【導讀】教育部重點實驗室軟件操作手冊。合肥工業(yè)大學管理學院

　　

【正文】 正選函數(shù)）等。對復數(shù)取平方根或者對數(shù)不會出錯， MATLAB會自動產(chǎn)生復數(shù)結(jié)果。 MATLAB 也提供許多更為高等的數(shù)學函數(shù)，包括 Bessel 17 （貝塞爾）函數(shù)和 Gamma（伽馬）函數(shù)，這些函數(shù)中的大多數(shù)函數(shù)都支持復數(shù)變量?？梢缘玫揭粋€初等數(shù)學函數(shù)的列表，可以輸入： help elfun 要得到一個高等函數(shù)和矩陣函數(shù)的列表，可以輸入 help specfun help elmat 其中的一些函數(shù)，例如像 sqrt 和 sin 函數(shù)是內(nèi)置的，內(nèi)置函數(shù) 是 MATLAB核心的一部分，非常高效， 但是不容易看到這些函數(shù)的源程序 。其他的一些函數(shù)，例如 gamma， sinh 函數(shù)是執(zhí)行 M文件的。內(nèi)置函數(shù)和其他的函數(shù)是有區(qū)別的，例如，對于內(nèi)置函數(shù)而言，您不能看到代碼，對于其他函數(shù)，您 你可以看到這些函數(shù)的源程序，如果需要，甚至可以修改這些代碼 。 幾種提供一些常用常數(shù)的函數(shù)： pi ... i 虛數(shù)單位， 1? j 與 i 相同 eps 浮 點 相 對 精 度 ，522??? realmin 最小浮點數(shù)， 10222? realmax 最大浮點數(shù)， 102322 ）（ ?? Inf 無窮大 NaN 不定數(shù) 無窮大是通過非零數(shù)除以零或者根據(jù)運算溢出（例如超過 realmax）而產(chǎn)生的； NaN 通常是由 0/0 運算、 Inf/Inf 等運算得出。 函數(shù)名不被保留，將新的變量賦給該函數(shù)，則原函數(shù)將會被覆蓋。例如 eps = 執(zhí)行這個賦值語句后，則在以后的運算中 eps 的值就為 了。而原函數(shù)可以用如下的語句恢復： clear eps 18 表達式的例子 已經(jīng)看過一些 MATLAB 表達式的例子，現(xiàn)在再舉一些例子和運算結(jié)果： ① rho = (1+sqrt(5))/2 rho = ② a = abs(3+4i) a = 5 ③ z = sqrt(besselk(4/3,rhoi)) z = + ④ huge = exp(log(realmax)) huge = +308 ⑤ toobig = pi*huge toobig = Inf 矩陣的利用 生成矩陣 MATLAB 軟件提供四種可以產(chǎn)生基本矩陣的函數(shù)： zeros 產(chǎn)生一個全 0 矩陣 ones 產(chǎn)生一個全 1 矩陣 rand 產(chǎn)生元素服從從 0 到 1 均勻分布的隨機矩陣 randn 產(chǎn)生元素服從于標準正態(tài)分布的隨機矩陣 舉例如下： （ 1） Z = zeros(2,4) Z = 0 0 0 0 0 0 0 0 （ 2） F = 5*ones(3,3) F = 19 5 5 5 5 5 5 5 5 5 （ 3） N = fix(10*rand(1,10)) N = 9 2 6 4 8 7 4 0 8 4 （ 4） R = randn(4,4) R = 加載函數(shù) 加載函數(shù) load 讀出含有由早期 MATLAB 版本形成的二進制文件，或者讀出含有數(shù)值數(shù)據(jù)的文本文件。文本文件應該有一個數(shù)字表格構成，由空格隔開，每一線上排一行，而且每一行有相同數(shù)量的元素。例如，在 MATLAB 的外部，創(chuàng)建一個含有 4 行的文本文件： 將該文件保存在 中。命令 load 讀這個文件并創(chuàng)建一個含有上述例子的變量 magik。 在許多文本或者二進制格式中，一個把數(shù)據(jù)讀進 MATLAB 的簡易方法是用輸入向?qū)А? M文件 您可以利用 M文件創(chuàng)建一個您自己的矩陣，其中 M文件時包含 MATLAB代碼的文本文件。用 MATLAB 編輯器或者其他文本編輯器創(chuàng)建一個文件，包含您將輸入到 MATLAB 命令行的 語句，用后綴名為 .m 的名字保存該文件。 例如，在當前目錄下創(chuàng)建一個名叫 的文件，包含如下五行： A = [ ]。 輸入命令 magik，讀出文件并創(chuàng)建一個變量 A，包含示例中的矩陣。 20 連接 連接就是把小矩陣合并成大矩陣的過程。事實上，您創(chuàng) 建第一個矩陣就是把各自獨立的元素連接在一起。中括號 []是連接的運算符。例如，以 4*4 魔方 A 開始，構造 B = [A A+32。 A+48 A+16] 結(jié)果是一個 8*8 的矩陣，包含加入的 4 個子矩陣： B = 16 3 2 13 48 35 34 45 5 10 11 8 37 42 43 40 9 6 7 12 41 38 39 44 4 15 14 1 36 47 46 33 64 51 50 61 32 19 18 29 53 58 59 56 21 26 27 24 57 54 55 60 25 22 23 28 52 63 62 49 20 31 30 17 這個矩陣是到另外一個魔方的過渡 。它的元素是一組重新整理的 1:64 的整數(shù)。它的列加起來是一個 8*8 魔方的修正值。 sum(B) ans = 260 260 260 260 260 260 260 260 但是它的行加起來， sum(B’)’并不完全相同 ， 因此要做一個有效的 88 魔方需要更多的操作 。 行與列的刪除 您只要使用一對方括號 []就能夠刪除一個矩陣的行和列。以 X = A。開始，然后刪除 X 的第二列，使用 X(:,2) = []，這樣就可以將 X 改變?yōu)椋? X = 16 2 13 5 11 8 9 7 12 4 14 1 如果要刪除矩陣的單個元素，結(jié)果不再是一個矩陣。因此，如下表達式： X(1,2) = [] 結(jié)果是錯誤的。然而，利用一個單一的下標可以刪除一個單一的元素，或者元素的順序， 并把剩下的元素改成行向量的形狀。因此 X(2:2:10) = [] 結(jié)果輸出如下： X = 21 16 9 2 7 13 12 1 矩陣和數(shù)組的進一步討論 線 性代數(shù) 一般來說，矩陣和數(shù)組經(jīng)常可以替換使用，更精確地說，矩陣是一個表示線性變換的二位數(shù)值數(shù)組，矩陣定義下的數(shù)學運算是線性代數(shù)的問題。 杜勒魔方矩陣 A = [16 3 2 13 5 10 11 8 9 6 7 12 4 15 14 1 ] 提供了一些關于 MATLAB 矩陣運算的一些示例。一個矩陣 加上該矩陣 的轉(zhuǎn)置 A’ 得到一個對稱矩陣： A + A39。 ans = 32 8 11 17 8 20 17 23 11 17 14 26 17 23 26 2 乘號 *表示包括行與列的內(nèi)積矩陣的乘法。用矩陣去乘它的轉(zhuǎn)置也能得到對稱矩陣 ： A39。*A ans = 378 212 206 360 212 370 368 206 206 368 370 212 360 206 212 378 若 矩陣的行列式為 0，表示該矩陣是奇異陣 ： d = det(A) d = 0 A 的簡化行階梯型不是單位矩陣 ： R = rref(A) R = 1 0 0 1 0 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0 由于矩陣是奇異的，因而它沒有逆矩陣。如果您試圖計算它的逆： X = inv(A) 22 您將得到一個警告信息： Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = . 四舍五入的誤差從精確奇異性的 檢測 中阻止了矩陣 求逆 的算法。但是 rcond的值（表示倒數(shù)條件估計）是和 eps 即浮點相對精度 相似的 ，因此計算得的逆不太可能有用。 魔方的特征值很有趣 ： e = eig(A) e = 特征值之中有一個為零 ， 這是奇異性的另一個結(jié)論。最大的特征值為 34，為幻和。那是因為元素全為 1 的向 量是特征向量。 v = ones(4,1) v = 1 1 1 1 A*v ans = 34 34 34 34 當魔方按照它的幻和 進行 分配時 ， P = A/34， 結(jié)果是雙重隨機矩陣，其行與列之和全是 1： P = 這樣的矩陣表示轉(zhuǎn)換的概率是一個馬爾科夫 (Markov)過程。矩陣重復的冪次表示過程重復的步驟。對于 上述 例子，第 5 次方 P^5 為： 這表示當 k 趨于無窮大時，所有元素的 k 次方 Pk 趨于 1/4。 最后，特征多項式中的系數(shù) poly(A)是 23 1 34 64 2176 0 這表明特征多項式 ）（ IAdet ?? 是 ???? 21766434 234 ??? ，其 常數(shù)項是零，因為矩陣是奇異的 ； 立方項系數(shù)是 34，因為矩陣是魔方！ 數(shù)組 當把矩陣從線性代數(shù)的世界中 “ 取 ” 出來時，它們變成二維 數(shù)值 數(shù)組。數(shù)組上的算術運算是元素對元素進行的 ， 也就是說加減對于數(shù)組和矩陣是一樣的，但乘法運算則不同 。 MATLAB 用一個點或小數(shù)點作為數(shù)組乘法運算符號。 運算符列表如下： + 加法 減法 .* 元素對元素的乘法 ./ 元素對元素的除法 .\ 元素對元素的左除 .^ 元素對元素求冪 .39。 不取共軛的數(shù)組轉(zhuǎn)置 如果杜勒的魔方用數(shù)組的乘法自乘： A.*A， 結(jié)果是 一個包含 1 到 16 的平方的不尋常次序的數(shù)組 ： ans = 256 9 4 169 25 100 121 64 81 36 49 144 16 225 196 1 建立表格 數(shù)組運算對于建立表格非常有用，假設 n 是一個列向量： n = (0:9)’。 24 則 pows = [n n.^2 2.^n] 建立一個包括平方以及 2 的乘方的列表： pows = 0 0 1 1 1 2 2 4 4 3 9 8 4 16 16 5 25 32 6 36 64 7 49 128 8 64 256 9 81 512 初等數(shù)學函數(shù)在數(shù)組上是元素對元素運算的 ，所以： format short g x = (1::2)’。 logs = [x log10(x)] 建立一個對數(shù)表： logs =