[經(jīng)濟學(xué)]非壽險第二章-資料下載頁
2024-10-16 22:39本頁面
【正文】 服從以 為參數(shù)的復(fù)合泊松分布是指它滿足： （ 1） 隨機變量 相互獨立； （ 2） 具有相同的分布； （ 3） N服從泊松分布，參數(shù)為 1NiiSX??? 0??12N X X、 、12XX、0??若記具有相同分布的 為 X，它們的共同分布函數(shù)為 F（ x） ,則 復(fù)合泊松分布隨機變量 S的數(shù)學(xué)期望和方差為： ， 其矩母函數(shù)為： 分布函數(shù)和密度函數(shù)分別為： iXES EX?? 2V a r S EX??? ?( ) 1() XMtSM t e? ??*1( ) ( )!nnSXneF x F xn? ????? ?*1( ) ( )!nnSXnef x f xn? ????? ? 賠款總量的近似模型 在非壽險精算實務(wù)中，常用近似模型計算賠款總量的分布。一般常用兩種近似模型：在賠款總量分布呈對稱狀時，用 正態(tài)近似 ；在賠款總量分布右偏時，則用 平移伽瑪近似 。 1. 正態(tài)近似 我們不加證明的介紹下列兩個結(jié)論： 在 S為復(fù)合泊松分布的場合，沿用上面的記號，則當 時， 的分布趨于標準正態(tài)分布。 ? ? ??2()S E XZEX???? 在 S為復(fù)合負二項分布的場合， N服從以 k、 p為參數(shù)的負二項分布，則當 時， 的分布趨于標準正態(tài)分布。 k ? ??2 2 2111( ) ( )pS k EXpZppk EX k EXpp?????? 事實上，賠款總量 S的分布常為右偏態(tài)，因此在大多數(shù)場合用平移伽瑪近似比正態(tài)近似更為恰當。 我們用 表示以 為參數(shù)的伽瑪分布函數(shù)，對任意一點 ，定義一個新的分布函數(shù) ,并稱之為平移伽瑪分布，相當于把伽瑪分布平移了 個單位。 ( 。 , )G a m m a x ?? ,??0x00( 。 , , ) ( 。 , )H x x G a m m a x x? ? ? ???0x平移伽瑪分布的三個參數(shù)可以通過令它的一階矩、二階和三階中心矩分別與 S的一階矩、二階和三階中心矩相等的方程組得到，即 得 ??????????????????????3320)ESS(E2V a r SESx20 33323()2()()4[ ( ) ]2()Var Sx ESE S ESVar SE S ESVar SE S ES??????????????????特別，當 S為復(fù)合泊松分布時， ????????????????????3223323220EXEX2)EX()EX(4EX)EX(2EXx 如果當 時 ， ， 則平移伽瑪分布 趨于正態(tài)分布 。 0 ,x ?? ?? ? ??20 2,x??????? ? ?( 。 , , )oH x x?? 2( , )N ??練習題 某類保單在某年的一次賠款額 X服從以 α， β為參數(shù)的伽瑪分布，考慮通貨膨脹的影響，估計下一個年度的一次賠款額 Y將比 X增加 10%，試求 Y的分布。 如果某連續(xù)型隨機變量的密度函數(shù) f（ x）滿足： 則稱該隨機變量服從混合指數(shù)分布?；旌现笖?shù)分布也常用來描述賠款分布。試計算混合指數(shù)分布的矩母函數(shù)。 ? ?11, 0 , 0 , 0 , 1innxi i i i iiif x A e x A A??????? ? ? ? ???0x已發(fā)生的 1500次賠款表明其平均賠款額為 960元，標準差為 120元。若賠款額服從正態(tài)分布，試計算 的值，使 1500次賠款中有 800次的賠款額小于它，而有 700次的賠款額大于它，并計算 1500次賠款中賠款額小于 800元的次數(shù)。 如果第 3題中賠款額改為服從對數(shù)正態(tài)分布，試回答同樣的問題。 λ=，試計算 80000分同類保單中，一年賠款兩次以上（不包括兩次）的保單能有多少份。 根據(jù)過去的經(jīng)驗，某保險公司在某項業(yè)務(wù)的一次賠款額服從對數(shù)正態(tài)分布，其平均賠款額為5000元，標準差為 7500元。試計算一次賠款超過25000元的概率。 分別城堡兩類特定風險的兩個獨立險種的每份保單在一年中的平均賠款次數(shù)分別為 ，保險公司欲推出一個新的險種，同時承保這兩種風險。試計算 1000分這種新保單在一年中共發(fā)生 140起以上賠款的概率，并說明計算所必須的假設(shè)前提。
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