【導(dǎo)讀】Slide1數(shù)學(xué)建模課程模板。東北大學(xué)信息學(xué)院。薛定宇、陳陽泉，高等應(yīng)用數(shù)學(xué)問題的。MATLAB求解，2020,2020，清華大學(xué)出版社。MATLAB語言符號運(yùn)算局限性：。目前只支持32位MATLAB運(yùn)行，在64位操作系。統(tǒng)上必須安裝32位版MATLAB. 從MATLAB2020b開始，符號運(yùn)算放棄了Maple. 內(nèi)核，改用MuPAD作為符號運(yùn)算引擎，功能變。弱了很多，好些問題不能再求解了。解析解與數(shù)值解ch1. 線性代數(shù)問題求解ch4簡單介紹。非線性方程求解ch6. 數(shù)據(jù)插值、處理與擬合ch8. 由已知公式一步步推導(dǎo)出的解。例如，高等數(shù)學(xué)計(jì)算，復(fù)雜問題不能手工。解析解不存在或不現(xiàn)實(shí)，需要數(shù)值解。不存在p，工程應(yīng)用。高階矩陣的行列式，計(jì)算量。矩陣分析問題由簡單命令即可。逆矩陣inv，偽逆pinv. 特征多項(xiàng)式系數(shù)poly. 無解，最小二乘解。Lyapunov方程、Riccati方程等。lyap、are等函數(shù)可以直接求解。非線性方程的解析解?？梢赞D(zhuǎn)換成單變量多項(xiàng)式方程的多元方程。任意指定初值進(jìn)行搜索求解。MaxIter:最大迭代步數(shù)超限，默認(rèn)500步。舉例，擴(kuò)展Riccati方程。求解方法比較、總結(jié)

　　

【正文】 lide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 79 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 一元函數(shù)的插值與曲線擬合 數(shù)學(xué)問題 已知：樣本點(diǎn) 求未知點(diǎn) X 處函數(shù)值 Y MATLAB求解步驟 生成樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)向量 插值問題求解 ‘linear’, ‘cubic’ ‘spline’ Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 80 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 一元插值舉例 由已知函數(shù)生成一組樣本點(diǎn)，觀察能否較好地插值擬合原曲線 樣本數(shù)據(jù)生成與顯示 MATLAB命令 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 81 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 插值問題的極端例子 正弦函數(shù)的曲線擬合 假設(shè)已知稀疏點(diǎn) 0,2,p 處的函數(shù)值 樣本點(diǎn)計(jì)算與顯示 插值運(yùn)算、曲線擬合 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 82 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 插值問題的反例 假設(shè)由快速變化的函數(shù)生成一組稀疏的樣本點(diǎn)，例如 稀疏數(shù)據(jù)生成和樣本點(diǎn)顯示 數(shù)據(jù)插值與曲線擬合效果 樣本點(diǎn)信息不足 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 83 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 二元網(wǎng)格樣本點(diǎn)的插值 已知在 xy 平面上網(wǎng)格點(diǎn)處的 z 值，如何擬合 xy 平面內(nèi)任意點(diǎn)插值？如何擬合曲面？ 二元插值求解步驟： 構(gòu)造網(wǎng)格數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)型 （ meshgrid 函數(shù)） 二元函數(shù)插值求解 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 84 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 二元網(wǎng)格數(shù)據(jù)插值舉例 網(wǎng)格樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)原型函數(shù) 稀疏數(shù)據(jù)生成 數(shù)據(jù)插值 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 85 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 一般分布數(shù)據(jù)的二元插值問題 樣本點(diǎn)不一定在網(wǎng)格上 已知 向量，計(jì)算 點(diǎn)上的函數(shù)值 常規(guī)曲面圖繪制命令不能繪制曲面 數(shù)據(jù)插值方法： 曲面圖繪制方法： 讓插值點(diǎn) x,y 在網(wǎng)格上 插值后直接利用 surf函數(shù)進(jìn)行曲面繪制 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 86 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 插值舉例 由原型函數(shù)生成隨機(jī)發(fā)布的數(shù)值 MATLAB語句 插值運(yùn)算 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 87 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 插值應(yīng)用：由離散樣本點(diǎn)進(jìn)行最優(yōu)化 前面介紹的最優(yōu)化是已知函數(shù)的最優(yōu)化 如果未知函數(shù)，可以考慮插值去擬合 最優(yōu)化舉例 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 88 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 由數(shù)據(jù)擬合數(shù)學(xué)模型 為什么要擬合數(shù)學(xué)模型？ 插值只能求出感興趣點(diǎn)的函數(shù)值 有時(shí)需要數(shù)學(xué)模型表示 需要由模型推導(dǎo)其他內(nèi)容 能擬合出那些模型 多項(xiàng)式模型 已知非線性函數(shù)模型 其他領(lǐng)域模型，如控制中擬合傳遞函數(shù)模型 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 89 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 由數(shù)據(jù)擬合出多項(xiàng)式 數(shù)學(xué)問題 已知樣本點(diǎn)數(shù)據(jù) 求出一個(gè)擬合多項(xiàng)式（系數(shù)） 問題求解步驟： 準(zhǔn)備數(shù)據(jù)向量 設(shè)定多項(xiàng)式次數(shù) n 擬合多項(xiàng)式 檢驗(yàn)擬合效果，如果不好，重新選擇次數(shù) n Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 90 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 多項(xiàng)式擬合舉例 考慮原型函數(shù)的系數(shù)樣本點(diǎn) 生成數(shù)據(jù) 對不同多項(xiàng)式次數(shù)擬合，觀察效果 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 91 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 已知原型函數(shù)的最優(yōu)函數(shù)擬合 數(shù)學(xué)問題描述 已知樣本點(diǎn) 已知原型函數(shù)（未知具體參數(shù)） fun 求出函數(shù)系數(shù)，使得擬合誤差最小 求解步驟： 生成樣本點(diǎn)向量 描述原型函數(shù)：匿名函數(shù)和 M函數(shù) 最優(yōu)擬合 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 92 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 一元函數(shù)擬合舉例 原始函數(shù) 原型函數(shù) 生成數(shù)據(jù)和原型函數(shù)的 MATLAB表示 曲線擬合 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 93 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 多元函數(shù)擬合舉例 原函數(shù) 原型函數(shù) 生成樣本點(diǎn) 寫出原型函數(shù) 求解 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 94 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型 模擬生物神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行計(jì)算、近似等 適合數(shù)據(jù)擬合的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)類型 前饋神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（反向傳播 BP算法） 徑向基網(wǎng)絡(luò) (RBF網(wǎng)絡(luò) ) 徑向基網(wǎng)絡(luò)的使用 建立網(wǎng)絡(luò) 訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò) 泛化 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 95 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 原始問題 生成數(shù)據(jù)、擬合、比較 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)擬合 一元擬合舉例 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 96 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 二元函數(shù)擬合舉例 原始問題 數(shù)據(jù)生成、擬合、比較 徑向基網(wǎng)絡(luò)擬合 Slide 1 (of 11) Sunday, 20205 10, 11:20:13 Slide 97 (of 97)數(shù)學(xué)建模課程模板 東北大學(xué)信息學(xué)院 數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析 已知數(shù)據(jù)矩陣 X 統(tǒng)計(jì)量計(jì)算 均值 mean(X) （按列計(jì)算） 每列數(shù)據(jù)的方差 cov(X(:,i)) 標(biāo)準(zhǔn)差 std(X(:,i)) 協(xié)方差矩陣 cov(X) 相關(guān)系數(shù)矩陣 corrcoef(X