34gauss求積公式-資料下載頁
2025-08-23 15:08本頁面
【導讀】掌握高斯求積公式的用法。例確定下列求積公式中的待定參數，使其代數精度盡量高。它有3次代數精度，而以兩個端點為節(jié)點的梯形公式只有1次代數精度。稱其節(jié)點為Gauss點。n+1個求積系數，則要聯(lián)立2n+2個非線性方程組。方程組是可解的，但。當n稍大時，解析的求解就很難，數值求解非線性方程組也不容易。面從分析Gauss點的特性著手研究Gauss公式的構造問題。的次數不超過2n+1。因此,如果是Gauss點，則求積公。注意到知，從而有。的多項式均能準確成立。是Gauss點，定理得證。正交多項式恰好有n+1各互異的實的單根，我們有下面的推論。推論n+1次正交多項式的零點是n+1點Gauss公式的Gauss點。其中是關于Gauss點的Lagrange插值基函數。直接用正交性求解。得b=-8/9，從而得c=-8/63。稱之為Gauss-Legendre求積公式。以此為Gauss點，仿兩點Gauss-
【正文】 xHAdxxHxp 0 0 )()()()(? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?dxxnfxdxxHxdxxfxxHAdxxfxRnnbababaknkkbaG21220!22????????????????????由 Hermite插值多項式的插值余項有 在考慮到 在 [a,b]上保號 ,應用積分中值定理得 (),定理得證 . )(2 1 xn??第三章 數值積分與數值微分 對比 NewtonCotes求積公式 ,Gauss求積公式不但具有高精度 ,而且是數 值穩(wěn)定的 .Gauss公式的穩(wěn)定性之所以能夠得到保證 ,是由于它的求積系數 具有非負性 . 引理 Gauss求積公式 ()中的系數 全部為正 . ? ?nkA k ?,1,0?對于兩點 GaussChebyshev求積公式有 ? ?? ? ? ?.1,1,192212111!442211 24??????????????????? ???????fdxxxxfR CG第三章 數值積分與數值微分 在實際計算積分的近似值 時， 不能精確地 取到，一般只能是近似值，設 實際求 得的積分值為 ? ???? nk kknxfAI0? ?kxf? ? ? ? ),1,0(* nkxfxf kk ???? ???? nkkkn xfAI0* *? ? ? ? ? ?dxxxfxfII bakknknn ???????*m a x0*定理 對于函數值的變化所引起的求積公式的誤差有 證 對于以 Gauss點 為節(jié)點的插值基函數 是 2n次多項式 ,故 Gauss公式 ()對于它能準確 , ? ? ? ? ? ? inkkikba i AxlAdxxlx ?? ?? ? 022?? ?niA i ?,1,00 ??即有 由于上式左端大于零 ,所以有 ? ?nkx k ?,1,0?? ?? ? ? ?xlnixl ii 2,1,0 ??第三章 數值積分與數值微分 因此，（ ）成立，定理成立。 由定理 ，數據誤差對于求積公式計算值的影響是可以控制的，即 Gauss求積公式在數值計算中是穩(wěn)定的。 ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????????????????nkkkknknkkkknkkknkkknnAxfxfxfxfAxfAxfAII00000****m a x證 由于求積系數 因此有 nkA k ,1,0,0 ???? ? ???? nk kba Adxx 0?在 Gauss求積公式中，取 f(x)=1，此時求積公式精確成立，即得
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