【正文】 n h k x n k x k h n k??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ???x(n)為平穩(wěn)隨機(jī)信號 (假設(shè)從 ?時刻開始輸入 ) 輸出信號的時域與頻域統(tǒng)計特性 ?????????????????????kky knxkhEknxkhEnyEm )]()([)()()]([h ( n ) y(n) x(n) 卷積的兩種定義 h(n)為實的 \確定性函數(shù) 對因果系統(tǒng)， k0時， h(k)=0 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 xmknxEnxE ??? )]([)]([0( ) [ ( ) ] ( ) ( )jy x xkkm h k E x n k m h k m H e??? ? ? ? ? ?? ? ? ???yr n n m E y n y n m? ? ?( , ) [ ( ) * ( ) ]( ) ( ) ( ) * ( )krE h k x n k h r x n m r??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???????( ) ( ) [ ( ) * ( ) ]krh k h r E x n k x n m r??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???[ ( ) * ( ) ] ( )xE x n k x n m r r m k r? ? ? ? ? ?( ) ( )j j kkH e h k e????? ? ?? ?直流電壓放大系數(shù) l k r??( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) * ( )r k lyxklx x xl k lr m h k h k l r m lr m l h k h k l r m l v l r m v m????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ?39。( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ] ( ) 39。( ) ( ) 39。( ) ( ) ( )h n h nk l lv m h k h k m h k h m k h k h m kh m h m h m h m? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ?令 平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后 ,輸出也是平穩(wěn)隨機(jī)過程 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 ( , ) ( ) ( ) ( ) ( )y x ykrr n n m h k h r r m k r r m??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???只與時間差 m有關(guān) ,與起點 n無關(guān) 線性系統(tǒng)輸出的功率譜是輸入的功率譜乘以系統(tǒng)頻率響應(yīng)的平方函數(shù)。 *2( ) ( ) ( ) ( ) | ( ) | ( )j j jy x xP P H e H e H e P? ? ?? ? ???第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x xr m r m v m r m h m h m? ? ? ? ? ?根據(jù)卷積以及因果實系統(tǒng)的傳遞函數(shù)性質(zhì)可以得到 功率放大系數(shù) 2| ( ) |jHe?練習(xí) : *( ) ( )D T F T jh m H e ???第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 21( 0 ) | ( ) | ( ) 02jyxr H e P d?????? ????上式對任意的濾波器頻率響應(yīng)都成立。 設(shè) h(n)為帶寬可變的理想帶通濾波器 101( 0 ) ( ) 02yxr P d????????( ) 0xP ? ?時等式依然成立，要求 平穩(wěn)隨機(jī)過程功率譜的非負(fù)性第 3種證明： 01???第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 ( ) ( ) * ( )kE x n h k x n m k?? ? ???? ? ??????( ) ( ) ( ) ( )m k lxxklh k r m k r l h l m?? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ???2 線性系統(tǒng)輸入與輸出的互相關(guān) xyr m E x n y n m??( ) [ ( ) * ( ) ]( ) [ ( ) ] ( ) ( )xxlr l h m l r m h m?? ? ?? ? ? ? ? ??( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x yr m r m h m h m r m h m? ? ? ? ? ?3 輸入輸出關(guān)系 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )y x x yr m r m h m h m r m h m? ? ? ? ? ?2( ) ( ) | ( ) | ( ) ( )jjy x x yP P H e P H e??? ? ?? ? ?( ) ( ) ( )x y xr m r m h m? ? ?? ?*( ) ( ) jx y xP P H e ?????互譜 不一定是正實的 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 例 13 正弦信號的相關(guān)積累檢測 H1 : x(n)=s(nn0)+u(n) [有信號 ] [信號的延時 n0在 1 到 范圍內(nèi)未知 ] H0 : x(n)=u(n) [無信號 , u(n) 為測量噪聲 ] n=1,2,… ,N [N為觀測樣本點數(shù) ] c o s [ ] 1 , 2 , . . . , 39。()0S n n Nsno th e r w is e? ?????39。1NN??信號的長度為 39。NN?信號幅度 S未知 0 0 0 00c o s [ ( ) ] 1 , 2 , . . . , 39。()0S n n n n n n Ns n no th e r w is e? ? ? ? ? ??????第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 39。39。1111( ) ( ) ( ) ( ) c o s[ ( ) ]m N m Nx s Nn m n mr m x n s n m u n n mNN ???? ? ? ?? ? ? ???在有信號情況下 的值很小 39。39。01111( ) ( ) ( ) c o s [ ( ) ] c o s [ ( ) ]m N m Ns x Nn m n mr m x n s n m S n n n mNN ????? ? ? ?? ? ? ? ???在 m=n0處取得比較大的最大值 ,約為 將最大值 |rsxN(m)|max與某個門限比較，可以判斷觀測數(shù)據(jù)中是否含有信號，根據(jù)相關(guān)函數(shù)最大值的位置可以測量出信號的延時 n0 ，根據(jù)最大值的大小可以估計出信號的幅度 S 對所有的 m 39。 / ( 2 )N S N假設(shè)信號與噪聲互不相關(guān) ,則在無信號情況下 39。11( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , . . . , 39。 )mNx s Nnmr m x n s n m m N NN???? ? ??信號左移 m 上機(jī)實驗 課程實驗 1：正弦信號的相關(guān)積累檢測 給定參數(shù) N=128， N‘=32； ?=?， n0=64,S=1 采用 MATLAB或 VB語言進(jìn)行編程 (1) 運(yùn)用正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生函數(shù)產(chǎn)生均值為零、根方差 ?= 的噪聲樣本序列 [可以參考實驗 3的正態(tài)分布產(chǎn)生方法 ] {u(n)|n=1,2,…,128} ；畫出噪聲 u(n)的波形圖 (2) 產(chǎn)生信號 {s(nn0)|n=1,2,… ,128}，畫出信號波形圖 (3) 畫出含噪信號 {x(n)=s(nn0)+u(n)|n=1,2,…,128} 的波形圖 (4) 計算無信號情況下 [x(n)=u(n)]的 {rxsN(m)|m=0,1,…,96}。 畫出 波形圖 余弦脈沖的起點從 1變?yōu)?n0+1,寬度 N’不變 (5) 計算有信號情況下 [x(n)=s(nn0)+u(n)]的 {rxsN(m)|m=0,1,…,96}, 畫出波形圖 (6) 比較無信號、有信號兩種情況下 |rxsN(m)|的最大值，觀測 有信號情況下 |rxsN(m)|的最大值出現(xiàn)的位置；在同樣的噪 聲強(qiáng)度下反復(fù)作多次實驗，觀測最大值位置的變化范圍； (7) 逐漸加大噪聲強(qiáng)度 ?，重復(fù)上述過程，觀測噪聲強(qiáng)度達(dá)到 什么程度時，有信號與無信號情況下 |rxsN(m)|的最大值沒 有明顯區(qū)別 (即難以檢測到信號 )，有信號情況下最大值的 位置出現(xiàn)較大的隨機(jī)性 (即難以測量信號的位置參數(shù) ) 上機(jī)實驗 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 例 32 離散時間線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)的估計 為了測定一個未知參數(shù)的線性系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)，我們對它輸入一個功率為 1的實數(shù)白噪聲序列 u(n)[例如 :白色正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)序列 ]，記其輸出為 y(n) ,估計輸入與輸出的互相關(guān)函數(shù) ( ) ( ) * ( ) ( )x y xr m r m h m h m? ? ? ?互譜或互相關(guān)函數(shù)的作用舉例 11? ( ) ( 1 m 0 )Nmn n mnh m u y NN???? ? ? ? ??當(dāng) N足夠大時 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 六、有限觀測樣本情況下的周期圖功率譜估計 假設(shè)觀測數(shù)據(jù)為 {x(n)|n=1,2,… ,N},則偏自相關(guān)序列 11( ) ( ) * ( ) [ 0 1 ]NmxNnr m x n x n m m NN??? ? ? ? ? ??11( ) ( ) * ( ) [ 0 1 ]NxNnmr m x n x n m m NN??? ? ? ? ??11( ) ( ) e x p ( ) [ 0 2 ]Nx N x NmNP r m j m? ? ? ??? ? ?? ? ? ??維納 —辛欽定理 211( ) | ( ) e x p ( ) |NxNnP x n j nN??????信號的相關(guān)圖 周期圖，與相關(guān)圖比較？ 為什么不計算 ( ) ( | | 1 )xNr m m N??第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 2111111| ( ) e x p ( ) |1{ ( ) e x p ( ) }{ ( ) e x p ( ) } *1* ( ) ( ) e x p [ ( ) ]NnNNnkNNnkx n j nNx n j n x k j kNx k x n j n kN??????????? ? ?? ? ??????令 nk=m, 則對于 m?0的所有乘積項求和 ,和值 101110 1 01[ * ( ) ( ) ] e x p ( )1[ ( ) ( ) ] e x p ( ) ( ) e x p ( )N N mmkN N NxNm k m mx k x k m j mNx k x k m j m r m j mN?????????? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ???? ? ?證： 二維積分變量置換 第 一 節(jié) 離散隨機(jī)信號基礎(chǔ)知識 令 nk=m, 則對于 m0的所有乘積項求和 ,和值 1( 1 ) 111( 1 ) 1 ( 1 )1[ * ( ) ( ) ] e x p ( )1[ ( ) ( ) ] e x p ( ) ( ) e x p ( )Nm N k mNmxNm N k m Nx k x k m j mNx k x k m j m r m j mN????? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ?則原式 (總的 和值 ) 110 ( 1 )1( 1 )( ) e x p ( ) ( ) e x p ( )( ) e x p ( ) = ( )Nx N x Nm m NNx N x NmNr m j m r m j mr m j m P??????? ? ? ??? ? ?? ? ? ????