【正文】 ，312 ?z，根據(jù)不同的 R O C 得反變換。 （ 1 ）1: ?zR O C 得右邊因果序列：)()()()( 312121 nununx n?? （ 2 ）311: ?? zR O C 得雙邊序列：)()()1()( 312121 nununx n????? （ 3 ）31: ?zR O C 得左邊序列：)1()()1()( 312121 ??????? nununx n 67 反演公式法： ? ??? c nj dzzzXnx 12 1 )()( ? c 為收斂域內(nèi)圍繞原點(diǎn)的閉曲線。 公式證明見 P37。 反演公式的留數(shù)計(jì)算方法： ????? ??? R zznc nj kzzXdzzzXnx ])([sRe)()( 112 1? 如果積分式為有理分式：sknzzzzzX)()()( 1???? ，即在 z k 處有 s 階極點(diǎn)。 則： kk zzsszzndzzdszzX ????? ??? ])([)!1(1])([sRe111 如果：在 z 0 處有 1 階極點(diǎn)。 則： )(])([sRe01 0 zzzX zzn ???? 68 例。求 ))(1(21)(1131?????????zzzzzX 1: ?zR O C 的 Z 反變換。 解：分子，分母各乘 3z 得：))(1(12)(23?????zzzzzzX 由反演公式得kzznRzzzzznx??????? ? ]))(1()12([sRe)(223 對(duì)2?n，只有 1?z 和?z兩個(gè)一階極點(diǎn)。 nznznzzzzzzzzzzzznx)(138])1(12[])(12[] [sRe[]sRe)(1231123?????????????????? 因?yàn)楫?dāng)2?n時(shí)原點(diǎn)為極點(diǎn)。 1)(1386])([sRe])([sRe])([sRe)0( ??????? ?????? zzz zzXzzXzzXx )(1382])([sRe])([sRe])([sRe)1( ??????? ??? zzz zzXzzXzzXx 所以，)2(])(138[)1()(1)( ?????? nunnnx n?? 69 單變 Z變換： 定義 單邊 Z 變換定義為：??????0)()(nnI znxzX。 其 RzR O C ?: 為某圓外區(qū)域。 按 1?z 的冪級(jí)數(shù)展開，其系數(shù)即 0n )( ?nx ，而不管 0?n 如何定義。 說明：對(duì)于因果序列單變 Z變換與雙邊 Z變換相同。所以可以用單 Z變換來解給定初始條件的 LTI因果系統(tǒng)問題。當(dāng)然，也可以直接使用雙邊 Z變換來解。我們可使用單邊 Z變換來解給定初始條件的 LTI因果系統(tǒng)問題，但如果把單變 Z變換靠成雙邊 Z變換一種特殊情況，所有的問題都可以直接使用雙邊 Z變換。在以后的使用中，如果不做特別說明，則 Z變換就是指的雙邊 Z變換。 70 ????? ??? n nTtnTxnx )()()( ? 離散信號(hào) ????????nnznTxzX )()(Z域表示 ????????nnjj enTxeX ?? )()(頻域表示 ????????ns T nenTxsX )()(S域表示 ?? jezj zXeX?? |)()()l n ( zjez j ??? ?? sTezzXsX?? |)()()l n (s T1 zez sT ?? 幾種變換之間的關(guān)系 71 用 Z變換分析 LTI系統(tǒng) 系統(tǒng)函數(shù)的 Z域形式 定義： ???????0 )()]([)( nnznhnhZzH 為離散 L TI 系統(tǒng)的 Z 域系統(tǒng)函數(shù)。 對(duì)于 L TI 系統(tǒng)， )()()( nhnxny ?? 。由 Z 變換的性質(zhì)可得： )()()( zHzXzY ?? 。 所以， )()()( zXzYzH ? 從系統(tǒng)的頻率響應(yīng)函數(shù)出發(fā)，也可得： ?? jezj zHeH ?? |)()( 。 系統(tǒng)函數(shù)與差分方程 對(duì)差分方程： ???????MiiNkk inxbknya00)()(兩邊作 Z 變換。 因?yàn)?kzzXknxZ ??? )()]([ ，再進(jìn)行整理得：????????NkkkMiiizazbzXzYzH00)()()( 72 系統(tǒng)函數(shù)的收斂域與系統(tǒng)特性 結(jié)論： 系統(tǒng)函數(shù) )( zH 的收斂域滿足 ???? ||1: zRR OC ，即所有的極點(diǎn)都在單位圓內(nèi)，為 L T I 系統(tǒng)是因果穩(wěn)定的充要條件。 系統(tǒng)穩(wěn)定性： 如果 )( zH 的收斂域包括單位圓， 即???? ?? ?????????? nnnjez nhenhzH j |)(||)(|)(??，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 系統(tǒng)因果特性： 如果 )( zH 的 收 斂 域 包 括 無 窮 遠(yuǎn) 點(diǎn) ， 即 ??????0)()(nnznhzH ， 0 0)( ?? nnh ，則系統(tǒng)因果。 73 系統(tǒng)函數(shù)的另、極點(diǎn)位置對(duì)系統(tǒng)特性的影響 把系統(tǒng)函數(shù)表示為： ?????????????????????????NiiMkkNMNiiMkkNMNiiiMkkkzdzcAzdzczAzzbzazH11)(11)(11)()()()()( 其中：kc是系統(tǒng)另點(diǎn)；id是系統(tǒng)極點(diǎn)。 A 為常數(shù)。kzc和izd分別是 Z點(diǎn)到另點(diǎn)和極點(diǎn)的矢量。 考察系統(tǒng)頻率函數(shù))(|)(|)( ??? ?? jjj eeHeH，相當(dāng)于 z 在單位圓上變化。 ???????????????NiiMkkNiijMkkjjNMdeceAeH1111)()()()( | | || |)(| ????????? 其中，)( ?? k和)( ?? i分別是另點(diǎn)和極點(diǎn)到單位圓的矢量角。 74 id|| ij de ?單位圓 ?jez ?)(??i零、極點(diǎn)矢量圖 kc)(??k|| kj ce ?75 討論： 幅頻特性： 在極點(diǎn)id附近， ||ij de ? 最小， |)(| ?jeH 將出現(xiàn)峰值。且id越接近單位圓，峰值越高。但極點(diǎn)過于靠近單位圓，容易引起系統(tǒng)不穩(wěn)定。 在另點(diǎn)kc附近， ||kj ce ? 最小， |)(| ?jeH 將出現(xiàn)谷點(diǎn)。且id越接近單位圓 ，谷值越低。另點(diǎn)可以在單位圓內(nèi)，也可以在單位圓外。 所以另、極點(diǎn)位置可以影響幅度頻率特性的形狀。 相位特性： 當(dāng) 變化從 ?? 20 ? ，所有在單位圓內(nèi)的另、極點(diǎn)的矢量角 )( ?? k 和 )( ?? i都變化 ?2 。這時(shí)， )( ?? 變化為 0 ，系統(tǒng)是最小相位變化系統(tǒng)。 )( ?jeH?1d1c2c2d3c76 例：一個(gè)線性非時(shí)變系統(tǒng)，它的輸入 )( nx 和輸出 )( ny 滿足差分方程 )1()2()1()( ?????? nxnynyny （ 1 ） 如果已知系統(tǒng)為因果系統(tǒng)，求系統(tǒng)函數(shù)和單位沖擊響應(yīng)；并討論系統(tǒng)穩(wěn)定性。 （ 2 ） 如果要求系統(tǒng)穩(wěn)定，求滿足上述差分方程的系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)；并討論此系統(tǒng)因果特性。 解：（ 1 ）對(duì)系統(tǒng)差分方程的兩邊作 Z 變換得： )()()()( 121 zXzzYzzYzzY ??? ??? 所以))((1)()()(21211zzzzzzzzzXzYzH?????????? 系統(tǒng)另點(diǎn)為 0?z ，極點(diǎn)為 ???z， ???z 因?yàn)橄到y(tǒng)為因果系統(tǒng)，所以收斂域是: ?zR OC 系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)：)]([)( 1 zHZnh ?? 77 部分分式：))(()(212211zzzzzzzzczzzczH??????? 求得：11211?????zzc， ??c )(])()[()( nunh nn ??? 由于系統(tǒng)函數(shù)的收斂域不包括單位圓，系統(tǒng)不穩(wěn)定。 （ 2 ）若要使系統(tǒng)穩(wěn)定，則收斂域應(yīng)包括單位圓。因此選 H ( z ) 的收斂域?yàn)?1 zzz ??，即 ?? z。 )]()()1()[(4 4 )( nununh nn ?????? 由于系統(tǒng)函數(shù)的收斂域不包括 ??z ，系統(tǒng)為非因果的。 78 數(shù)字信號(hào)處理多媒體教學(xué)系統(tǒng) 版權(quán)所有： yuning 2021。 3 第 2版 第 3章 離散傅氏變換 DFT 數(shù)字信號(hào)處理 79 連續(xù)非周期信號(hào) )()( ?jXtx aa ? 連續(xù)非周期頻譜 ? ??? ?? dtetxjX tjaa ?? )()( ? ???? ?? ?? dejXtx tjaa )()( 2 1 連續(xù)周期信號(hào)（周期pt） )()(~1?kXtx aa ?離散非周期頻譜（基頻pt?? 21 ?）?? ?? 2 211 1)(~)( p pp t t tjkata dtetxkX ?? ? tjkkaa ekXtx 1)()(~ 1???????? 離散非周期信號(hào) )()( ?jeXnx ? 連續(xù)周期頻譜（周期 ?2 ） njnj enxeX ?? ??????? )()( ? ??? ? ? ??? ?deeXnx njj )()( 2 1 離散周期信號(hào)（周期 N ） )(~)(~ kXnx ? 離散周期頻譜（周期 N ） Nj k nNnenxkX?210)(~)(~ ????? ? Nj k nNkN ekXnx?2101 )(~)(~ ???? 傅 氏 變 換 的 幾 種 形 式 80 離散化頻譜 討 論 在四種傅立葉變換中，只有第四種適合于在計(jì)算機(jī)上演算。 第四變換對(duì)，稱為周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù)（ DFS）。 周期序列取其主值區(qū)間（ n=0,~,N1)可以得到有限長序列。有限長序列 也可以通過周期延拓得到周期序列。 根據(jù)以上的討論，我們首先研究離散周期序列的傅氏變換。 周期序列 81 離散傅氏級(jí)數(shù) (DFS)和離散傅氏變換（ DFT）的導(dǎo)出 周期序列的離散傅氏級(jí)數(shù) (DFS) 離散周期信號(hào)（周期pt）??????10)()()(~)(~NnnTtnTxnxtx ?，NTtt p ???0 離散周期頻譜（周期s?，Tfss??22 ???為采樣角頻率） 111110100010221)(~)()(~])()(~[)(~)(~????j k nNnNnttjkttjkNntttjkenTxdtenTtnTxdtenTtnTxdtetxkXpppp???????????????? ?? ???????? 其中：NTt p ?，NTtp?? 221???為基波角頻率，NT??2