第22講理想-資料下載頁
2025-08-26 15:09本頁面
【導(dǎo)讀】發(fā)現(xiàn),可以利用它做出環(huán)的商環(huán).個理想中一旦有了環(huán)里的單位元,那么它一定是單位理想.的一個子加群,又因},{?于是得到商群NR,其中。商群中的加法運算為:NbaNbNa??????對于NR已有加法,是否可以再定義一個乘法并使NR成為環(huán)呢?所以,(*)成立的關(guān)鍵是:NabNbNa????結(jié)論N如上所示.那么NabNbNa????因?qū)θ我獾腷a,,都有NabNbNa????由結(jié)論1知.子環(huán)滿足:.,Rba??,是非常重要的.,那么稱N是R的一個理。注意2:容易發(fā)現(xiàn),定義2中①的.,,NabNba???環(huán)的條件要強些.例Z2是整數(shù)環(huán)Z的理想.證明設(shè)N是除環(huán)的R非零理想,那么Rn???表明R只有平凡理想.明示N是幺環(huán)R的理想,且RNNR???類似地,可以考慮:當(dāng)21,NN都是R的理想時.21NN?事實上,因為它們對加法都未。,通常稱21NN為1N與2N的積理想.包含S的理想中最小的一個.S稱為)(S的生成子集.為有限個iiayx之和).
【正文】 ()( 211121 niassssaaaS iin ??? ?????????? .可知??ni ia1 )( 是 R 的理想 .且每個生成元 ??? ni ii aa 1 )( 但 )(S 是含 naaa , 21 ? 中最小的理想 ????ni iaS 1 )()(. 例 R 為整數(shù)環(huán) ,而 ][xR 自然也是整環(huán) .取 Rx?,2 那由 2 與 x 生成的理想為 }|2{]}[)(),(|)()(2{),2( 01 RaaxaxaxRxgxfxxgxfx inn ????????? ?.下面證明 ),2( x 不是 主 理想 . 如果是 ),2( x 主理想 ,則)()())((),()(2))((2].[)()),((),2( xfxhxxfxxfxgxfxRxfxfx ????????? 又但 2 是零次多項式 )(xg? 和 )(xf 都是零次多項式 (是非零常數(shù) ) 即 0)( ??axf .? 1)( ???? aaxhx .? ),2())((1 xxf ??? 可是 1? 不可能表成 01 2 axaxa nn ???? 的形式 ?矛盾 三 .理想的傳遞性問題 . 與群中不變子群的傳遞性一樣 ,理想也存在有類似的問題 :設(shè) N是 R 的理想 ,而 I 是 N 的理想 ,那么是否有 RI? 例 在整數(shù)環(huán) Z 中 .有 ZZ?2 ,且 ZZ 2?? 而顯然 ZZ? . 例 )(,|2 ZMZwzyxwz yxR ??????? ?????????? RZaaa aaN i ???2|,4321?????? ?????????? NZaaa aaI i ? ? ?2|24321?????? ?????????? 但 ?????????????????????????? ***22 214321 zaxawz yxaa aa 中 不能保證 212 zaxa ? 是 4 的 除數(shù) . ?I 未必是 R 的理想 . 上二例告訴我們 .理想有時可以傳遞 ,有時不能傳遞 ,下面介紹一個能傳遞的充分條件 . 結(jié)論 RN? . NI? 且 NR?1 那么 ? RI? 證明 : RrIx ???? , .則 Ixrxrrx NN ??? )1()1( Irxrxxr NN ??? )1()1( ?吸收律成立 . 至于 I 是子環(huán)是顯然 , ? RI? 注意 5 知 .結(jié)論 5 中的條件 “ NN?1 ” 上是充分條件而不是必要條件 .
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