線代第一至四章習(xí)題及答案-資料下載頁
2025-01-06 17:50本頁面
【正文】 )1(1??????????????? 0)1(1 ??? an ， 1?a 時(shí)， nAr ?)( 1?a 時(shí)， 1)( ?Ar 0)1(1 ??? n 時(shí)， 1)( ??nAr 例 19 設(shè) A= ??????????abbbabbba ,已知 r(A)+r(A*)=3,求 a,b 應(yīng)該滿足的關(guān)系 .(03三 ) 解： 2)(3)()( * ???? ArrAr A )1)(( * ?Ar原題的條件： ?????????????????????????bababbbaabbbabbba00002A ba? ，且 02 ?? ba 時(shí) 2)( ?Ar 例 21 3 階矩陣 A= ????????????1232023ba ， B= ????????????12001111 ab ， 已知 r(AB)小于 r(A)和 r(B),求 a,b 和 r(AB). ?????????????????????235344222362abababbaabABa 都不可逆BABrArABr ,)(),()( ?? ，于是 1)(2)()( ???? ABrArABr ??? ??? ?? 10622 642 bb aa 求出 2,1 ?? ba 或 0,0 ?? BA 2,103 01284 ?????? ??? ???? baba ba 例 25 設(shè) A是 m?n矩陣 , B是 n?m 矩陣 , 則 ( ) ?(A) 當(dāng) m?n 時(shí) ,??AB???0. (B) 當(dāng) m?n?時(shí) ,??AB????.?(C) 當(dāng) n?m?時(shí) ,??AB|?0. (D) 當(dāng) n?m?時(shí) , ?AB????. (99) AB 是 m 階矩陣，問 ?)( mABr ? nm? 時(shí)： ? ? mnnmArABr ???? ,m in)()( mABr ?? )( ， 0?AB 選（ B） nm? 時(shí) ? ? mnmArABr ??? ,m in)()( 例 26 AB?=0, A,B是兩個(gè)非零矩陣 ,則 (A) A 的列向量組線性相關(guān) .B 的行向量組線性相關(guān) . (B) A 的列向量組線性相關(guān) .B 的列向量組線性相關(guān) .?(C) A 的行向量組線性相關(guān) .B 的行向量組線性相關(guān) . (D) A 的行向量組線性相關(guān) .B 的列向量組線性相關(guān) . (04) AB?=0,則 r(A)+r(B)?n,n 為 A的列數(shù) ,B的行數(shù) . 又 r(A)0,r(B)0,得 r(A) n,r(B)n. 例 16 已知 n 維向量組 ?1,?2,…,?s 線性無關(guān) ,則 n 維向量組?1,??2,…,??s 也 線性無關(guān)的充分必要條件為 ?A) ?1,?2,…,?s 可用 ?1,??2,…,??s線性表示 . (B) ?1,??2,…,??s可用 ?1,?2,…,?s線性表示 . (C) ?1,?2,…,?s 與 ?1,??2,…,??s等價(jià) . (D???矩陣 ??1,?2,…,?s )和 (?1,??2,…,??s?等價(jià) . 解：矩陣等價(jià)，即可用初等變換互化 A 與 B 等價(jià) ? A 與 B 行，列數(shù)對(duì)應(yīng)相等，且 )()( BrAr ? （ A） 是充分條件，不必要 （ B） 既不充分，又不必要 （ C） 是充分條件，不必要 選（ D） 矩陣的等價(jià) 兩個(gè)矩陣如果可以用初等變換互相轉(zhuǎn)化 ,就稱它們 等價(jià) . 矩陣的等價(jià)的充分必要條件為它們類型相同 ,秩相等 . 例 17 設(shè) ?1,?2,…,?s 都是 n 維向量， A 是 m?n 矩陣，下列選項(xiàng)中正確的是（ ） . (A) 若 ?1,?2,…,?s線性相關(guān) ,則 A?1,A?2,…,A?s線性相關(guān) . (B) 若 ?1,?2,…,?s線性相關(guān) ,則 A?1,A?2,…,A?s線性無關(guān) . (C) 若 ?1,?2,…,?s線性無關(guān) ,則 A?1,A?2,…,A?s線性相關(guān) . (D) 若 ?1,?2,…,?s線性無關(guān) ,則 A?1,A?2,…,A?s線性無關(guān) . (06) 設(shè) c1,c2, … ,cs 不全為 0 使得 c1?1+c2?2+ … +cs?s=0, 則c1A?1+c2A?2+… +csA?s=0. (A?1,A?2,…,A?s)= A(?1,?2,…,?s)? r(A?1,A?2,…,A?s)?r(?1,?2,…,?s) 07年考題 設(shè) ??1， ?2， ?3 線性無關(guān)，則 ( )線性相關(guān)： (A) ?1?2， ?2?3， ?3?1； (B)?1+?2， ?2+?3， ??3+?1； (c) ?12?2， ?22?3， ?32?1； (D) ?1+2?2， ??2+2?3， ?3+2?1． 例 22 設(shè) ??1， ?2， ?3 線性無關(guān)，則 ( )線性無關(guān)： (A) ?1+?2， ?2+?3， ?3?1； (B) ?1+?2， ?2+?3， ??1+2?2+?3； (C) ?1+2?2， 2?2+3?3， 3?3+?1； (D) ?1+?2+?3， 2?13?2+22?3， 3?1+5?25?3 ． (97 三 ) 看出（ A），（ B）兩組向量線性相關(guān)，從 （ C）（ D）中 （ C） ? ???????????????330022101),(,3,2 321133221 32 ????????? 證 ???????????330022101C 若 ,0?C 即 C 可逆，則3),()3,3,2( 321133221 2 ????? ????????? rr ， ?????? 133221 32 ,32, ???? 無關(guān) 若 0?C ，則 3)( ?Cr ，所以 ,3)3,32,( 133221 2 ???? ??????r ?????? 133221 3,32,2 ???? 相關(guān) （ C）矩陣法： 若 ?1， ?2， ?3 線性無關(guān)， ????3131 , ?? ? 看 ??31,?的線性相關(guān)性 證 C),(),(3131 ???? ?? ? 則 C 可逆 ? ??31 ,?線性無關(guān) 例 31 設(shè) A為 n階矩陣 ,??為 n維列向量 .正整數(shù) k使得 Ak?=0,但是 Ak1??0,證明 ?, A?,… , Ak1?線性無關(guān) . 設(shè) 0121 ???? ? ??? Accc kkA ? （ 1） ）（ 1A1?k 得 00 111 ???? cAc k ? )1(2Ak? 得 00 212 ???? cAc k ? 例 32 證明 r(?1,?2,…,?s ,?1,??2,…,??t)?r(?1,?2,…,?s)+ r(?1,??2,…,??t). 解：取 ????ts ,, 11 ??的一個(gè)極大無關(guān)組（ I） 設(shè) ???I 是（ I）在 ?? s,1 ? 中的部分 ???I 是（ I）在 ??t,1 ?中的部分 則 ???I u???I =（ I） ? ???I + ???I )(I? = ),,(11 ???? tsr ?? ???I 是（ I）在 ?? s,1 ? 中的部分， ???I ),( 1 ?? sr ?? ???I ),(1 ?? tr ?? 所以 ),,(11 ???? tsr ?? ),( 1 ?? sr ??+ ),(1 ?? tr ? 例 33 證明 r(A+B)?r(A)+r(B). 證 ),( 1 ?? nA ?? ),(1 ?? nB ?? 則 ? ?????nnBA ???? ,11 ? ??????????nnnn ,, 112211 ??? ???? ),,(),()( 1111 ???????? nnnn rrBAr ??? ????? ),(),(11 ???? nn rr ?? ?? = )()( BrAr ?
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