【正文】 x ??? ? ? ?0lim ( ) 1x fx? ?(0 ) 1 0 1f ? ? ?0l i m ( ) ( 0 )x f x f? ?0x?()fx ( , )?? ??(0 0 ) (0 0 )ff? ? ?例 32：求函數(shù) 的間斷點 . 解：函數(shù)在 處沒定義， 因此 為間斷點 . 2( 1 )()( 1 )xxfxxx???0 , 1xx? ? ?0 , 1x ?? 例 33 求函數(shù) 的間斷點 解： 為分段函數(shù)，分段點為 對 ，有 1 , 1( ) 3 , 1 5sin( 2 10 ),55xxf x x xxxx?? ???? ? ? ??? ?? ???()fx 1, 5x ?1x?1( 1 0 ) l i m ( 1 ) 0xfx ??? ? ? ? ，即左、右極 限存在但不相等，故其為間斷點 對 1( 1 0 ) l i m ( 3 ) 2xfx ??? ? ? ?5( 5 0 ) l i m ( 3 ) 2xfx ??? ? ? ? ?5x?從而有 ，又 從而 為連續(xù)點，故 只有 為間斷點 . 5sin 2 ( 5 )l im 25xxx????? ? ??5s in ( 2 1 0 )( 5 0 ) l im5xxfx??????5l i m ( ) 2x fx? ??5( 5 ) ( 3 ) 2xfx ?? ? ? ?5x ? ()fx 1x?有 例 34設(shè)函數(shù) 在 處可導(dǎo)， 且 ，求 解：由導(dǎo)數(shù)定義可知 ()y f x? 0xx?0()f x k? ?000( 2 ) ( )l imxf x x f xx??? ? ??0 0 0 000( 2 ) ( ) 2 [ ( 2 ) ( ) ]l im l im2xxf x x f x f x x f xxx? ? ? ?? ? ? ? ? ????02 ( ) 2f x k???例 35討論 在 處的可導(dǎo)性 . 解： = = 雖然左、右導(dǎo)數(shù)都存在，但不相等，所以在 處不可導(dǎo) . ()f x x? 0x?0( 0 ) ( 0 )( 0 ) l imxf x ffx?? ??? ? ?? ??00l im l im ( 1 ) 1xxxx??? ? ? ?? ? ? ? ??0( 0 ) ( 0 )( 0 ) l imxf x ffx?? ??? ? ?? ??00l i m l i m 1xxx xxx??? ? ? ?? ?????0x? 例 36 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù) （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） 解 :(1)函數(shù)是由 復(fù)合而成的 ， 于是 1s in2 xy ? 21 l n s i nyx??a rc sincos xye? 22( a r c t a n )yx?12 , s in ,uy u v vx? ? ?1sin221 l n 2 12 l n 2 c os ( ) 2 c osu xdy dy du dv vdx du dv dx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?(2)函數(shù) 是由 復(fù)合而成的，于是 (3) (4) . 21 ln s i nyx??2, 1 , l n , s i ny u u v v t t x? ? ? ? ?11 2 c os2u v t xy y u v t v xtu? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?22l n s i n 1 c o t l n s i nc o ss i n1 l n s i n 1 l n s i nx x xxxxx? ? ? ???a r c s in a r c s in a r c s in a r c s insin( ) ( ) sin( ) ( a r c sin )x x x xy e e e e x? ? ?? ? ? ? ? ? ?a r c s i n a r c s i na r c s i n a r c s i n221 s i n ( )s i n ( )11xxxx eeeexx? ? ? ? ? ???222 a r c t a n ( a r c t a n )y x x???? 22441 4 a r c ta n2 a r c ta n 211xxxxxx? ? ? ???例 37求函數(shù) 的極值 . 解：函數(shù) 的定義域為 , 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 = 令 ,得駐點 .且 是不可導(dǎo) 點 .列表討論 的極值如下 : 3 2( ) ( 2 5 )f x x x??()fx ( , )?? ??5 2 2 13 3 3 310 10( ) ( 2 5 ) 33f x x x x x ???? ? ? ?310 ( 1 ) ( 0)3x xx? ?( ) 0fx? ? 1 1x ? 2 0x ?()fx由上表可知，在 處，函數(shù) 取得極小值 ； 在 處，取得極大值 1 1x ? ()fx(1) 3f ??(0) 0f ?2 0x ? x ( ,0)??()fx?()fx(0,1) (1, )??0 1? ? ?0極 小 值 3不存在 極大值 0 例 38要造一圓柱形油桶 ， 體積為 V， 問如 何設(shè)計底半徑 R和高 ,才能使用料最省 ？ 此 時 ， 底直徑與高的比是多少 ？ 解：依題意 ， 桶的表面積為 h22,VV R h hR? ???2222 2 2 2VS R R h R RR? ? ? ? ?? ? ? ? ?2 22 ( 0 )VRRR?? ? ? ? ? ? ,令 ,解得駐點 , 而 ，所以 是唯一極 小值點，由實際問題，可知它是最小值點， 故當(dāng) 時，桶表面積最小，即 用料最省，此時， 224 VSRR?? ??0S?? 3 2VR ??3440VSR??? ? ? ? 3 2VR??33 4,2VVRh????33 42 : 2 : 1 : 12VVRh ????例 39 判斷曲線 的凹凸性及拐點 解：函數(shù)定義域為 ， 令 ， 解得 3 5( ) ( 1 )f x x x??( , )?? ??5 2 5 23 3 3 35 8 5( 1 )3 3 3y x x x x x? ? ? ? ? ?213334 0 1 0 1 0 4 19 9 9xy x xx? ??? ? ? ? ?0y?? ? 14x?由表知 為凹區(qū)間 ， 為凸區(qū)間； 拐點為 （ 0， 0） 及 例 40 已知曲線 在點 處有水平切線 ， 點 為拐點 ， 試 寫出曲線方程 . 1( , 0 ) ( , )4?? ??1(0, )4313( , )4 1 6 1 6?32y ax bx c x d? ? ? ?( 2, 44)? (1, 10)?解：依題意求 的值 ， 由已知 ， 為駐點 ， 有 即 ，得 由 ，即 , , , ,a b c d2x??2 0xy ??? ?2 2( 3 2 ) 0xa x b x c ??? ? ?1 2 4 0a b c? ? ?1 0xy ??? ? 1( 6 2 ) 0xa x b ???得 。又點 , 都在曲線上，有 ，由方程組： 故曲線方程為 . 6 2 0ab?? ( 2, 44)?8 4 2 4 4 , 1 0a b c d a b c d? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 2 4 0 16 2 0 38 4 2 4 4 2 41 0 1 6a b c aa b ba b c d ca b c d d? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???323 24 16y x x x? ? ?