畢業(yè)論文-留數(shù)與三角變換求定積分的比較-資料下載頁(yè)
2025-06-01 21:19本頁(yè)面
【正文】 zzz dz zI i I dx dzzx i z i zzz???? ? ? ? ??? ????? ????? ? ?ｅ 由于? ?1() 1 22mzzfzzz?? ?????????只有 12z? 一個(gè)一階極點(diǎn)，所以 ? ?12 11R e ( ) 2 2 3m mz zs f z z ?? ? ? ???，由留數(shù)定理得： 1212 1321 ()2 mzI iI fzi ?? ??? ?= 2 i ( ) R e s = 比較上式兩邊實(shí)部和虛部得： 2 0II?= 由于上面的例子被積函數(shù)是含 sinmx 的三角函數(shù)有理式 定積分，如果運(yùn)用三角變換公式進(jìn)行代換求解，是無(wú)法進(jìn)行計(jì)算的。這里運(yùn)用留數(shù)理論大大減小了運(yùn)算量，而且提升了計(jì)算積分的可行性。這就更充分說(shuō)明了留數(shù)理論的獨(dú)到性，下面再以實(shí)例的形式說(shuō)明其方法在求無(wú)窮積分中的重要應(yīng)用。 例 6計(jì)算積分20 c o s 0)1I mx dx mx?? ???= （[6] 解 :被積分函數(shù)為偶函數(shù)，所以 2 2 20 c o s 1 c o s 1 Re1 2 1 2 1im xI m x m x ed x d xx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ????? ??? ? ???? ? ?= 顯然函數(shù)21imzez? 在平面上只有兩個(gè)一階極點(diǎn) zi?? 且滿(mǎn)足 的條件（ 1）、（ 2）。 只有 zi? 在上半平面內(nèi)，由留數(shù)定理有222 R e 21 1 2im x im z m mzie e ed x i s i ex z i? ? ???? ??? ???? ? ????? ??? 從而 220 c o s 1 1Re1 2 1 2im x mm x ed x d x exx ?? ? ? ? ??????????? ???? 由上面的實(shí)例可以看出，雖然被積函數(shù)含有三角函數(shù)。如果應(yīng)用數(shù)學(xué)分析中的一般方法或是三角變換對(duì)其積分值進(jìn)行計(jì)算的話(huà)，就沒(méi)有一個(gè)統(tǒng)一、簡(jiǎn)潔的公式。就算可以計(jì)算其計(jì)算也是比較繁瑣的，如果利用留數(shù)理論 就可以建立一個(gè)統(tǒng)一簡(jiǎn)便的計(jì)算公式。問(wèn)題就可以輕而易舉的得到解決，達(dá)到事半功倍的效果。 4 留數(shù)理論與三角變換在定積分中的應(yīng)用比較小結(jié) 綜上所述，通過(guò)對(duì)以上六個(gè)例子的探討可以看出。應(yīng)用 三角變換法求三角函數(shù)定積分的顯著特點(diǎn)是都要經(jīng)歷轉(zhuǎn)化為求無(wú)窮積分的解的過(guò)程，而計(jì)算無(wú)窮積分是一個(gè)很繁瑣的過(guò)程。通過(guò)兩種方法的比較探討可以發(fā)現(xiàn)應(yīng)用留數(shù)理論與三角變換法求含三角函數(shù)的定積分，其演算過(guò)程的繁雜程度是不盡相同的； 而且對(duì)于含 cosmx 或sinmx 的三角有理函數(shù)的 定積分利用留數(shù)理論和三角變換法對(duì)其進(jìn)行求解所收到的效果更是截然不同， 有時(shí)甚至用三角變換法 是根本行不通的。 但是在計(jì)算有關(guān)三角函數(shù)的定積分的時(shí)候可以避免用三角變換法進(jìn)行求解，而是根據(jù)具 體情況選用更為簡(jiǎn)便、可行的解法進(jìn)行求解。從而簡(jiǎn)化計(jì)算量，提升計(jì)算的可行性；讓人思路清晰，一目了然。而留數(shù)理論正是為解決這樣的問(wèn)題而提供的一種重要的工具， 這也體現(xiàn)數(shù)學(xué)理論與方法的相互滲透和 利用留數(shù)理論求解某些三角函數(shù)定積分的優(yōu)越性。 5 結(jié)束語(yǔ) 分析學(xué)中 應(yīng)用 三角變換法 與用復(fù)變函數(shù)的有關(guān)知識(shí)計(jì)算三角函數(shù)定積分是 兩種不同的方法 。 通過(guò)上面幾個(gè)例子的探討可以看出他們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系， 操作起來(lái)有繁有簡(jiǎn)。但讓人感到興奮的是，數(shù)學(xué)理論與方法的相互滲透可產(chǎn)生若干個(gè)令人拍案叫絕的結(jié)果，這也給數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)指出了一個(gè)可以參考的蹊徑。 參考文獻(xiàn) ： [1]王瑞蘋(píng) .論留數(shù)與定積分的關(guān)系 —— 兼談發(fā)散性思維在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用 [J].菏澤學(xué)院學(xué)報(bào)， (02):7072. [2]鐘玉泉 .復(fù)變函數(shù)論 (第三版 )[M].北京 :高等教育出版社 ,2021 [3]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編高等數(shù)學(xué) (上冊(cè) )(第六版 )[M].北京 :高等教育出版社 ,2021 [4]李漢龍 ,繆淑賢 .復(fù)變函數(shù) [M].北京 :國(guó)防工業(yè)出版社 ,2021 [5]胡 娟 ,李 冬 .殘 數(shù) 在 定 積 分 中 的 應(yīng)用 [J].科技信息 ,:179. [6]許平 ,張海亮 .留數(shù)定理在定積分中的應(yīng)用 [J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究 ,:76. [7]文敏思 ,歐陽(yáng)露莎 .復(fù)變函數(shù)論 [M].武漢：武漢大學(xué)出版社 ,2021 [8]歐陽(yáng)露莎 ,劉敏思 ,劉寅 .留數(shù)理論在積分計(jì)算中的應(yīng)用 [J].中南民族大學(xué)學(xué)報(bào) (自然科學(xué)版 ),(01):109. [9]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析 (上冊(cè) )(第三版 )[M].北京 :高等教育出社 ,2021(2021重印 ) [10]陳天權(quán) .數(shù)學(xué)分析講義 [M].北京：北京大學(xué)出版社 ,2021 [11]李忠 ,方麗萍 .數(shù)學(xué)分析教程 (上冊(cè) )[M].北京 :高等教育出版社 ,2021 [12]李紅 ,謝松發(fā) .復(fù)變函數(shù)論與積分變換 [M].武漢 :華中科技大學(xué) ,2021 [13]李小飛 .留數(shù)定理在一類(lèi)定積分中的計(jì)算 [J].黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào) ,(06) [14]蓋云英 .復(fù)變函數(shù)論與積分變換指導(dǎo) [M].科學(xué)出版社 ,2021 [15]孫清華 ,孫吳 .復(fù)變函數(shù)方法與技巧 [M].武漢：華中科技大 學(xué) ,2021 [16]張瑩 .關(guān)于殘數(shù)定理的一些應(yīng)用 [J].沈陽(yáng)教育學(xué)院學(xué)報(bào) ,(03) [17]嚴(yán)之山 ,楊芬蘭 .關(guān)于復(fù)積分的計(jì)算 [J].青海師專(zhuān)學(xué)報(bào) (教育科學(xué) ),2021 [18]王艷琴 .計(jì)算復(fù)積分的幾種方法 [J].湖南工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào) ,(05)
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