【正文】 流，這一電流不服從歐姆定律 1。 對于 Cooper 對組成的玻色氣體，其概 率幅可以 記 為 ? ? ? ? ? ?i r tr t r t e ???? () 這里 ? ?rt? 為 Cooper 對玻色子的密度，由于超導(dǎo)體的均勻性，下面 推導(dǎo)中 假定它為常數(shù)。將它代入流密度表達式 partij 中， * * *122p a r t i qj p p Ac? ? ? ? ? ?? ??? ? ????? 這里 ? 為此玻色子的有效質(zhì)量，并且 2qe?? 為它的電荷，得 p a r ti qjAc? ?? ??? ? ????? 于是 超導(dǎo)電流密度 為 el ect P a r t i qqj q j Ac? ?? ??? ? ? ????? 對此式取旋度 ，注意梯度 ?? 的旋度為零，以及 AB?? ? ，得到 229 2el ect qjBc??? ? ? ? () 這就是 早期超導(dǎo)唯象理論中的 London 方程 。 2, Meissner 效應(yīng) 這個實驗效應(yīng)是說： 塊形超導(dǎo)體在外磁場中是個相當理想的抗磁體，其內(nèi)部（除表面薄層以外） 0B? 。 由 London 方程出發(fā)，用 Maxwell 方程消去 j電 ，即可解釋這一效應(yīng)。因為根據(jù) Maxwell 方程， ? ? ? ?z y xz x yy x zzzzB B iE cFFFB B iE cx x xF A AB B iE cF jxc iE c iE c iE c? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???????????? ?? ? ? ??? ??? ? ?? ? ? ? ? ????? ?? ?? ?? ??00 0。040 第二個方程中 ? ? ? ?j j ,ic? ??為電磁場中 的外 電流和電荷 。對 ??1 ，有 ? ? ? ?yz xxx xBBF E EFFj i Bc x x x y z i ct c t??? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?131 2 1 42 3 441 考慮到現(xiàn)在是穩(wěn)定情況，有 4 electBjc??? ? 代入 London 方程， ? ?2 4e l e c tqcB j Bc???? ? ? ? ? ? ? ? ? 利用 ? ? ? ?B B B B? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?，即得 21LBB??? 224L cq?? ??? （ ） L? 稱為 London 穿透深度， 約為 ? ?6510 10 cm??? 量級。這樣稱呼 L? 是因 1 當然，一般也存在未配對的電子，它們的行為服從歐姆定律，即njE?? 。 230 為，對于一維情況，按照這個方程，塊體外部的磁場穿入超導(dǎo)體時應(yīng)呈現(xiàn)如下衰減的規(guī)律 /0 LxB B e ??? () L? 數(shù)值正是這種衰減的度量。由此， 除表面薄層外，在超導(dǎo)體內(nèi)部應(yīng)有 0electB E j? ? ?。 3, 磁通量量子化（及磁荷） 設(shè)有一細環(huán)狀超導(dǎo)體，環(huán)內(nèi)有一磁場。取超導(dǎo)體內(nèi)部離開表面的一條回路 C ,在這條回路上處處有 C CqjAc 0??? ? ? ?????粒 ? ?? 于是在繞 C 一圈后波函數(shù)的位相變化為 ? ?21qd l A d lcq A d ScqqB d Scc? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? 這里 Φ 為超導(dǎo)環(huán)中的磁通量。由于在當前 Cooper 對近似 ie???? 中，ρ和 θ都是可觀測的量，因此 ψ必須是單值函數(shù) 。 這要求上式左邊位相變化只能是 2? 的整數(shù)倍，即 212n? ? ??? ? ?n 0 , 1 , 2 ,? ? ? () ∴ nq??02??? （ ） 這里0 hc hcq 2e? ??。結(jié)果說明， 超導(dǎo)環(huán)中的磁通 Φ 是量子化的，它最小單位為 hc2e 。 231 由 這里 磁通最小數(shù)值 ， 可以導(dǎo)出磁單極子 即 磁荷 的 最小 單位g——假定它存在的話。 因為這時有 3rBgr? 設(shè) g 位于坐標原點，取 g 上方的半個球面，通過半個球面的磁通 就 將是這個最小磁通 0? 。 即有 ? ?202 1 42g rr ?? ? ? 于是得到 2ceg? 或 2 13722cg e ee?? （ ） 這就 是 Dirac 早在 1931 年 預(yù)言的 關(guān)于 磁荷與電荷關(guān)系的 著名 公式（ ., A133,60(1931)） 。但迄今實驗上并未找到磁荷，所以以上 論斷在物理上是有問題的。 4, 超導(dǎo) Josephson 結(jié)的 AB 效應(yīng) i, 直流和 交流 Josephson 效應(yīng)及單結(jié)磁衍射現(xiàn)象。 這是超導(dǎo)電子對從一個超導(dǎo)體穿過薄絕緣層進入另一超導(dǎo)體的隧道貫穿現(xiàn)象。 兩 塊 超導(dǎo)體 和中間 薄絕緣 夾 層 構(gòu)成一個 Josephson結(jié) 。實驗表明，當結(jié)的兩端不加任何電磁場時，有直流電流通過，稱 為 直流 Josephson 效應(yīng) ；當結(jié)上加了直流電壓時，有射頻交流電流通過，稱為 交流 Josephson 效應(yīng) ；當結(jié)上存在恒定磁場時，出現(xiàn)電流強度隨磁通變化的 單結(jié)磁衍射現(xiàn)象 。它們的物理機制統(tǒng)一簡述如下。 設(shè)結(jié)的左、右方超導(dǎo)體中電子對的 概 率幅分別為 12,??； 用 ? 唯象地表示結(jié)的特征常數(shù)， 即， 表示結(jié)兩邊電子對由于耦合作用造成的 232 隧道效應(yīng) 。 由于絕緣層很薄，這種量子作用只與 一次方有關(guān)， Ω的量綱是頻率。設(shè)結(jié)上加有電壓 V 和磁場 B （見圖）， 1? 和 2? 的方程為 2121122121e xp 2e xp 2iq qVi A dltciq qVi A dltc? ?? ??? ? ? ? ? ???? ?? ? ?? ?? ??? ? ? ? ? ? ? ???? ? ????? () 這里 q 是 電子對的電荷。 由于 B 橫向穿過結(jié)，絕緣層以及兩邊超導(dǎo)體相鄰的薄層內(nèi)有 A 存在，這使電子對穿過結(jié)時獲得附加相因子21ex pqi A d lc????????? 。令 iiiie ??? ? , ? ?12,i? 代入第一個方程，并乘以11 ie ?? ? ，得 ? ?111 1 2 1122 it qVi i e itt ???? ? ? ????? ? ? ? 這里 ? ? 221 1qt A d lc? ? ?? ? ? ??。分開方程的實部 和虛部，得 ? ?? ?11212122sinc osttqV tt? ? ? ??? ???? ??? ??? ?? ? ? ?? ?? 對第二個方程作類似計算，得 ? ?? ?21221222sinc osttqV tt? ? ? ??? ???? ? ? ?? ??? ?? ? ? ? ?? ?? 假定結(jié)兩邊的超導(dǎo)體相同， 可令 12???，得 21 qV????? ?? 233 積分即得 22 1 0 1q V d t? ? ?? ? ? ?，將它代入上面 δ表達式，得 ? ? 220 111qt V d t A d lc?? ??? ? ? ? ??????? 由于 12,tt????分別正比于從 2 貫穿到 1 和從 1 貫穿到 2 的隧道電流，將兩個 t??? 的方程相減，即得流過結(jié)的總電流密度和位相差的關(guān)系 ? ? ? ? ? ?20 0 01s i n s i n qJ t J t J A d l cV d tc?? ??? ? ? ? ?????? () 下面對 計算結(jié)果 ()式做些討論： 第一， 當 V=A =0 時， 00sinJJ?? （ ） 說明此時結(jié)上有直流電流流過。這即是 直流 Josephson 效應(yīng) 。 第二， 當結(jié)上加了直流電壓 V 時，結(jié)上流過交流電流， ? ? ? ? ? ?0 0 0J t J t J t? ? ?? ? ?s i n s i n 其頻率為 qV?? 。這就是 交流 Josephson 效應(yīng) 。當 V=1 微伏時，ω=3039兆周，是微波頻率范圍，伴有相同頻率的電磁波從結(jié)上輻射。說明 Cooper對穿過 薄 絕緣層時，勢能降低了 q V， 一對（或多對） Cooper對所降低的能量將以 1 個（或多個）光子的能量 ? （或 n ? ）放出。通過測量直流電壓 V 和 交流頻率 ? ，可以得到非常精確的 e 數(shù)值。 第三， 當結(jié)上只有磁場 B 時，流過結(jié)的電流密度為 200 1s in ( )qJ J A d lc?? ? ?? （ ） 而流過結(jié)的總電流是此式對（ xy）截面的積分。由于 xB Be? ，可取? ?00,A By? ，于是 A dl Bydz?? ，流過結(jié)的總電流為 234 2 20 0 0 00222//si n [ ] si n si ndladaqqI J dx dy B y dz I ccc?????? ?????? ? ? ????? ? ? （ ） 這里 sinc(f)=(sinf)/f 為單縫衍射因子。 在對 z 積分時已考慮了緊貼絕緣層的導(dǎo)體表面磁通透入 深度 約為一個 London 穿透深度 λ。于是 Φ =（ d+2λ） aB 是結(jié)的有效截面積內(nèi)的磁通。 （ ） 式表明，總電流 I 對磁通 Φ的振蕩關(guān)系類似于光學(xué)中的單縫衍射花樣，所以稱為單結(jié)磁衍射現(xiàn)象。 ii, Josephson 結(jié)的 AB 效應(yīng) 。 其實，上面單結(jié)磁衍射現(xiàn)象中已含有 AB 效應(yīng)。這里再研究兩個并聯(lián) Josephson 結(jié)中間有磁弦通過的情況（如圖），此時 AB 效應(yīng)更為明顯。 按前面 AB 效應(yīng)的論述，環(huán)繞磁弦一周將出現(xiàn)一相因子 exp qic???????，這里 2qe?? 。于是流過每個結(jié)的電流為 1 0 2 0eeJ J J Jcc????? ? ? ?s i n ( ), s i n ( ) （ ） 這里已假定兩個結(jié)完全一樣，從而兩個單結(jié)的位相差 δ相同。由此得到這兩個并聯(lián)結(jié)的總電流 1 2 02 s i n co s ( )total eJ J J J c? ?? ? ? （ ） sinδ 正比于 單結(jié)衍射因子， cos( )ec? 代表 雙結(jié)干涉因子， 這已為實驗所證實。值得指出， 利用 Josephson 結(jié)的 AB 效應(yīng)，可以制成各種高靈敏度的 超導(dǎo)量子干涉器件 （ Superconducting Quantum Interference Device, 縮寫為 SQUID）。 235 ※ 167。 電磁場真空態(tài)的能量和 Casimir 效應(yīng) 以上各節(jié) 詳細闡明了非相對論量子 力學(xué)范圍內(nèi)的電磁 相互作用，討論了非相對論的各類粒子在電磁場中的束縛和非束縛運動 ， 給出了超導(dǎo)體的一些基本 電磁效應(yīng)以及電磁場的整體拓撲效應(yīng)。本節(jié)繼續(xù)貫徹量子邏輯， 將它用于電磁場本身 ， 指出電磁場 的 另一個重要 量子性質(zhì) ： 電磁場的真空態(tài)具有無窮大能量。在一般情況下，這個無窮大能量無法直接觀測，但在某些特殊情況下它能表現(xiàn)出可觀測的效應(yīng)。 1, 電磁場的真空態(tài)及其能量 由 Planck 對黑體腔內(nèi)電磁場的處理 ，和 其 后大量工作 可以知道，量子力學(xué)觀點 是 處理 腔內(nèi)電磁場 的唯一正確 觀點 。這就是， 腔內(nèi)電磁場 是一系列各種頻率 量子諧振子 的 集合， 集合 整體 便是量子電磁場。具有各種頻率 ? 和量子數(shù) n 的量子態(tài) 就是量子電磁場在該頻率下的各種激發(fā)態(tài)，而 ? 便是相應(yīng)的場量子。 構(gòu)成電磁場的 振動模 數(shù)目 ——量子 諧振子 的 數(shù)目 有 無窮多 ，也即 量子 電磁場（即便 場 分布 是局域的 ）的 自由度 有 無窮多。 而 這個量子電磁場的基態(tài) —— 沒有任何場量子 的態(tài)（ 構(gòu)成場的 全體量子諧振子 的 基態(tài)的直積），稱之為量子電磁場的