【導讀】清華大學2020屆畢業(yè)設計說明書

　　

【正文】 ? ????? ??? ?? （ ） 第 21 頁 共 45 頁 為了得到解方程 ()和 ()的解，可用理想波導模來近似。從理想波導的折射率分布 ? ?00,n n x y? 可看出，分布與 z 無關(guān)，符合方程 ()和 ()，得到理想波導模的橫向電磁場方程： ? ? 2001 mtt m t m z m tHE i e i n Eiz ? ? ??? ???? ? ? ? ? ? ? ?????? （ ） 02020 mtt t m t m z m tEH i e i Hi n z? ? ??? ?????? ? ? ? ? ? ? ????? ??? ?? （ ） 式中， mtE 和 mtH ，表示是理想波導模態(tài) m 模式的 矢量。現(xiàn)將橫向場分量進行展開： 01nt m m t tmE a E a E d?? ??????? ? （ ） 01nt m m t tmH b H b H d?? ??????? ? （ ） 方程 (316)和 ()是對所有傳導模求和，以及全部輻射模的積分，方程右邊第二個積分號前的求和表示對各類型輻射模的貢獻相加。 ()和 ()也可寫成單個求和方式表示： m mtmE a E?? （ ） m mtmH b H?? （ ） 把 ()和 ()代入到 ()和 ()中，并結(jié)合式 ()、 ()可以得到： ? ? ? ?2200 0m m m z m t m m tm db i a e H i n n a Edz ? ? ?????? ? ? ? ?????????? （ ） ? ? ? ?22020 1 1 0m m m z m t m t t m tm da i b e E b Hd z i n n? ?? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ????????? ????? （ ） 下面用理想規(guī)則波導本征模式正交關(guān)系來求振幅耦合方程： ? ?00 2/z m t m t n n m n ne E H dx dy S P? ? ???? ? ? ? ? ? ??? （ ） 其中 P 為光功率，沿 z 方向傳播；如果 m、 n 是分立值，則 mn? 為克朗尼函數(shù)；如果 m、 n 是連續(xù)值，那么 mn? 就為狄拉克 函數(shù)。當 m、 n 其中一個是分立值另一個是連 第 22 頁 共 45 頁 續(xù)值時為零。對于傳導模和傳播常數(shù)為實數(shù)的輻射模， nS =1，這時有 1nn? ?? ? ，那么式子 ()可以進一步化簡為 : ? ?00 2z m t m t m ne E H dx dy P ??? ? ? ? ? ? ??? () 用 mtE? 、 mtH? ，分別與 ()、 ()進行標積運算，對無窮大截面積分并結(jié)合 ()式，有： 2nn n n m mmdb i a K adz ??? ? () 2nn n nm mmda i b k bdz ??? ? () 兩式子中的耦合系數(shù)分別為： ? ?00 2 2 *004n m n t m tK n n E E d x d yiP?? ? ? ? ?? ? ??? （ ） ? ?200 2 2 *00024n m n z m znk n n E E dxdyiP n?? ?? ??? ? ??? （ ） 式中的 n、 m 都可從 0～∞變化，式 ()和 ()分別描述電場和磁場的零階模到 m階模的耦合。 nmK 和 nmk ，則分別捕述 n 階模和 m 階模之間電場和磁場問的耦合程度。 經(jīng)進一步推導，得光在單模光纖中的理想振幅模式耦合方程為： ? ? ? ?? ?e x p e x pn n m m n m n m m n mmdA K A i z K A i zdz ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? () ? ? ? ?? ?e x p e x pn n m m n m n m m n mmdA K A i z K A i zdz ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? () 在分析求解方程之前，需要作一些近似處理 [27]：由于光纖纖芯跟光纖包層的折射率相差很小，因此用弱傳導近似是有意義的；光纖布拉格光柵長度短，所以可忽略光纖對光吸收損耗的影響；在分析求解耦合模方程時，只考慮傳導模，因為其跟輻射模耦合不顯著。 光纖布拉格光柵時一種反射型光柵，光柵中的模式屬于反向模式的耦合，傳播常數(shù)mn???? ，因此在解方程時不考慮同向傳播的模式耦合?？蓪⑹?()、 ()進一步化簡為： 第 23 頁 共 45 頁 ? ?exp 2nn m n ndA K A i zdz ?? ? ? ?? () ? ?exp 2nn m n ndA K A i zdz ?? ? ? ??? () 式中 nA? 和 nA? 表示模的振幅系數(shù)，分別沿正 z 方向和負 z 方向傳播。 由于我 們考慮的是弱導引的光纖光柵，其中的光波場幾乎是完全線偏振的橫向場，因此在計算耦合系數(shù)時可忽略縱場分量的貢獻。于是： ? ?2 2 *0 0 4n m n m n t m tK K n n E E d x d yiP?? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ??? ? ? 20 *2c o s4 n t m tn m z E E d x d yiP? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????????? ?? 22e x p e x pim z im zi ??? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? （ ） 式中橫向耦合系數(shù) ? 表達示為： ? ?20 *8n t m tn E E d x d yP? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ??? （ ） 同理可得： 22e x p e x pnmK im z im zi ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?????? ? ? ??? （ ） 將上式分別代入耦合模方程 (230)和 (231)中，得到： 22e x p 2 e x p 2n n n ndA A i m z i md z i ????? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ??? （ ） 22e x p 2 e x p 2n n n ndA A i m z i md z i ????? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? （ ） 考 慮高次諧波項，則方程 ()與 ()可簡化為： 2e x p 2n nndA A i m zd z i ??? ?? ? ?????????????? （ ） 2e x p 2n nndA A i m zd z i ??? ?? ? ???? ? ?????????? （ ） 第 24 頁 共 45 頁 顯然可以看出，如果模式耦合存在，則需條件： 2e x p 2 0ni m z d z?????????????????? （ ） 那么有： 220n m ?? ??? () 式 ()即是所謂的相位匹配條件。 由光纖光柵折射率分布函數(shù)可知，光纖布拉格光柵的折射率分布為正弦形式，即 m取 1。如果設 ??zAt、 ??rAz， (z)分別是入射波和反射波的振幅，并且 22n ???? ? ? ?，那么耦合模方程 ()和 ()變?yōu)椋? ? ?e x pt rdA A i zdz i ???? () ? ?e x prrdA A i zdz i ??? ? ? () 設折射率擾動區(qū)間 ( 1Z , 2Z )，長度為 L，也即是光柵的長度，不難得到邊界條件：在1Z 處 L=0， tA (0)=1；在 2Z 處， ? ?rAL =0。利用此邊界條件，可以得出方程的解為： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?s in h c o s h2e x p 2 s in h c o s h2tS z L iS S z LA z i zS L iS S L???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?????? ????? ? () ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?s i n he x p 2 s i n h c o s h2rS z LA z i zS L iS S L? ? ????? ? ????? ?? ???? () 式中： ? ?22 2S ??? ? ? 由式 ()和式 ()可以求出光纖光柵的反射率和透射率分別為： ? ?? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?222 2 2222222si n hc o sh si n h200 si nc o s2rtSLS S L S LARA QLQL?????????? ? ? ?????? ???? ? ?? ?222222???????? （ ） 第 25 頁 共 45 頁 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ?222 2 2222222c osh si nh202c os2ttSS SL SLALTAQL?????????? ?? ???????? ???? ? ?? ?222222???????? （ ） 式中： ? ?2 22Q iS??? ? ? ? 當入射波滿足相位匹配條件，即 0???時，由式 ()和式 ()可知，光纖布拉格光柵的反射率 R 取得最大值，而透射率 T 則達到最小，此時有： ? ?2m a x tanhRL?? （ ） ? ?2m i n coshTL??? （ ） 光纖布拉格光柵的耦合系數(shù)可表示： Bn????? （ ） 根據(jù)模式耦合理論，如果兩種傳播模式的傳播常數(shù) k? 、 l? 滿足下面條件： 01 22kl ?? ? ?? ? ? ? （ ） 那么光纖布拉格光柵便可將一個前向傳輸?shù)哪Ｊ今詈铣梢粋€后向傳輸?shù)幕?，其相當于一個反射式的光學濾波器。其中，01 2 effn?? ??是單模光纖中傳輸模式的傳播常數(shù)。此時所對應的反射光波長稱為布拉格波長，表達式為： 2B effn??? （ ） 式中， effn