【正文】 6x 5x 8x ) 6x 18x ) ) 109x ) 109x327 327 所以 (3)f =327 例 已知 1i? 是方程 4 3 24 5 2 2 0x x x x? ? ? ? ?的一個(gè)根，解此方程。 解： 由于實(shí)系數(shù)方程的復(fù)根市成 對(duì)出現(xiàn)， 1i? 是方程的根，從而 1i? 也是他的一個(gè)根，故多項(xiàng)式 4 3 2( ) 4 5 2 2f x x x x x? ? ? ? ?可被2( ) [ ( 1 ) ] [ ( 1 ) ] 2 2g x x i x i x x? ? ? ? ? ? ? ?整除，用 ()gx去除 ()fx得商 2 21xx??，它的根為 12? ， 故原方程的四個(gè)根為 1 ,1 ,1 2 ,1 2ii? ? ? ? 解有關(guān)有理數(shù)域上的因式分解及有理根 設(shè) 11 1 0() nnnnf x a x a x a x a??? ? ? ? ?是一個(gè)整系數(shù)多形式，而 rs 是它的一個(gè)有理根，其中 ,rs互素，則必有 0,ns a r a 。特別地，如果 ()fx的首項(xiàng)系數(shù) 1na? ，則 ()fx的有理根都是整數(shù)根，而且是 0a 的因子。 例 求多項(xiàng)式 326 15 14x x x? ? ?的有理根 解： 由于是首項(xiàng)系數(shù)為 1的整系數(shù)多項(xiàng)式，如果有有理根，必為整數(shù)根，且為常數(shù)項(xiàng) 14 的因數(shù)為： 1 2 7 14? ? ? ? 由帶余除法可得： ( 1 ) 4 , ( 1 ) 3 6 , ( 2 ) 0 , ( 2 ) 7 2 ,( 7 ) 1 4 0 , ( 7 ) 7 5 6 , ( 1 4 ) 1 7 6 4 , ( 1 4 ) 4 1 4 4f f f ff f f f? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 所以在有理數(shù)域上只有 2是它的根。 例 10： 多項(xiàng) 式 2 1x? 在有理數(shù)域上是否可約？ 解： 常數(shù)項(xiàng) 1 的因式為： 1? 由帶余除法可得： (1) ( 1) 2ff? ? ? 所以其在有理數(shù)域上不可約 帶余除法在矩陣多項(xiàng)式中的應(yīng)用 4, 關(guān)于矩陣多形式可逆的判定 在關(guān)于矩陣多項(xiàng)式可逆判別中，這里提出了用多項(xiàng)式的帶余除法來(lái)解決：“已知 ( ) 0fA? ，證明 ()gA可逆且求其逆 1( ( ))gA? ”這一類(lèi)問(wèn)題得方法 . 定理： 用 ()gx除 ()fx，若 ( ) ( ) ( ) ( )f x g x h x r x??，其中 ()rx 是次數(shù)低于 ()gx的一個(gè)非零多項(xiàng)式，則用 ()rx 除 ()gx，如此下去，求出 ()fx與 ()gx 的最大公因式；若 1(f(x),g(x))= ，則有多項(xiàng)式 ( ), ( )u x v x 使 ( ) ( ) ( ) ( ) 1f x u x g x v x??，由于( ) 0fA? ，從而有 ( ) ( )g A v A E? ，故可逆 ()gA，且 1( ( )) ( )g A v A? ? 例 1 設(shè) n階矩陣 A滿足， 2 5 4 0A A E? ? ?證明： ( 3 )AE? 可逆，并求其逆。 證明： 設(shè) ( ) 5 4 , ( ) x x x g x x? ? ? ? ? 則由帶余除法： 2283 5 43848 2 420xx x xxxxx?? ? ???? 得： ( ) ( )( 8 ) 20f x g x x? ? ? ( ) ( ) ( 8 ) 20f A g A A E E? ? ? ? 2( ) 5 4 0 , ( ) 3f A A A E g A A E? ? ? ? ? ? ( 3 ) ( 8 ) 20A E A E E? ? ? ? ? 1( 3 ) ( ) ( 8 )20A E A E E? ? ? ? ? 由定義， 3AE? 可逆且 1 1( 3 ) ( 8 )20A E A E?? ? ? ? 例 1 設(shè) 3 2 2( ) 3 2 2 , ( ) 1f x x x x g x x x? ? ? ? ? ? ?，已 知 ( ) 0fA? ，證明 ()gA可逆且求 ()gA的逆。 證明： 由帶余除法有： ( ) ( ) ( 3 1 ) ( 1 )f x g x x x? ? ? ? ? （ 1） ( ) ( 1)( ) 1g x x x? ? ? ? ? (2) 由（ 1）式 ( 1 ) ( ) ( ) ( 3 1 )x f x g x x? ? ? ? ?，代入（ 2）式，整理得： 2( ) ( ) ( 3 1 ) 1f x x g x x x? ? ? ? ? 2( ) ( ) ( 3 )f A A g A A A E E? ? ? ? ? 又 ( ) 0fA? ， 2( ) ( 3 )g A A A E E? ? ? ? ? ()gA? 可逆，且 12( ( ) ) 3g A A A E?? ? ? ? ? 有關(guān)矩陣最小多項(xiàng)式的問(wèn)題 （ 見(jiàn)文 [3]） 例 1 設(shè) ()Am? 是方陣 A 的最小多項(xiàng)式。若 ()f? 是 A 的零化多項(xiàng)式（即 ( ) 0fA? ），則 ()Am? 整除 ()f? 證： 用 ()Am? 去除 ()f? ，可設(shè) ( ) ( ) ( ) ( )Af q m r? ? ? ??? 其中 ( ( )) ( ( ))Arm??? ? ? ，以 A 代上式，得 ( ) ( ) ( ) ( ) 0Ar A f A q A m A? ? ? 于是 ( ) 0rA? ，即 ()Am? 整除 ()f? 例 1 設(shè)12sAAAA?????????是對(duì)角塊矩陣， 1, 2,sA A A 是子方陣，證明 A的最小多項(xiàng)式 ()Am? 等于這些 iA 的最小多項(xiàng)式 ()iAm ?的最小公倍式。 證： 令12( ) [ ( ) , ( ) , , ( ) ]sA A Am m m m? ? ? ??，顯然 12()()()()smAmAmAmA??????? 從例 13 知 ( ) ( )Amm?? 反過(guò)來(lái)，因 12()()( ) 0()AAAAsmAmAmAmA???????? 即對(duì)每個(gè) 1 IS?? ， ( ) 0AimA? ，再?gòu)睦?13 知 ( ) ( )iAAmm??，從而 ( ) ( )Amm??，這就表明 ( ) ( )Amm??? 參考文獻(xiàn) [1] 王萼芳 石生明 .高等代數(shù) [M].北京市：高等教育出版社， ： 89， 1315 [2] 徐仲 陸全 張凱院 呂全義 陳芳 袁志杰 .高等代數(shù)導(dǎo)教導(dǎo)學(xué)導(dǎo)考 [M].西安 :西北工業(yè)大學(xué)出版社 ,:382 [3] 劉丁西 .高等代數(shù)習(xí)題精解 [M]. 合肥 : 中 國(guó) 科 技 技 術(shù) 大 學(xué) 出 版社 ,:724 [4] 王成 饒從軍 .矩陣初等變換的應(yīng)用研究 [J].高等數(shù)學(xué)研究， (4):310 [5] 宋玉霞 王文省 .用矩陣的初等變換求商和余式 [J].大學(xué)數(shù)學(xué)， 2021,21(1): 12 [6] 黃朝軍 .矩陣初等變換的一個(gè)應(yīng)用 [J].黔東南民族師范高等專(zhuān)科學(xué)校學(xué)報(bào)，2021,22(6):46 [7] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何代數(shù)教研室 .高等代數(shù) [M].北京：人民教育出版社 . [8] 鄭新東 .高等代數(shù)學(xué)習(xí)指南 [M].廣州：華南理工大學(xué)出版社 .16 [9] 張禾瑞，郝鈵新 .高等代數(shù)（ 第四版 ） [M].北京：高等教育出版社， . [10] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組 .高等代數(shù)（第二版） [M].北京：高等教育出版社， [11] 程云鵬，張凱院，徐仲 .矩陣論（第二版） [M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社， 致 謝 本論文是 在 余海峰 導(dǎo)師的悉心指導(dǎo)之下完成的。四年來(lái)，導(dǎo)師淵博的專(zhuān)業(yè)知識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)態(tài)度，精益求精的工作作風(fēng)，誨人不倦的高尚師德，樸實(shí)無(wú)華、平易近人的人格魅力對(duì)我影響深遠(yuǎn)。導(dǎo)師不僅授我以文，而且教我做人，雖歷時(shí)四載，卻賦予我終生受益無(wú)窮之道。本論文從選題到完成，幾易其稿，每一步都是在導(dǎo)師的指導(dǎo)下完成的，傾注了導(dǎo)師大量的心血，在此我向我的導(dǎo)師 余海峰 表示深切的謝意與祝福！ 本論文的完成也離不開(kāi)其他各位老師、同學(xué)和朋友的關(guān)心與幫助。在此也要感謝謝敏芳 等各位老師在論文開(kāi)題、初稿、定稿期間所提出的寶貴意見(jiàn)?；叵胝麄€(gè)論文 的寫(xiě)作過(guò)程，雖有不易，卻讓我除卻浮躁，經(jīng)歷了思考和啟示，也更加深切地體會(huì)了數(shù)學(xué)的精髓和意義，因此倍感珍惜。書(shū)到用時(shí)方恨少，在這篇論文的寫(xiě)作過(guò)程中，我深感自己的水平還非常的欠缺。生命不息，學(xué)習(xí)不止，人生就是一個(gè)不斷學(xué)習(xí)和完善的過(guò)程。 孟飛飛 2021 年 05 月 3 日于合肥學(xué)院