非線性回歸分析(2)-資料下載頁
2025-05-10 21:54本頁面
【正文】 68 70 72 74 76 78 80 82 84Y 鉛筆銷售量時間序列（ 1961 1985 ） 初始確定的影響鉛筆銷量的因素有全國 人口、各類在校人數(shù)、設(shè)計人員數(shù)、居民消費(fèi)水平、社會總產(chǎn)值、自動鉛筆產(chǎn)量、價格因素、原材料供給量、政策因素等。經(jīng)過多次篩選、組合和逐步回歸分析，最后確定的被解釋變量是 yt（鉛筆年銷售量，千萬支）；解釋變量分別是 xt 1（自動鉛筆年產(chǎn)量，百萬支）； xt 2（全國人口數(shù)，百萬人）；xt 3（居民年均消費(fèi)水平，元）； xt 4（政策變量）。因政策因素影響鉛筆銷量出現(xiàn)大幅下降時，政策變量取負(fù)值。例如 1967 、 1968 年的 xt 4值取 2 ，1966 、 1969 1971 、 1974 1977 年的 xt 4值取 1 ）。 01002003004000 10 20 30 40YX1Y, X1散點圖 下圖表示中國自生產(chǎn)自動鉛筆起，自動鉛筆產(chǎn)量與鉛筆銷量存在線性關(guān)系 0100200300400600 700 800 900 1 0 0 0 1 1 0 0YX2 Y, X2散點圖 下 圖 表示 全國人口與鉛筆銷量存在線性關(guān)系。說明人口越多，對鉛筆的需求就越大 0100200300400100 200 300 400 500YX3Y, X3散點圖 下圖表示居民年均消費(fèi)水平與鉛筆銷量存在近似對數(shù)的關(guān)系。散點圖說明居民年均消費(fèi)水平越高，則鉛筆銷量就越大。但這種增加隨著居民消費(fèi)水平的增加變得越來越緩慢。 01002003004002 . 5 2 . 0 1 . 5 1 . 0 0 . 5 0 . 0 0 . 5YX4下圖表示政策變量與鉛筆銷量也呈線性關(guān)系。 Y, X4散點圖 基于上述分析建立的模型形式是 yt = ?0 + ?1 xt 1 + ?2 xt 2 + ?3 Ln ( xt 3) + ?4 xt 4 + ut yt與 xt 3呈非線性關(guān)系。估計結(jié)果如下。 ty? = 907 .94 xt 1 + 0 .31 xt 2 + 1 Ln xt 3 + 4 xt 4 ( 6 .4 ) ( 3 .7 ) (4 .8 ) (4 .4 ) (1 2 .6 ) R 2 = 5, D W = 2 .09, F = 429, . = 1 上式說明，在上述期間自動鉛筆年產(chǎn)量每增加 1 百萬支，平均使鉛筆的年銷售量減少 2 95 0 萬支。全國人口數(shù)每增加 1 百萬人，平均使鉛筆的年銷售量增加 310 萬支。對數(shù)的居民年均消費(fèi)水平每增加 1 個單位，平均使鉛筆的年銷售量增加 17 億支。一般性政策負(fù)面變動使鉛筆的年銷售量減少 4. 551 億支。當(dāng)政策出現(xiàn)大的負(fù)面變動時 ，鉛筆的年銷量會減少 億支。 當(dāng) y t 對所有變量都進(jìn)行線性回歸時（見下式），顯然估計結(jié)果不如 上 式好。 ty? = x t 1 + 0 .4 2 x t 2 + 0 .6 6 x t 3 + 4 0 .7 4 x t 4 ( 12 .0) ( ) ( ) ( ) ( 1 ) R 2 = 0 .9 8 5 7 , D W = 1 .77, F = 3 4 6 , s .e . = 1 1 .5 二、非線性模型的參數(shù)估計 現(xiàn)在的問題在于如何求解非線性方程 ()。 對于多參數(shù)非線性模型，用矩陣形式表示 ()為 Y=f(X,β)+μ () 其中各個符號的意義與線性模型相同。向量 β的普通最 小平方估計值應(yīng)該使得殘差平方和 牛頓 (GaussNewton)迭代法 對于非線性方程 ()，直接解法已不適用，只能 采用迭代解法，高斯 牛頓 (GaussNewton)迭代法就是一 種較為實用的一種。 () 代入 ()，得到： () 于是，將 ()取極小值變成對 ()取極小值。 如果有一個線性模型： 最小。比較 ()與 ()后發(fā)現(xiàn)，滿足使 ()達(dá)到 最小的估計值 同時也是使 ()達(dá)到最小的 。 3. 牛頓 拉夫森 (NewtonRaphson)迭代法 三、討論：一個例子
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