【導(dǎo)讀】模擬信號數(shù)字處理方法。性的，其周期如何計算等。間的關(guān)系；求解線性卷積的圖解法（列表法）、解析法，如果公式中x和h分別是系統(tǒng)的輸入和單位。輸出和單位脈沖響應(yīng)之間服從線性卷積關(guān)系。該式說明任何序列與δ的線性卷積等于原序列。信號的采樣頻率要大于等于該信號的最高頻率的兩倍以上，這是由時域離散信號理想恢復(fù)模擬信號的插值公式。①當(dāng)整數(shù)，則周期為；=1，已知LSI系統(tǒng)的單位抽樣響應(yīng)，可用。來判斷穩(wěn)定性，用h=0，n<0來判斷因果性。

　　

【正文】 FFT算法時， 才稱為快速算法， 否則比直接在時域計算循環(huán)卷積的運算量大 3倍以上。 2 線性卷積的快速計算 —— 序列 h(n)和 x(n)的長度分別為 N和 M， L=N+M－ 1， 求y(n)=h(n)*x(n)的方法如下： （ 1）在 h(n)的尾部加 L－ N個零點， 在 x(n)的尾部加 L－ M （ 2）計算 L點的 H(k)=FFT［ h(n)］和 L點的 X(k)=FFT［ x(n)］ 。 （ 3） 計算 Y(k)=H(k)X(k) （ 4） 計算 Y(n)=IFFT［ Y(k)］， n=0， 1， 2， 3， … ， L1。 但當(dāng) h(n)和 x(n)中任一個的長度很長或者無限長時， 需用書上介紹的重疊相加法和重疊保留法。 解 : 序列 的點數(shù)為 ， 的點數(shù)為 ，故 的點數(shù)應(yīng)為 又 為 與 的 15點的圓周卷積，即 L＝ 15。 是線性卷積以 15為周期周期延拓后取主值序列 混疊點數(shù)為 N－ L＝ 20－ 15＝ 5 故 中只有 到 的點對應(yīng)于 應(yīng)該得到的點。 3. 已知兩個有限長序列為 試用作圖表示 ， 以及 ⑦ 。 … 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 … 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 nm? ?/x n m? ?/y n m? ?? ? ? ?77y m R n?? ?? ? ? ?771y m R n?? ?? ? ? ?772y m R n?? ?? ? ? ?773y m R n?? ?? ? ? ?774y m R n?? ?? ? ? ?775y m R n?? ?? ?7ym?? ?? ?7ym? ?? ? ? ?776y m R n?0 4 2 10 10 8 ()fn4 是 N點有限長序列， ?，F(xiàn)將長度變成 rN點的有限長序列 試求 rN點 與 的關(guān)系。 解：由 得 在一個周期內(nèi)， Y (k)的抽樣點數(shù)是 X (k)的 r倍 ( Y (k)的周期為 Nr)，相當(dāng)于在 X (k)的每兩個值之間插入 r1個其他值（不一定為零），而當(dāng) k為 r的整數(shù) l倍時， Y (k)與 X (k / r)相等。 相當(dāng)于頻域插值 思 . 已知 是 N點的有限長序列， ，現(xiàn)將 的每兩點之間補進 個零值點，得到 一個 rN點的有限長序列 試求 rN點 與 的關(guān)系。 解：由 得 故 離散時域每兩點間插入 r 1個零值點，相當(dāng)于頻域以 N為周期延拓 r次，即 Y(k)周期為 rN。 )()]([)]([)(.4knNxnXD F TnxD F TkXD F T???證明的對稱定理，即假設(shè)證明證明 )()]([,0,)())(()()]([)()(10)(1010)(10101010KNNxnxDF TkNmkNmNWWmxWWmxWnXnXDF TWnxkXNnnkmNNmNnnkmNNnknNNmmnNNnknNNnknN???????????????? ?? ???????????????????所以由于所以因為8頻域循環(huán)移位定理 2[ (( )) ( )] ( ) ( )j n lnl NN N NIDF T X k l R k W x n e x n??? ? ?)()(1))((1)())((1)(1)]([)(101(1010nxWWmXNWWmXNnylkmWlkXNWkYNkYI DF TnynlNNmmnNnlNlNlmnlmNNNkknNNNkknN???????????????????????????）令證明： 13. 已知序列 現(xiàn)對于 x(n) 的 變換在單位圓上 等分抽樣，抽樣值為 試求有限長序列 , 點。 分析： 我們知道， 時域采樣和頻域采樣各有相應(yīng)的采樣定理。 頻域采樣定理包含以下內(nèi)容 : （ 1） 設(shè) x(n)是任意序列， X(ejω)=FT［ x(n)］，對 X(ejω)等間隔采樣得到 kNN XkX π2j )e()(????k=0， 1， 2， 3， … ， N－ 1 則 ????????nNNN nRiNnxkXnx )()()]([I D F T)( (2) 如果 x(n)的長度為 M， 只有當(dāng)頻域采樣點數(shù) N≥M時， xN(n)=x(n)， 否則 ???????nN iNnxnx )()(~會發(fā)生時域混疊， xN(n)≠x(n)。 通過頻率域采樣得到頻域離散序列 xN(k)， 再對 xN(k)進行IDFT得到的序列 xN(n)應(yīng)是原序列 x(n)以采樣點數(shù) N為周期進行周期化后的主值區(qū)序列， 這一概念非常重要。 (3) 如果在頻率域采樣的點數(shù)滿足頻率域采樣定理， 即采樣點數(shù) N大于等于序列的長度 M， 則可以用頻率采樣得到的離散函數(shù) X(k)恢復(fù)原序列的 Z變換 X(z)， 公式為 )()()(10zkXzX kNk?????式中 1111)(?????zWzNz kNNk?上面第一式稱為 z域內(nèi)插公式， 第二式稱為內(nèi)插函數(shù)。 第 4章 快速傅里葉變換 (FFT) 引言 基 2FFT算法 進一步減少運算量的措施 分裂基 FFT算法 離散哈特萊變換 (DHT) ， 是兩個 N點實序列 ， 的 值，今需要從 ， 求 ， 的值，為了提高運算效率，試用一個 N點 運算一次完成。 例：設(shè) x1(n)和 x2(n)都是 N點的實數(shù)序列，試用一次 N點 DFT運算來計算它們各自的 DFT: 解： 由題意 構(gòu)造序列 對 作一次 N點 IFFT可得序列 又根據(jù) DFT的線性性質(zhì) 而 ， 都是實序列 根據(jù) DIT―FFT 的思想及蝶形運算規(guī)則，可得到 1212( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2kNkNX k X k W X kNX k X k W X k? ???? ?? ? ???0 ,1 , .. ., / 2 1kN??