有限元分析中的單元性質(zhì)特征與誤差處理-資料下載頁
2025-05-09 21:35本頁面
【正文】 O（ h2） O（ h） O（ h2） h/2量級 : O（ h2/4） 。 。 。 h/3量級 : O（ h2/9） 。 。 。 h/4量級 : O（ h2/16） 。 。 。 ? 這里討論的都是僅僅局限于網(wǎng)格的離散誤差，即當(dāng)一個連續(xù)的求解域被離散成有限個子域，由單元的試函數(shù)來逼近整體的域的場函數(shù)所引起的誤差。另外，實(shí)際誤差還應(yīng)該包括計算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算誤差。 ? ?? ?212 2 4/4iiiiOhuuuu Oh? ???? ?211 43i i iu u u?? 精確解與不同網(wǎng)格計算結(jié)果之間的關(guān)系 ? 有限元分析的下限性質(zhì) 有限元是把結(jié)構(gòu)無限多的自由度簡化為有限多的自由度，結(jié)構(gòu)的剛度被夸大了，即使是用無限多個自由度來描述，也必然使得原系統(tǒng)剛度增加，變得更加剛硬，即剛度矩陣的總體數(shù)值變大，由剛度方程知，計算出的位移結(jié)果偏小。 由于位移函數(shù)的收斂性準(zhǔn)則包含完備性和協(xié)調(diào)性兩方面的要求，而完備性要求比較容易滿足，而協(xié)調(diào)性則較難滿足，因此這往往是研究的重點(diǎn)。 ? 位移解的下限性質(zhì)是基于協(xié)調(diào)單元單調(diào)收斂的前提得到的，在有些情況下，使用非協(xié)調(diào)單元也可以得到工程上的滿意解答，有時甚至更好，這是由于位移不協(xié)調(diào)引所造成的誤差與其它誤差相抵消的緣故。 ? 應(yīng)力結(jié)果的誤差性質(zhì) 對于彈性問題，其三大變量 對于一個具體問題，成了求δ2П關(guān)于的極值問題。它是一個誤差泛函。 ???truetruetrueu u u?? ? ??? ? ????????? ? 1 d d d2pTTTtr u e ij i tr u e i tr u estru e U W b u p u A???? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ?? ? ? ?? tru euu ?? ? ? ? ?? 可見，對于求 近似解極值 的問題 從力學(xué)上看，是求位移變分引起的總勢能為極小值的問題。 從數(shù)學(xué)上看，是求應(yīng)變差和應(yīng)力差在彈性矩陣加權(quán)意義下的最小二乘問題。 因此，應(yīng)變和應(yīng)力的近似解的性質(zhì)，是在加權(quán)殘值最小二乘意義上對真實(shí)應(yīng)變和真實(shí)應(yīng)力的逼近。 ?高斯點(diǎn)上的應(yīng)力性質(zhì) 高斯積分點(diǎn)上的應(yīng)力和應(yīng)變的 近似解將具有比其它位置高得 多的精度，這可以從圖中看出。 ? 公共節(jié)點(diǎn)上的應(yīng)力平均 ①繞節(jié)點(diǎn)直接平均法 ②繞節(jié)點(diǎn)加權(quán)平均法，可以按體積或面積加權(quán)平均 ③ 二單元平均法 ? ? ? ?11 r eek l k leiir? ? ??? ?1eer eeAA???? h方法和 p方法 ? h方法：不改變各單元基函數(shù)，只通過逐步加密單元使計算結(jié)果向正確解逼近。它往往采用比較簡單的單元。一般可以將誤差控制在 5~10%范圍內(nèi)。 ? 其收斂性比 p方法差，但是由于不用高階多項(xiàng)式位移模式，數(shù)值穩(wěn)定性和可靠性都好。 ? p方法：保持網(wǎng)格固定剖分不變，增加單元上基底函數(shù)的階次，從而改善計算精度。 ? 實(shí)際證明： p方法收斂性好，由于使用高次多項(xiàng)式，會出現(xiàn)數(shù)值不穩(wěn)定現(xiàn)象，另外，計算機(jī)容量和速度的限制，多項(xiàng)式的階次不能太高，尤其在振動和穩(wěn)定性問題求解高階特征值時，這兩個方法都不能得到令人滿意的結(jié)果，這是多項(xiàng)式插值本身的局限性造成的。 ? r方法：不改變單元類型和數(shù)目，只通過移動節(jié)點(diǎn)來減小誤差，因而，單元的自由度數(shù)目不變。 ? 自適應(yīng)方法：它利用反饋原理，利用上一部的計算結(jié)果來修正有限元模型，其計算量小，計算精度卻顯著提高它是一種需要多次計算的方法，即多進(jìn)程的方法，可以分別和 h方法、 p方法以及 hp方法相結(jié)合。 自適應(yīng)方法由誤差指示算子來監(jiān)控，而收斂程度則由誤差估計算子來表征。它是一種能夠自動調(diào)節(jié)其算法以改進(jìn)求解過程的數(shù)值方法，它包括以下很多技術(shù)： 誤差估計 自適應(yīng)網(wǎng)格改進(jìn) 非線性問題中載荷增量的自適應(yīng)選取 瞬態(tài)問題中時間步長的自適應(yīng)調(diào)整等
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