增大，本題就會(huì)誤認(rèn)為 3最大，則 c 最大，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤 ． 另外，此題還可以畫出函數(shù)圖象（草圖即可），比較 a、 b、 c 的大小，利用圖象更加直觀易懂，不易出錯(cuò)，應(yīng)注意掌握并學(xué)會(huì)使用 ． 問(wèn)題 3 如圖，一次函數(shù) y kx b??的圖象與反比例函數(shù) xmy? 的圖象交于 A（－ 2， 1）、 B（ 1， n）兩點(diǎn) ． （ 1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式； （ 2）根據(jù)圖象寫出一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的 x 的取值范圍 ． 名師指導(dǎo) （ 1）因?yàn)?A 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，可先由點(diǎn) A（－ 2， 1）求出反比例函數(shù)的解析式 xy 2?? ，又由 B 點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，把 B（ 1， n）代入解析式即可求出 n 的值，最后再由 A、 B 兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式 y kx b??求出一次函數(shù)解析式 y＝－ x－ 1． （ 2）根據(jù)圖象以 及已知條件可得 x 的取值范圍 x＜－ 2 或 0＜ x＜ 1，這是因?yàn)楸容^兩個(gè)不同函數(shù)的值的大小時(shí)，就是看這兩個(gè)函數(shù)圖象在同一段 x 的取值范圍內(nèi)，哪個(gè)在上方，哪個(gè)在下方 ． 歸納提煉 對(duì)于一次函數(shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，從 形 ． 的角度理解，是指交點(diǎn)既在直線上，同時(shí)也在雙曲A O y x B 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 29 頁(yè) 共 98 頁(yè) 線上；從 數(shù) ． 的角度理解，交點(diǎn)的坐標(biāo)是一次函數(shù)與反比例函數(shù)聯(lián)立所組成的二元方程組的解．所以，如果兩個(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，則聯(lián)立所成方程組有解；反之，若兩個(gè)函數(shù)圖象無(wú)交點(diǎn)，則聯(lián)立方程組無(wú)解． 此外，對(duì)于某些特殊情況，也可從一次函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)的象限及反比例函數(shù)圖象的象限 分布情形分析兩個(gè)函數(shù)圖象有無(wú)交點(diǎn)．如函數(shù) 3yx? 與 2y x?? 的圖象就不存在交點(diǎn)，因?yàn)檎壤瘮?shù)的圖象經(jīng)過(guò)一、三象限，反比例函數(shù)的圖象則位于二、四象限． 問(wèn)題 4 如圖，點(diǎn) A、 B 在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn) A、 B 的橫坐標(biāo)分別為 a， 2a（ a＞ 0）， AC⊥ x 軸，垂足為點(diǎn) C，且 △ AOC 的面積為 2． （ 1）求該反比例函數(shù)的解析式； （ 2）若點(diǎn)（－ a， y1），（－ 2a， y2）在該反比例函數(shù)的圖象 xky? 上，試比較 y1與 y2的大小 ． 名師指導(dǎo) 根據(jù) Rt△ AOC 的面積 1 22S O C AC??，可知 4AAxy? ． 又因?yàn)辄c(diǎn) A 在雙曲線上，所以 AAx y k? ，由此可求出反比例函數(shù)的解析式，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)， k＞ 0， y 隨 x 的增大而減小可知，自變量 x越大，函數(shù)值反而越小，通過(guò)比較－ a 與－ 2a 的大小可知 y1與 y2的大小 ． 解題示范 解：（ 1）解：因?yàn)辄c(diǎn) A 在反比例函數(shù) xky? 的圖象上，設(shè) A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ a ， ak ） ． ∵ a＞ 0， k＞ 0，∴ AC=ak ， OC=a ． 又∵ 1 22AOCS O C A C? ??，∴ 1 22 ka a? ， 4k? ， xy 4? ． 即反比例函數(shù)的解析式為 xy 4? ． （ 2）∵ A 點(diǎn)， B 點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為 a， 2a（ a＞ 0），∴ 2a＞ a，即－ 2a＜－ a＜ 0． 由于點(diǎn)（－ a， y1）、（－ 2a， y2）在雙曲線上，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng) k＞ 0 時(shí)， y 隨 x 的增大而減小，可知 y1＜ y2． 【 自主檢測(cè) 】 1． 已知點(diǎn) A（－ 2， a）在 反比列函數(shù) 2y x? 的圖像上，則 a = _______． 2． 已知反比例函數(shù) xmy 23 ?? ，當(dāng) m 的取值范圍是 時(shí)，其圖象的兩個(gè)分支在第一、三象限內(nèi)；當(dāng) m 的取值范圍是 時(shí)，其圖象在每個(gè)象限內(nèi) y 隨 x 的增大而增大 ． 3． 若直線 )0( 11 ?? kxky 和雙曲線 0)(22 ?? kxky在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象無(wú)交點(diǎn)，則 1k 、 2k 的關(guān)系O C A B x y 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 30 頁(yè) 共 98 頁(yè) 是 ______ _ _． 4． 若反比例函數(shù) xky 3?? 的圖象位于一、三象限內(nèi)，正比例函數(shù) xky )92( ?? 過(guò)二、四象限，則 k 的整數(shù)值是 ___ __ ___． 5． 已知函數(shù) x ayaxy ??? 4和 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 1，則這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)是 ． 6． 在函數(shù) xky 22 ??? （ k 為常數(shù)）的圖象上有三個(gè)點(diǎn)（－ 2， 1y ）， (－ 1， 2y )，（ 21 ， 3y ），那 么函數(shù)值 1y ， 2y ， 3y 的大小為 ． 7． 當(dāng) k ＞ 0,x ＜ 0時(shí)，反比例函數(shù) xky? 的圖象在 （ ） 8． 已知反比例函數(shù) )0( ?? kxky 的圖像上有兩點(diǎn) A(1x ， 1y )， B( 2x ， 2y )，且 21 xx? ，則 21 yy? 的值 ( ) A. 是正數(shù) B. 是負(fù)數(shù) C. 是非正數(shù) 9． 為緩解高層住宅樓居民的用水難問(wèn)題，某高樓需向高層屋頂?shù)乃渥⑺?，水?duì)水箱底部的壓強(qiáng) p 與水深 h 的函數(shù)關(guān)系的圖象是（說(shuō)明：水箱能 容納的水的最大深度為 H） ( ) 10． 如圖所示， A（ 1x ， 1y ）、 B（ 2x ， 2y ）、 C（ 3x ， 3y ）是函數(shù) xy 1? 的圖象在第一象限分支上的三個(gè)點(diǎn)，且 1x ＜ 2x ＜ 3x ，過(guò) A、 B、 C 三點(diǎn)分別作坐標(biāo)軸的垂線，得矩形 ADOH、 BEON、 CFOP，它們的面積分別 為 S S S3，則下列結(jié)論中正確的是 （ ） S2S3 B． S3 S2 S1 C． S2 S3 S1 D． S1=S2=S3 11． 已知反比例函數(shù) 2 6( 2) ay a x ??? ，當(dāng) x＞ 0時(shí) ， y 隨 x 的增大而增大，求這個(gè)函數(shù)關(guān)系式． 12．已知反比例函數(shù) xky 12 ?? 的圖象在每個(gè)象限內(nèi)函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小，且 k 的值還滿足p p p p A. B. C. D. 第 10 題 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 31 頁(yè) 共 98 頁(yè) )12(29 ?? k ≥ 2k－ 1，若 k 為整數(shù)，求反比例函數(shù)的解析式． 13．已知一次函數(shù) bkxy ?? 的圖像與反比例函數(shù) xy 8?? 的圖像交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 A 點(diǎn)的橫坐標(biāo)和 B點(diǎn)的縱坐標(biāo)都是－ 2． （ 1）求一次函數(shù)的解析式； （ 2）求△ AOB 的面積． 【自主評(píng)價(jià)】 一、 自主檢測(cè)提示 3．方法一：將兩個(gè)函數(shù)聯(lián)立為方程組，經(jīng)過(guò)變形可化得 2 21kx k? ，兩個(gè)函數(shù)圖象沒(méi)有交點(diǎn)，所以方程2 21kx k? 無(wú)解，即 21kk ＜ 0，從而得出 1k 、 2k 的關(guān)系是異號(hào) ． 5．因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)有 一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1， 把 1x? 分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式，聯(lián)立而成一個(gè)關(guān)于 a 和 y 的二元方程組，解方程組． 8．利用反比例函數(shù)圖象或根據(jù)反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，比較 1y 、 2y 大小即可 ． 12．因?yàn)?反比例函數(shù) xky 12 ??的圖象在每個(gè)象限內(nèi)函數(shù)值 y 隨自變量 x 的增大而減小 ，所以 21k? ＜ 0，再與已知條件中的不等式組成不等式組，求出解集，并取整數(shù)值 ． 13．（ 1）根據(jù)點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)和點(diǎn) B 的縱坐標(biāo)都是－ 2，可先由反比例函數(shù)解析式求出點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)，再由點(diǎn) A、 B 的坐標(biāo)求出一次函數(shù)解析式；（ 2）△ AOB 可以由兩部分相加得到，以原點(diǎn)和直線與 x 軸或 y 軸的交點(diǎn)為端點(diǎn)的線段為底，可分別求出兩個(gè)同底三角形的面積，然后相加即可． 二、自我反思 1． 錯(cuò)因分 析 2． 矯正錯(cuò)誤 3． 檢測(cè)體會(huì) y x O A B 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 32 頁(yè) 共 98 頁(yè) 4． 拓展延伸 隨著信息技術(shù)的迅猛發(fā)展，計(jì)算機(jī)在我們的學(xué)習(xí)和研究中起的作用越來(lái)越大，借助一些電腦軟件，如《幾何畫板》可以解決許多單純靠手工無(wú)法完成的問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)一些以往難以發(fā)現(xiàn)的新東西 ．利用這種軟件，就更容易發(fā)現(xiàn)： （ 1）雙曲線 ky x? 關(guān)于直線 yx?? 對(duì)稱； （ 2）雙曲線 ky x? 隨著 k 的增大，相對(duì)于原點(diǎn)的位置就越來(lái)越遠(yuǎn)． 【 例題 】如圖，點(diǎn) A（ 6， m）是雙曲線 12y x? 上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A 作直線 y=x 的垂線，交雙曲線于另一點(diǎn) B， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)為， 求△ AOB 的面積． 【 點(diǎn)撥 】將點(diǎn) A 的坐標(biāo)代入雙曲線的解析式，可求出 A 點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 6， 2）．由于雙曲線是關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱的，故點(diǎn) B 的坐標(biāo)與點(diǎn) A 關(guān)于直線 yx? 對(duì)稱，從而點(diǎn) B 的坐標(biāo)為（ 2， 6）．作 AM⊥x 軸于 M， BN⊥ y 軸于 N，根據(jù) AO B BO N AM N B AO MS S S S? ? ?? ? ?可求出△ AOB 的面積． 答案： △ AOB 的面積為 16． 第七講 反比例函數(shù) 實(shí)際問(wèn)題與反比例函數(shù)（一） 【 自主領(lǐng)悟 】 1． 寒假期間，小明正與幾個(gè)同伴在結(jié)冰的河面上溜冰，突然發(fā)現(xiàn)前面有一處冰面出現(xiàn)了裂痕，小明立即告訴同伴分散趴在冰面上，匍匐著離開(kāi)了危險(xiǎn)區(qū)．你能解釋一下小明這樣做的道理嗎？ 2． 京沈高速公路全長(zhǎng) 658km，汽車沿京沈高速公路從沈陽(yáng)駛往北京，則汽車行完全程所需時(shí)間 t（ h）與行駛的平均速度 v（ km/h）之間的函數(shù)關(guān)系式為 ． 3． 完成某項(xiàng)任務(wù)可獲得 500 元報(bào)酬，考慮由 x 人完成這項(xiàng)任務(wù)，試寫出人均所得報(bào)酬 y（元）與人數(shù) x（人）之間的函數(shù)關(guān)系式 ． 4． 請(qǐng)回答下列問(wèn)題： （ 1）已知某矩形的面積為 20cm2，那么它的長(zhǎng) y 與寬 x 之間的函數(shù)表達(dá)式為 ． （ 2） 當(dāng)矩形的長(zhǎng)為 12cm 時(shí)，求寬為多少？當(dāng)矩形的寬為 4cm，求其長(zhǎng)為多少？ （ 3）如果要求矩形的長(zhǎng)不小于 8cm，其寬至多要多少？ A B O N M x y y=x 七年級(jí)數(shù)學(xué)（八） 第 33 頁(yè) 共 98 頁(yè) 5． 一定質(zhì)量的氧氣， 它的密度 ? （ kg/m3）是它的體積 V（ m3）的反比例函數(shù)，當(dāng) V＝ 10 時(shí)， ? ＝ ，（ 1）求 ? 與 V 的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）求當(dāng) V＝ 2 時(shí)氧氣的密度 ? ． 【 自主探究 】 問(wèn)題 1 如圖，某玻璃器皿制造公司要制造一種容積為 1 升 (1 升＝ 1 立方分米 )的圓錐形漏斗． （ 1）漏斗口的面積 S 與漏斗的深 d 有怎樣的函數(shù)關(guān)系？ （ 2）如果漏斗口 的面積為 100厘米 2，則漏斗的深為多少？ 名師指導(dǎo) （ 1）根據(jù)圓錐體積公式 13V Sd? 可知，當(dāng)圓錐體積 V 一定時(shí)， 3VS d? ； （ 2）已知漏斗口的面積，欲求漏斗的深，只需將漏斗口面積 S 直接代入解析式即可． 解題示范 解： (1)根據(jù)圓錐體的體積公式，我們可以設(shè)漏斗口的面積為 Scm2 ，漏斗的深為 dcm，則容積為 1 升＝ l 立方分米 ＝ 1000立方厘米． 所以， 11000 3Sd? ， 3000S d? ． (2)根據(jù)題意，把 100S? cm2代入 3000S d? 中，得 3000100 d? ，解得 30d? (cm)． 所以如果漏斗口的面積為 100cm2，則漏斗的深為 30cm． 問(wèn)題 2 某 氣球內(nèi)充滿了一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)溫度不變時(shí)，氣球內(nèi)氣體的氣壓 P（千帕）是氣體體積 V（立方米）的反比例函數(shù)，其圖像如圖所示． （ 1）求出這個(gè)函