【正文】 （ 35）式所示： 200( , ) ( , ) e x p [ ( c o s s in ) ]Pf x y F j x y d d? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? （ 35） 第 13 頁(yè) 我們假設(shè) f(x,y)在時(shí)域上限制在一個(gè)方形區(qū)域中，特別地： ( , ) 0 if o r . f x y x a y b? ? ? （ 36） 因此可以把公式（ 35）改寫(xiě)為 0( , ) ( , ) e x p ( ) ,pf x y F j t d d? ??? ? ? ? ?? （ 37） 其中 cos si nt x y????。在現(xiàn)實(shí)中，由于 ( , )pF ??只能在離散點(diǎn)取得，不妨假設(shè) ( , )pF ??能在 , , ...pp? ? ?? ? ?? ?，并且 , 0 ,1, ... , 1q q Q??? ? ? ?，其中 /Q???? ，那么我們把式（ 37）離散化可以得到 10( , ) ( , ) e x p ( ) ,Qpqpf x y F p q p j p t??? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 38）定義 f[n,m] = f(n△ x,m△ y)為 f(x,y)的采樣，并且 n = N,…, 0,…, N。 m = N,…, 0,…, N. 可以求得f[n,m]的近似 值，計(jì)算式如下： 10[ , ] [ , ] ( , ) e x p [ ( c o s ( ) s in ( ) ) ] .Q Pp x yq p Pf n m f n m F p q j p n q m q? ? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 39）由公式（ 22）可知 CBP 法是實(shí)現(xiàn)（ 35）式重建圖像的一種方法，而式（ 39）是根據(jù)式（ 35）代數(shù)變換得到的，因此 可以看出由式（ 39）重建圖像與 CBP 法重建圖像等效。 因?yàn)?在 DF重建算法中，最后一個(gè)步驟是對(duì)頻譜數(shù)據(jù)進(jìn)行二維離散傅里葉反變換。 由于式（ 310）式插值得到的 [, ]Fsr 是式（ 39）中 [ , ]f nm 的二維 DFT。因此可以得 出用式（ 310）進(jìn)行插值得到的頻譜數(shù)據(jù)再進(jìn)行二維離散傅里葉反變換重建得到的圖像與 CBP 法重建 圖像 等效 。 1022[ , ] [ , ] e xp[ (2 1 2 12 = ( , ) e xp[ (21( 2 1 ) c os( ) ] e xp[2( 2 1 )2 ( si n( ) )2 1 2NNn N m NQ PNpq p P n NNxmNyF s r f n m j snNNnF p q p jNNs p qNmj r p qN?????????? ? ??? ? ? ? ???? ? ????? ? ?? ?? ? ??? ? ????? ? ??? ? ????? ? ??] . ( 3 10) 由式（ 310）我們可以得到按以下兩個(gè)步驟重建圖像與 CBP 算法重建圖像等效 [9]： 步驟一：利用式（ 310）對(duì)傅里葉頻譜數(shù)據(jù)進(jìn)行極坐標(biāo)到直角坐標(biāo)系的插值； 步驟二：計(jì)算插值好的頻譜數(shù)據(jù)的二維離散傅里葉反變換。 顯而 易見(jiàn)，經(jīng)過(guò)式（ 310）插值的 DF重建算法與 CBP 算法中采取矩形窗的濾波函數(shù)等效。 同時(shí)，也很容易按照上面的推導(dǎo)方法找到與 CBP 算法中采 取其他窗函數(shù)的濾波函數(shù)等效的插值方法，只是插值函數(shù)的加權(quán)系數(shù)不會(huì)是雅克比加權(quán)系數(shù) 。當(dāng)然，兩種方法也有微小的不同。在 CBP 算法中，在反投影的步驟中需要對(duì)濾波后投影進(jìn)行插值，而應(yīng)用式（ 310）進(jìn)行插值的 DF 重建算法不需要進(jìn)行插值。因此，確切地說(shuō)，應(yīng)用式（ 310）進(jìn)行頻域插值的 DF 重建算法與在反投影步驟中對(duì)濾波后投影進(jìn)行精確插值的 CBP 算法等效。 按照式（ 310）重建圖像的仿真 結(jié)果如圖 34 所示 ，其中 CBP 法在反投影步驟中應(yīng)用了的插值方法為線性插值法 ： 由 圖像仿真結(jié)果同樣可以看出，利用式（ 310）重建圖像結(jié)果與利用 CBP 法重建圖像結(jié)果很類似，以至于直接用視覺(jué)觀察難以區(qū)分二者差 別，但是通過(guò)第 圖像的標(biāo)準(zhǔn)，可以看出二者的區(qū)別。表 32顯示了這兩種方法重建圖像的 客觀評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)指標(biāo)。 第 14 頁(yè) 然而 式（ 310）的插值法計(jì)算復(fù)雜度為 4()On ，這使得利用 這種插值法的 DF 算法其復(fù)雜度要高于 CBP 算法，因此這種算法沒(méi)有很大的實(shí)用性。不過(guò)在文獻(xiàn) [9]中提出的一種對(duì)式（ 310）的改進(jìn)算法，即對(duì)式（ 310）描述的插值器進(jìn)行加窗處理，因?yàn)閷?duì)（ 310）中 [ , ]Fsr 影響較大的 [ , ]f nm 均為靠近 [, ]Fsr 的點(diǎn)。 在文獻(xiàn) [9]中表明，對(duì)式（ 310）利用 16 6 的窗函數(shù)時(shí)，重建效果與式（ 310）插值效果類似。雖然對(duì)插值器進(jìn)行加窗處理后計(jì)算量大大降低，同時(shí)對(duì)圖像質(zhì)量影響不大，但是與 CBP 法相比，即使是加窗的插值器也沒(méi)有比 CBP 法節(jié)省計(jì)算量。因此 式（ 310）的最大意義在于證實(shí)存在一種非最優(yōu)的插值器 使得 DF 重建法與 CBP法等效，也就表明了如果利用最優(yōu)的插值器 有可能使得 DF 法重建圖像質(zhì)量要優(yōu)于用 CBP法重建圖像質(zhì)量。 文獻(xiàn) [7]中同時(shí)也表明利用這種插值法的 DF 法重建圖像之所以復(fù)雜度比CBP 法要高，很可能是由于這種方法沒(méi)有考慮到極坐標(biāo)中頻譜數(shù)據(jù)的網(wǎng)格特性，而 CBP 法利用了極坐標(biāo)的網(wǎng)格特性。 （ a） CBP 法重建圖像 （ b）等效 DF 法重建圖像 （ c） CBP 法重建圖像局部 放大圖 （ d）等效 DF 法重建圖像局部放大 圖 34 CBP法與等效 DF法重建圖像以及其局部放大圖 表 32 CBP法與等效 DF法重建圖像質(zhì)量評(píng)價(jià)參數(shù)對(duì)比 重建方法 CBP 等效 DF 法 歸一化均方距離 歸一化平均絕對(duì)距離 第 15 頁(yè) 續(xù)表 32 重建方法 CBP 等效 DF 法 最壞情況距離 9 8 一種新的高精度 DF 重建算法 投影數(shù)據(jù)的 獲得 實(shí)際的投影數(shù)據(jù)是由檢測(cè)器測(cè)得的，在計(jì)算機(jī)模擬時(shí)，則取自仿真模型，在我們的試驗(yàn)中，采取 SheppLogan模型。 由于 Radon在他的經(jīng)典論文中描述的問(wèn)題 —— 由投影重建圖像，對(duì)科學(xué)的眾多領(lǐng)域產(chǎn)生了重大影響。因此，人們把聯(lián)系目標(biāo)函數(shù)空間到投影函數(shù)空間的積分變換稱為 Radon變換 [10]。 Radon變換的公式如式（ 311）所示： ( , ) ( , ) ( c o s s in )p x f x y x y x d x d y? ? ? ????? ? ??? （ 311）其中 ( , )x?? ?? ?? ， [0, )??? ， (,)? 為 Dirac delta函數(shù)。 ( , )px?? 叫做 ( , )f xy 沿 θ方向的投影。 如果注意到 xoy 坐標(biāo)與它的旋轉(zhuǎn)坐標(biāo) xoy??的關(guān)系，即式（ 312） c o s s ins in c o sxxyy???? ? ?? ? ??? ? ?? ? ?? ?? ? ?? ? ? （ 312）那么式（ 311）的 Radon變換式可以寫(xiě)作 式（ 313） ： ( , ) ( , ) ( c o s s in , s in c o s )p x f x y d y f x y x y d y? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? （ 313）其中 ( , )x?? ?? ?? ， [0, )??? 。 式中， x? 和 ? 是定義平面上一條直線的位置的兩個(gè)變量，該直線由方程 cos si nx x y?????決定，對(duì)一個(gè)固定的 x? 和 ? ，這個(gè)直線方程決定了一條與 y? 軸平行的直線， ( , )px?? 為 ( , )f xy 沿該直線的線積分。由式（ 312）可以發(fā)現(xiàn)， (, )xy空間的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)于 ( , )x?? 空間的一條正弦曲線段 [11]。 在數(shù)學(xué)上 Radon變換是一個(gè)線積分變換，它可以看做是一個(gè)算子。該算子對(duì) (, )xy 空間的函數(shù) ( , )f xy 作用產(chǎn)生 ( , )x?? 空間的另一個(gè)函數(shù) ( , )px?? 。與 CT問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)， Radon在不同的 CT系統(tǒng)中具有不同的物理含義。 ( , )f xy 稱作被觀測(cè)目標(biāo)的表征函數(shù)， ( , )px?? 則是與這一表征函數(shù)有關(guān)的測(cè)量值。 在試驗(yàn)中 模擬投影數(shù)據(jù) ( , )px?? 有一般兩種方法，一種通過(guò)解析法計(jì)算，另一種通過(guò)數(shù)值累加法計(jì)算。 解析法計(jì)算實(shí)際上就是利用式（ 311）對(duì)模擬圖像求其 Radon變換；而通過(guò)數(shù)值累加法求其 Radon變換需要做某些方面的近似。 為了 對(duì) CBP、DF 以及 ART 算法進(jìn)行對(duì)比，在我們的試驗(yàn)中，采取數(shù)值累加法求投影數(shù)據(jù) （因?yàn)樵?ART 算法中，需要對(duì)算法開(kāi)始即對(duì)原圖進(jìn)行離散化處理，故需要采用數(shù)值累加法求投影數(shù)據(jù)） ， 這樣三種方法都可以采用相同的投影數(shù)據(jù)，使得重建圖像更具有可比性 。 在我們的仿真實(shí)驗(yàn)中 ，圖像 在某個(gè)方向 的投影數(shù)據(jù)是 所有 像素點(diǎn) 在此方向 投影數(shù)據(jù)之和。因此我們采取的待重建圖像為數(shù)字圖像（在實(shí)際的重建過(guò)程中，也可以把原圖采樣為數(shù)字圖像，因?yàn)橹亟ê蟮膱D像是天然離散的）。 圖 35 投影示意圖 第 16 頁(yè) 如圖 35所示， 每個(gè)像素點(diǎn)的投影都按比例分到離它最近的兩個(gè)投影點(diǎn)上 （也可以更精確的把每個(gè)像素再平均分為多個(gè)小的像素的，然后再求投影） 。雖然在 CT機(jī)上采集的數(shù)據(jù) 方法 與此不同，但是這種方法較精確的模擬了 CT投影的采集值。按照這種算 法思想，我們可以在每個(gè)投影角度遍歷原圖的每一個(gè)像素點(diǎn)，得到每個(gè)像素點(diǎn) 在每個(gè)投影角度 的投影值，累加之后就可以得到每個(gè)投影角度的投影值 [12]。 圖 36 投影數(shù)據(jù)圖像 圖 36為修改過(guò)的 SheppLogan模型的投影數(shù)據(jù)，其中原圖為 256256, 投影數(shù)據(jù)為 367 180，在本文后面三種方法的對(duì)比中，采用的投影數(shù)據(jù)均采用這種方法獲得，并且投影數(shù)據(jù)都為 367 360. 投影數(shù)據(jù)一維傅里葉頻譜數(shù)據(jù)的計(jì)算 對(duì)投影數(shù)據(jù)頻譜值的取得，我們采取式（ 214）計(jì)算。觀察式（ 214）， 在我們的實(shí)驗(yàn)中獲取的投 影數(shù)據(jù)，可以令 △ t = 1, △ d = 1/(128*N),其中 N為重建圖像大小，在我們的試驗(yàn)中 N 均取 256。 重建圖像時(shí)， △ d取值越小，重建圖像質(zhì)量越高，但是圖像重建速度也越慢。 因此代入數(shù)據(jù)式（ 214）可以化為式（ 314）的形式 1/2 2 / ( 1 2 8 )11/2[ , ] [ , ] [ 6 4 , 6 4 )M i n n NnMP n m p n m e n N N????? ? ?? （ 314） 式（ 314）實(shí)際上是對(duì)序列 [ , ]pnm 求解其線性調(diào)頻 z變換（ CZT）。由 CZT的性質(zhì)，我們可以知道當(dāng) CZT變換路徑為單位圓上一段圓弧時(shí)，能夠 得到信號(hào)的頻譜分析 [13]。 在這里我們沒(méi)有采用 DFT作為投影的頻譜分析， 因?yàn)?DFT對(duì)頻段 的抽樣密度 不夠，這樣導(dǎo)致插值誤差較大。而 CZT能夠滿足我們對(duì)提高頻段抽樣密度的要求，因此我們選擇使用 CZT作為對(duì)數(shù)據(jù)的頻譜分析。 對(duì)每一個(gè)角度的投影數(shù)據(jù)，按照式（ 314）求得其頻譜數(shù)據(jù) 。根據(jù)投影定理，每個(gè)角度投影數(shù)據(jù)的傅立葉變換對(duì)應(yīng)原圖二維傅立葉變換的一個(gè)切片。把所有角度的頻譜數(shù)據(jù)組合起來(lái)，也就得到了 原圖二維傅立葉變換的很多切片，如果切片足夠多，根據(jù)采樣定理，就可以精確的得到原圖的二維傅立葉頻譜數(shù)據(jù)。 根據(jù)式（ 314）求 頻譜數(shù)據(jù)，其頻率間隔1128F N?? ，其中 N 為圖像大小。根據(jù)試驗(yàn)，我們可以發(fā)現(xiàn) 當(dāng) 1128F N?? ，頻譜