【正文】 乙、丙各需 1 人承擔，從 10 人中選派 4 人承擔這三項任務(wù)，不同的承擔方法共有 ___________種； 某辦公室有 5 人辦公，現(xiàn)要排一個周輪值表，每人至少一天，其中甲不能在周六和周日，且甲肯定值兩天，則不同的排表方式有 __________種； 學校決定下周對高一年級進行教學情況抽測。決定基礎(chǔ)科抽兩門，文科、理科各抽一門，技能科（音、體、美、信）抽一門。則可能有＿＿＿＿＿＿種抽取方法。 基礎(chǔ)訓練 回目錄 練習 某學習小組有 5個男生 3個女生，從中選 3名男生和 1名女生參加三項競賽活動，每項活動至少有 1人參加，則有不同參賽方法______種 . 解：采用先組后排方法 : 3 1 2 35 3 4 3 1080C C C A? ? ? ?回目錄 小結(jié)： 本題涉及一類重要問題：問題中既有元素的限制，又有排列的問題，一般是先元素（即組合）后排列。 回目錄 實驗法（窮舉法） 題中附加條件增多，直接解決困難時，用實驗逐步尋求規(guī)律有時也是行之有效的方法。 例 將數(shù)字 1， 2， 3， 4填入標號為 1， 2， 3， 4的四個方格內(nèi)，每個方格填 1個，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法種數(shù)有（ ） 分析：此題考查排列的定義，由于附加條件較多，解法較為困難，可用實驗法逐步解決。 第一方格內(nèi)可填 2或 3或 4。如填 2，則第二方格中內(nèi)可填 1或 3或 4。 若第二方格內(nèi)填 1，則第三方格只能填 4，第四方格應填 3。 若第二方格內(nèi)填 3，則第三方格只能填 4，第四方格應填 1。 同理，若第二方格內(nèi)填 4，則第三方格只能填 1，第四方格應填 3。因而，第一格填 2有 3種方法。 不難得到，當?shù)谝桓裉?3或 4時也各有 3種，所以共有 9種。 回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應， 利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 3號盒 4號盒 5號盒 3 4 5 25C回目錄 實際操作窮舉策略 例 .設(shè)有編號 1,2,3,4,5的五個球和編號 1,2 3,4,5的五個盒子 ,現(xiàn)將 5個球投入這五 個盒子內(nèi) ,要求每個盒子放一個球，并且 恰好有兩個球的編號與盒子的編號相同 ,. 有多少投法？ 解： 從 5個球中取出 2個與盒子對號有 _____種 還剩下 3球 3盒序號不能對應， 25C利用實際 操作法，如果剩下 3,4,5號球 , 3,4,5號盒 3號球裝 4號盒時，則 4,5號球有只有 1種裝法 , 25C 同理 3號球裝 5號盒時 ,4,5號球有也 只有 1種裝法 ,由分步計數(shù)原理有 2 種 回目錄 練 習 ：（不對號入座問題） （ 1）（ 2022湖北）將標號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個球放入標號為 1， 2， 3， …… ， 10的 10個盒子中， 每個盒內(nèi)放一個球，恰好有 3個球的標號與其所在盒子 的標號不一致的放入方法有 ___________種 310 2C ?（ 2）編號為 5的五個球放入編號為 5的五個盒子里，至多有 2個對號入座的情形有 ___________種 109 直接法： 3 4 55 5 52 9 44 109C C C? ? ? ? ? ?間接法： 5355 1 1 10 9AC? ? ? ?回目錄 注意區(qū)別“恰好”與“至少” 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中恰好有一雙同色的手套的不同取法共有（ ） (A) 480種（ B） 240種 （ C） 180種 （ D） 120種 小結(jié)：“恰好有一個”是“只有一個”的意思?！爸辽儆幸粋€”則是“有一個或一個以上”，可用分類討論法求解，它也是“沒有一個”的反面，故可用“排除法”。 解： 1 2 1 16 5 2 2 240C C C C? ? ? ?回目錄 練習 從 6雙不同顏色的手套中任取 4只，其中至少有一雙同色手套的不同取法共有 ____種 解： 4 4 1 412 6 2( ) 255C C C? ? ?回目錄 對于條件比較復雜的排列組合問題，不易用 公式進行運算，往往利用窮舉法或畫出樹狀 圖會收到意想不到的結(jié)果 練習題 1. 同一寢室 4人 ,每人寫一張賀年卡集中起來 , 然后每人各拿一張別人的賀年卡，則四張 賀年卡不同的分配方式有多少種？ (9) ,要求相鄰區(qū) 域不同色 ,現(xiàn)有 4種可選顏色 ,則 不同的著色方法有 ____種 2 1 3 4 5 72 回目錄 分解與合成策略 例 . 30030能被多少個不同的偶數(shù)整除 分析：先把 30030分解成質(zhì)因數(shù)的乘積形式 30030=2 3 5 7 11 13依題 意可知偶因數(shù)必先取 2,再從其余 5個 因數(shù)中任取若干個組成乘積，所有 的偶因數(shù)為： 0 1 2 3 4 55 5 5 5 5 5C C C C C C? ? ? ? ?例 8個頂點可連成多少對異面 直線 回目錄 解：我們先從 8個頂點中任取 4個頂點構(gòu)成四 體共有體共 __________ 每個四面體有 ___ 對異面直線 ,正方體中的 8個頂點可連成 ____________對異面直線 48 12 58C ??3 3 58=174 分解與合成策略是排列組合問題的一種最 基本的解題策略 ,把一個復雜問題分解成幾 個小問題逐一解決 ,然后依據(jù)問題分解后的 結(jié)構(gòu) ,用分類計數(shù)原理和分步計數(shù)原理將問 題合成 ,從而得到問題的答案 ,每個比較復 雜的問題都要用到這種解題策略 回目錄 化歸策略 例 . 25人排成 5 5方隊 ,現(xiàn)從中選 3人 ,要 求 3人不在同一行也不在同一列 ,不同的 選法有多少種？ 解： 將這個問題退化成 9人排成 3 3方隊 ,現(xiàn)從中選 3人 ,要求 3人不在同一行也不在同一列 ,有多少選法 .這樣每行必有 1人從其中的一行中選取 1人后 ,把這人所在的行列都劃掉， 回目錄 從 5 5方隊中選取 3行 3列有 _____選法 所以從 5 5方隊選不在同一行也不在同 一列的 3人有 __________________選法。 3355CC3 3 1 1 15 5 3 2 1 600C C C C C ?處理復雜的排列組合問題時可以把一個問題退化成一個簡要的問題，通過解決這個簡要的問題的解決找到解題方法，從而進下一步解決原來的問題 如此繼續(xù)下去 .從 3 3方隊中選 3人的方法 有 ___________種。再從 5 5方隊選出 3 3 方隊便可解決問題 1 1 13 2 1C C C回目錄 對應法 例 1在 100名選手之間進行單循環(huán)淘汰賽（即一場比賽失敗要退出比賽），最后產(chǎn)生一名冠軍，問要舉行幾場？ 分析：要產(chǎn)生一名冠軍，需要淘汰掉冠軍以外的所有選手，即要淘汰 99名選手，淘汰一名選手需要進行一場比賽，所以淘汰 99名選手就需要 99場比賽。 回目錄 某城市的街區(qū)由 12個全等的矩形區(qū)組成 其中實線表示馬路，從 A走到 B的最短路 徑有多少種？ 練習題 B A 37 35C ?回目錄 特征分析 研究有約束條件的排數(shù)問題，須要緊扣題目所提供的數(shù)字特征，結(jié)構(gòu)特征，進行推理，分析求解。 例 由 1， 2， 3， 4， 5， 6六個數(shù)字可以組成多少個無重復且是 6的倍數(shù)的五位數(shù)？ 分析數(shù)字特征： 6的倍數(shù)既是 2的倍數(shù)又是 3的倍數(shù)。其中 3的倍數(shù)又滿足“各個數(shù)位上的數(shù)字之和是 3的倍數(shù)”的特征。把 6分成 4組，（ 3， 3），（ 6），（ 1， 5），（ 2， 4），每組的數(shù)字和都是 3的倍數(shù)。因此可分成兩類討論； 第一類：由 1， 2， 4， 5， 6作數(shù)碼；首先從 2， 4， 6中任選一個作個位數(shù)字有 ，然后其余四個數(shù)在其他數(shù)位上全排列有 ，所以 第二類：由 1， 2， 3， 4， 5作數(shù)碼。依上法有 13A44A 14341N AA?14242N AA?12= + = 1 2 0 ( )NN故 個N 回目錄 （ 1）練習 :（徐州二檢）從 6人中選 4人組成4 100m接力賽，其中甲跑第一棒，乙不跑最后一棒，有多少種選法？ 分析：（一）直接法 （二）間接法 （ 2） 從正方體的 8個頂點中選 4個作四面體，則不同的四面體的個數(shù)為 。 練 習 58 （ 3） 一個三位數(shù)，其十位上的數(shù)字既 小于百位上的數(shù)字也小于個位上的數(shù)字 ， 且個位百位上的數(shù)字不重復（如７３５等） 那么這樣的三位數(shù)有 個． 回目錄 144 240 例 袋中有 5分硬幣 23個 ,1角硬幣 10個 ,如果從袋中取出 2元錢 ,有多少種取法 ? 解 把所有的硬幣全部取出來 ,將得到 23+ 10= ,所以比 2元多 ,所以剩下 3個 5分或 1個 5分與 1個 1角 ,所以共有 種取法 . 110123323 CCC ??結(jié)論 剩余法 :在組合問題中 ,有多少取法 ,就有多少種剩法 ,他們是一一對應的 ,因此 ,當求取法困難時 ,可轉(zhuǎn)化為求剩法 . 分析 此題是一個組合問題 ,若是直接考慮取錢的問題的話 ,情況比較多 ,也顯得比較凌亂 ,難以理出頭緒來 .但是如果根據(jù)組合數(shù)性質(zhì)考慮剩余問題的話 ,就會很容易解決問題 . 回目錄 小結(jié) 本節(jié)課，我們對有關(guān)排列組合的幾種常見的解題策略加以復習鞏固。排列組合歷來是學習中的難點，通過我們平時做的練習題，不難發(fā)現(xiàn)排列組合題的特點是條件隱晦，不易挖掘，題目多變，解法獨特，數(shù)字龐大，難以驗證。同學們只有對基本的解題策略熟練掌握。根據(jù)它們的條件 ,我們就可以選取不同的技巧來解決問題 .對于一些比較復雜的問題 ,我們可以將幾種策略結(jié)合起來應用把復雜的問題簡單化，舉一反三，觸類旁通，進而為后續(xù)學習打下堅實的基礎(chǔ)。