【正文】 ， t0 （ 2） 根據(jù)線性系統(tǒng)的齊次性， y2x(t) = 2y1x(t)， y2f(t) =3y1f(t)，代入式（ 2）得 y2(t) = 2y1x(t) +3 y1f(t) = –2e –t +3 cos(πt)， t0 （ 3） 式 (3)– 2 式 (1)，得 y1f(t) = –4et + cos(πt)， t0 由于 y1f(t) 是因果系統(tǒng)對因果輸入信號 f1(t)的零狀態(tài)響應(yīng)，故當(dāng) t0， y1f(t)=0；因此 y1f(t)可改寫成 y1f(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) (4) 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 153頁 ■ 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 f1(t) →y 1f(t) = [–4et + cos(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的微分特性 ttyttfd)(dd)(d 1f1 ? = –3δ(t) + [4 –πsin(πt)]ε(t) 根據(jù) LTI系統(tǒng)的時不變特性 f1(t–1) →y 1f(t – 1) ={ –4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1) 由線性性質(zhì)，得：當(dāng)輸入 f3(t) = +2f1(t–1)時， ttfd)(d 1y3f(t) = + 2y1(t–1) = –3δ(t) + [4–πsin(πt)]ε(t) + 2{–4 + cos[π(t–1)]}ε(t–1) ttyd)(d 1信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 154頁 ■ 系統(tǒng)的性質(zhì)及分類 7. 穩(wěn)定系統(tǒng)與不穩(wěn)定系統(tǒng) 一個系統(tǒng)，若對有界的激勵 f(.)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng) yf(.)也是有界時，則稱該系統(tǒng)為 有界輸入有界輸出穩(wěn)定（ BIBO） ，簡稱 穩(wěn)定 。即 若 │f(.)│∞，其│yf(.)│∞ 則稱系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如 yf(k) = f(k) + f(k1)是穩(wěn)定系統(tǒng)；而 ? ??? t xxfty d)()(f是不穩(wěn)定系統(tǒng)。 因為，當(dāng) f(t) =ε(t)有界， ? ?? ?t ttxx )(d)( ?? 當(dāng) t →∞ 時，它也 →∞ ，無界。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 155頁 ■ 系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)的描述 描述連續(xù)動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是 微分方程 ，描述離散動態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是 差分方程 。 一、連續(xù)系統(tǒng) 1. 解析描述 ——建立數(shù)學(xué)模型 圖示 RLC電路，以 uS(t)作激勵，以 uC(t)作為響應(yīng)，由 KVL和 VAR列方程，并整理得 u S ( t ) u C ( t )L RC?????????? )(039。)0(dddd22CCSCCCuuuutuRCtuLC，二階常系數(shù)線性微分方程。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 156頁 ■ 系統(tǒng)的描述 )()(d )(dd )(d 01222 tftyattyattya ???抽去具有的物理含義，微分方程寫成 這個方程也可以描述下面的一個二階機械減振系統(tǒng)。 MxCkf ( t )其中， k為彈簧常數(shù)， M為物體質(zhì)量， C為減振液體的阻尼系數(shù)， x為物體偏離其平衡位置的位移， f(t)為初始外力。其運動方程為 )()(d )(dd )(d 22tftkxt txCt txM ??? 能用相同方程描述的系統(tǒng)稱相似系統(tǒng) 。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 157頁 ■ 系統(tǒng)的描述 2. 系統(tǒng)的框圖描述 上述方程從 數(shù)學(xué)角度 來說代表了某些運算關(guān)系： 相乘、微分、相加運算 。將這些基本運算用一些理想部件符號表示出來并相互聯(lián)接表征上述方程的運算關(guān)系，這樣畫出的圖稱為 模擬框圖 ，簡稱 框圖 。 基本部件單元 有： 積分器： f ( t )∫? ?? t xxf d)(加法器： f 1 ( t )∑f 2 ( t )f 1 ( t ) f 2 ( t )數(shù)乘器： af ( t )或aa f ( t )積分器的抗干擾性比微分器好。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 158頁 ■ 系統(tǒng)的描述 系統(tǒng)模擬 ： 實際系統(tǒng) → 方程 → 模擬框圖 → 實驗室實現(xiàn)（模擬系統(tǒng)） → 指導(dǎo)實際系統(tǒng)設(shè)計 例 1：已知 y”(t) + ay’(t)+ by(t) = f(t)，畫框圖。 解：將方程寫為 y”(t) = f(t) –ay’(t) –by(t) ∫ ∫y ( t ) y 39。 ( t ) y ( t )∑abf ( t )信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 159頁 ■ 系統(tǒng)的描述 例 2：已知 y”(t) + 3y’(t)+ 2y(t) = 4f’(t) + f(t)，畫框圖。 解：該方程含 f(t)的導(dǎo)數(shù)，可引入輔助函數(shù)畫出框圖。 設(shè)輔助函數(shù) x(t)滿足 x”(t) + 3x’(t)+ 2x(t) = f(t) 可推導(dǎo)出 y(t) = 4x’(t) + x(t)， 它滿足原方程 。 ∫ ∫x (t ) x39。 (t) x(t )∑32f ( t )∑y ( t )4信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 160頁 ■ 例 3：已知框圖，寫出系統(tǒng)的微分方程。 系統(tǒng)的描述 y ( t )∑ ∑∫ ∫ 3423f ( t )設(shè)輔助變量 x(t)如圖 x(t) x’(t) x”(t) x”(t) = f(t) – 2x’(t) –3x(t) ,即 x”(t) + 2x’(t) + 3x(t) = f(t) y(t) = 4x’(t)+ 3x(t) 根據(jù)前面，逆過程，得 y”(t) + 2y’(t) + 3y(t) = 4f’(t)+ 3f(t) 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 161頁 ■ 系統(tǒng)的描述 二、離散系統(tǒng) 1. 解析描述 ——建立差分方程 例：某人每月初在銀行存入一定數(shù)量的款，月息為 β元 /元，求第 k個月初存折上的款數(shù)。 設(shè)第 k個月初的款數(shù)為 y(k),這個月初的存款為 f(k),上個月初的款數(shù)為 y(k1)，利息為 βy(k1),則 y(k)=y(k1)+ βy(k1)+f(k) 即 y(k)(1+β)y(k1) = f(k) 若設(shè)開始存款月為 k=0，則有 y(0)= f(0)。 上述方程就稱為 y(k)與 f(k)之間所滿足的差分方程。所謂 差分方程 是指由未知輸出序列項與輸入序列項構(gòu)成的方程。未知序列項變量最高序號與最低序號的差數(shù)，稱為 差分方程的階數(shù) 。上述為 一階差分方程 。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 162頁 ■ 系統(tǒng)的描述 由 n階差分方程描述的系統(tǒng)稱為 n階系統(tǒng)。 描述 LTI系統(tǒng)的是線性常系數(shù)差分方程。 2. 差分方程的模擬框圖 基本部件單元 有： 數(shù)乘器，加法器，遲延單元（移位器） f ( k )Df ( k 1 )例 ：下列差分方程描述的系統(tǒng)，是否線性？是否時不變？ 并寫出方程的階數(shù)。 （ 1） y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) （ 2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) （ 3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 解 ：判斷方法：方程中均為輸出、輸入序列的一次關(guān)系項，則是線性的。輸入輸出序列前的系數(shù)為常數(shù)，且無反轉(zhuǎn)、展縮變換，則為時不變的。 線性、時變，一階 非線性、時不變，二階 非線性、時變，一階 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 163頁 ■ 系統(tǒng)的描述 例：已知框圖，寫出系統(tǒng)的差分方程。 y ( k )∑ ∑D D 5423f ( k )解： 設(shè)輔助變量 x(k)如圖 x(k) x(k1) x(k2) 即 x(k) +2x(k1) +3x(k2) = f(k) y(k) = 4x(k1) + 5x(k2) 消去 x(k) ，得 y(k) +2y(k1) +3y(k2) = 4f(k1) + 5f(k2) x(k)= f(k) – 2x(k1) – 3x(k2) 方程 ←→ 框圖用變換域方法和梅森公式簡單，后面討論。 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 164頁 ■ 系統(tǒng)分析概述 LTI系統(tǒng)分析概述 系統(tǒng)分析研究的 主要問題 ：對給定的具體系統(tǒng)，求出它對給定激勵的響應(yīng)。 具體地說：系統(tǒng)分析就是建立表征系統(tǒng)的數(shù)學(xué)方程并求出解答。 系統(tǒng)的 分析方法 ： 輸入輸出法（外部法） 狀態(tài)變量法 （內(nèi)部法）（ ) 外部法 時域分析（ ,) 變換域法 連續(xù)系統(tǒng) —頻域法 (4)和 復(fù)頻域法 (5) 離散系統(tǒng) —z域法 （ chp6) 系統(tǒng)特性 ： 系統(tǒng)函數(shù) （ ) 信號與系統(tǒng) 西南林業(yè)大學(xué)機械教研室 第 165頁 ■ （ 1）把 零輸入響應(yīng) 和 零狀態(tài)響應(yīng) 分開求。 （ 2）把復(fù)雜信號分解為眾多基本信號之和，根據(jù)線性系統(tǒng)的可加性： 多個基本信號作用于線性系統(tǒng)所引起的響應(yīng)等于各個基本信號所引起的響應(yīng)之和。 系統(tǒng)分析概述 求解的 基本思路 ： 采用的數(shù)學(xué)工具： （ 1）卷積積分與卷積和 （ 2）傅里葉變換 （ 3）拉普拉斯變換 （ 4） Z變換