[經(jīng)濟(jì)學(xué)]非壽險(xiǎn)第二章-資料下載頁(yè)
2025-10-07 22:39本頁(yè)面
【正文】 服從以 為參數(shù)的復(fù)合泊松分布是指它滿足： （ 1） 隨機(jī)變量 相互獨(dú)立； （ 2） 具有相同的分布； （ 3） N服從泊松分布，參數(shù)為 1NiiSX??? 0??12N X X、 、12XX、0??若記具有相同分布的 為 X，它們的共同分布函數(shù)為 F（ x） ,則 復(fù)合泊松分布隨機(jī)變量 S的數(shù)學(xué)期望和方差為： ， 其矩母函數(shù)為： 分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為： iXES EX?? 2V a r S EX??? ?( ) 1() XMtSM t e? ??*1( ) ( )!nnSXneF x F xn? ????? ?*1( ) ( )!nnSXnef x f xn? ????? ? 賠款總量的近似模型 在非壽險(xiǎn)精算實(shí)務(wù)中，常用近似模型計(jì)算賠款總量的分布。一般常用兩種近似模型：在賠款總量分布呈對(duì)稱狀時(shí)，用 正態(tài)近似 ；在賠款總量分布右偏時(shí)，則用 平移伽瑪近似 。 1. 正態(tài)近似 我們不加證明的介紹下列兩個(gè)結(jié)論： 在 S為復(fù)合泊松分布的場(chǎng)合，沿用上面的記號(hào)，則當(dāng) 時(shí)， 的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 ? ? ??2()S E XZEX???? 在 S為復(fù)合負(fù)二項(xiàng)分布的場(chǎng)合， N服從以 k、 p為參數(shù)的負(fù)二項(xiàng)分布，則當(dāng) 時(shí)， 的分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。 k ? ??2 2 2111( ) ( )pS k EXpZppk EX k EXpp?????? 事實(shí)上，賠款總量 S的分布常為右偏態(tài)，因此在大多數(shù)場(chǎng)合用平移伽瑪近似比正態(tài)近似更為恰當(dāng)。 我們用 表示以 為參數(shù)的伽瑪分布函數(shù)，對(duì)任意一點(diǎn) ，定義一個(gè)新的分布函數(shù) ,并稱之為平移伽瑪分布，相當(dāng)于把伽瑪分布平移了 個(gè)單位。 ( 。 , )G a m m a x ?? ,??0x00( 。 , , ) ( 。 , )H x x G a m m a x x? ? ? ???0x平移伽瑪分布的三個(gè)參數(shù)可以通過(guò)令它的一階矩、二階和三階中心矩分別與 S的一階矩、二階和三階中心矩相等的方程組得到，即 得 ??????????????????????3320)ESS(E2V a r SESx20 33323()2()()4[ ( ) ]2()Var Sx ESE S ESVar SE S ESVar SE S ES??????????????????特別，當(dāng) S為復(fù)合泊松分布時(shí)， ????????????????????3223323220EXEX2)EX()EX(4EX)EX(2EXx 如果當(dāng) 時(shí) ， ， 則平移伽瑪分布 趨于正態(tài)分布 。 0 ,x ?? ?? ? ??20 2,x??????? ? ?( 。 , , )oH x x?? 2( , )N ??練習(xí)題 某類保單在某年的一次賠款額 X服從以 α， β為參數(shù)的伽瑪分布，考慮通貨膨脹的影響，估計(jì)下一個(gè)年度的一次賠款額 Y將比 X增加 10%，試求 Y的分布。 如果某連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) f（ x）滿足： 則稱該隨機(jī)變量服從混合指數(shù)分布。混合指數(shù)分布也常用來(lái)描述賠款分布。試計(jì)算混合指數(shù)分布的矩母函數(shù)。 ? ?11, 0 , 0 , 0 , 1innxi i i i iiif x A e x A A??????? ? ? ? ???0x已發(fā)生的 1500次賠款表明其平均賠款額為 960元，標(biāo)準(zhǔn)差為 120元。若賠款額服從正態(tài)分布，試計(jì)算 的值，使 1500次賠款中有 800次的賠款額小于它，而有 700次的賠款額大于它，并計(jì)算 1500次賠款中賠款額小于 800元的次數(shù)。 如果第 3題中賠款額改為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，試回答同樣的問(wèn)題。 λ=，試計(jì)算 80000分同類保單中，一年賠款兩次以上（不包括兩次）的保單能有多少份。 根據(jù)過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)，某保險(xiǎn)公司在某項(xiàng)業(yè)務(wù)的一次賠款額服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，其平均賠款額為5000元，標(biāo)準(zhǔn)差為 7500元。試計(jì)算一次賠款超過(guò)25000元的概率。 分別城堡兩類特定風(fēng)險(xiǎn)的兩個(gè)獨(dú)立險(xiǎn)種的每份保單在一年中的平均賠款次數(shù)分別為 ，保險(xiǎn)公司欲推出一個(gè)新的險(xiǎn)種，同時(shí)承保這兩種風(fēng)險(xiǎn)。試計(jì)算 1000分這種新保單在一年中共發(fā)生 140起以上賠款的概率，并說(shuō)明計(jì)算所必須的假設(shè)前提。
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