【正文】 Walker 方程。依據(jù)式 ()來 改變 濾波器參數(shù) 有兩個難點(diǎn) 。 一個是 ，需要矩陣求逆及矩陣乘法等運(yùn)算， 故而要很大的運(yùn)算量 。 另一個是 ， )(nW 與 )(ne 之間 沒有交叉聯(lián)系 ，不能達(dá)到根據(jù)預(yù)測誤差 )(ne 來 改變 濾波器參數(shù)的 最終 目的 。 預(yù)測誤差 )(ne 由 )()()()( nXnWnxne T?? () 表示。注意到 )1()()()()()1( ??? iWiXiXiXiXiW TTT 和式 ()，用 )(1nR? 與式 ()相乘 得到： )()()()()()1()()()()( 211 111 nWnWieiXnRiWiXiXnRnW niniTinTin ????? ? ?? ????? ?? () 為簡化 )(1nW ， 構(gòu)建 )(nW 與 )1( ?nW 的關(guān)系， 我們可以 認(rèn)為 1?n 時刻及其以前時刻的濾波器參數(shù)相同，即： ?? )1()0( WW …… . )1( ?? nW 如此 ，利用式 ()及上述假定，就有 () 另一方面，為簡化 )(2nW 的表達(dá)， 這里可以 認(rèn)為遺忘因 子 0?? 。這相當(dāng)于，只有本時刻的結(jié)果被記憶下來，而將以前的各時刻的結(jié)果全部遺忘。從而，有下列的簡化結(jié)果： )()()()()(0)()( 1112 nenXnRieiXnRnW TniTin ???? ? ?? () 將式 ()和 ()代入 ()，則得 )()()()1()( 1 nenXnRnWnW T???? () 式 ()描述了一個濾波器參數(shù)受其輸入誤差 )(ne 控制的自適應(yīng)濾波算法，被稱作遞歸最小 二乘 (RLS)。 )1()1()()()()( 111 ???? ?? ?? nWnWiXiXnRnW ni Tin?南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 為了實(shí)現(xiàn)遞推計(jì)算，還要解決逆矩陣 )(1nR? 的遞推計(jì)算問題。為此，我們先引入一個著名的結(jié)果 —— 矩陣求逆引理。 矩陣求逆引理：若 A 是非奇異的，則： 111111 )()( ?????? ???? ACBACIBAABCA TTT () 由 )(nR 的定義式 ()，顯然有 )()()1()( nXnXnRnR T??? () 對它應(yīng)用矩陣求逆引理，得： () 綜上所分析，遞歸最小二乘法自適應(yīng)濾波 (RLS)算法如下所示 算法初始化： 0)0( ?W IR ?)0( For k=1 to n final do : )()1()()( nXnWnxne T ??? () )()()()1()( 1 nenXnRnWnW T???? 遞歸最小二乘 (RLS)算法的性能分析 RLS 算法的關(guān)鍵是用二乘方的時間平均的最小化鋸帶最小均方準(zhǔn)則，并按時間進(jìn)行迭代計(jì)算。對于非平穩(wěn)信號的自適應(yīng)處理，最合適的方法是采用最小二乘自適應(yīng)濾波器。它使誤差的總能量最小。收斂速度快 是 RLS 算法的優(yōu)點(diǎn) ， 而計(jì)算復(fù)雜度很高是其缺點(diǎn)。 RLS 算法引入了數(shù)加權(quán)遺忘因子 λ ，由于 λ 的出現(xiàn) ，使 RLS 算法能夠跟蹤 非平穩(wěn)信號。 由于設(shè)計(jì)簡單、性能最佳 ，其中 RLS 濾波器具有穩(wěn)定的自適應(yīng)行為而且算法簡單，收斂性能良好。 這里討論 RLS 算法收斂特性兩個方面的問題：一是從均值的意義上討論 )(?nW 的收斂性；二是從均方值的意義上討論誤差 ()en 的收斂性。為了討論進(jìn)行這樣的討論，必須對輸入過程的類別作出規(guī)定。 11111( ) ( ) ( ) ( 1 )( ) ( 1 ) 1 ( ) ( 1 ) ( )TTR n X n X n R nR n R n X n R n X n????? ?? ? ? ??)()1()(1 )1()()()()1()( 11111nXnRnX nRnXnXnRnRnR TT?? ???? ?????南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19 考慮隨即機(jī)回歸模型： () 其中 ()xn 是零均值過程 )(nV 是均值為零 ,方差為 N2? 的高斯白噪聲序列。 其中 )](?[ nWE 的收斂性對公式 )()()( 0 nVWnXnd T ?? ，其中 TMwwW ][ 0010 ??? 。而可以寫出： ??? ?? niTin iVWiXiXnq1 0 )]()()[()( ? () 當(dāng) )(n? ， )(?nW 滿足： ? ? )()()()()()()()()( 11 nqnRnbnnAnAnnAnW XTT ??? ???? () 將其寫成如下形式： InrnR nxx ???? )()( () 其中 ???? niTinx nXiXnr1 )()()( ? () 將式 (340)和式 (342)帶入式 (341)中得： 1 01? ( ) [ ( ) ] [ ( ) ( ) ( ) ]nn n ixxiW n r n I r n W X i V i? ? ????? ? ? ? () 故 )]([ nWE ? 010 )( WnrW nx ????? () 在最小二乘法 (RLS)算法引入了 ? 的意義。 λ 是一個可以改變均衡器性能的抽頭系數(shù)。如果信道是非時變的，那么 λ 可以設(shè)為 1。而通常的 λ 取值為 λ1。 λ 值對收斂速率沒有影響，但是它影響著 RLS 算法的跟蹤能力。 λ 值越小，均衡器的跟蹤能力更強(qiáng)。但是，如果 λ 值太小，均衡器將 會不穩(wěn)定。 LMS 算法與 RLS 算法性能比較 LMS 算法確實(shí)結(jié)構(gòu)簡單、計(jì)算量小且穩(wěn)定性好，因此被廣泛地應(yīng)用于自適應(yīng)控制、雷達(dá)、系統(tǒng)辨識及信號處理等領(lǐng)域。它的主要限制是它的收斂速度慢 。 遞推最小二乘法即 RLS 算法，是最小二乘法的遞推形式引出一種自適應(yīng)算法，它是嚴(yán)格以最小二乘方準(zhǔn)則為依據(jù)的算法。其主要優(yōu)點(diǎn)就是收斂速度快，其收斂性能與輸入信號的頻?? ???? Mi nVinxwnd 1 0 )()1()(南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 20 譜特性無關(guān)。主要缺點(diǎn)是每次迭代計(jì)算量很大 (對于 L 階橫向?yàn)V波器，計(jì)算量數(shù)量級為 2L )。 RLS 算法與 LMS 算法的基本差別如下： LMS 算法中的步長參數(shù) ? 被 )(1 n?? (即輸入向量的相關(guān)矩陣的逆 )代替這一改進(jìn)對平穩(wěn)環(huán)境下 RLS 算法的收斂性能有如下深刻的影響。指數(shù)加權(quán)因子 ? 的作用和 ? 的作用類似： RLS 算法的收斂速度比 LMS 算法快一個數(shù)量級。 RLS算法的收斂速度隨著 ? 的變小而加快，但 穩(wěn)定性相對減弱。反之，收斂速度減慢，穩(wěn)定性加強(qiáng)。南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 第四章 基于 MATLAB的自適應(yīng)濾波器仿真實(shí)現(xiàn)與應(yīng)用 MATLAB 語言簡介 MATLAB 的數(shù)值計(jì)算機(jī)符號 處理 功能 效率非常高 ， 讓使用者 從 復(fù)雜 的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中 得到 解放 ； MATLAB 具有 強(qiáng)大 的圖形處理功能， 可將 計(jì)算結(jié)果和編程的 進(jìn)行有效地 可視化；具有友好的用戶 使用 界面及 擁有與 數(shù)學(xué)表達(dá)式 相近 的自然化語言， 對于學(xué)者很容易學(xué)習(xí)并掌握其使用 ； 且擁有 功能 齊全 的應(yīng)用工具箱，為用戶提供了 眾多 方便 而且實(shí)用 的 數(shù)據(jù)處理工具。 為了準(zhǔn)確地把一個控制系統(tǒng)的復(fù)雜模型輸入給計(jì)算 機(jī)，然后對之進(jìn)行進(jìn)一步的分析與仿真， MATLAB 提供了新的控制系統(tǒng)模型圖形輸入與仿真工具，定名為 Simulink。 Simulink 結(jié)合了圖形用戶界面和交互仿真功能，以系統(tǒng)為中心，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的要求和指標(biāo)為目的，實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、測試及驗(yàn)證過程。將用戶計(jì)算機(jī)變成一個模擬和分析各類型系統(tǒng)的實(shí)驗(yàn)室。 基于 LMS 算法的 MATLAB 的程序仿真 Matlab 仿真程序 使用 Matlab 編程，采用自適應(yīng)濾波器技術(shù)實(shí)現(xiàn)語音去噪過程，程序如下： g=100。 %統(tǒng)計(jì)仿真次數(shù)為 g N=1024。 %輸入信號抽樣點(diǎn)數(shù) k=128。 %濾波器階數(shù) pp=zeros(g,Nk)。 %將每次獨(dú)立循環(huán)的誤差結(jié)果存于矩陣 pp中，以便后面對其平均 u=。 %濾波器收斂因子 for q=1:g t=1:N。 a=1。 s=a*sin(*pi*t)。 %輸入單信號 s figure(1)。 subplot(311) plot(s)。 %信號 s時域波形 title(39。信號 s時域波形 39。)。 xlabel(39。n39。)。 axis([0,N,a1,a+1])。 xn=awgn(s,5)。 %加入均值為零的高斯白噪聲 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 22 %設(shè)置初值 y=zeros(1,N)。 %輸出信號 y y(1:k)=xn(1:k)。 %將輸入信號 xn的前 k個值作為輸出 y的前 k個值 w=zeros(1,k)。 %設(shè) 置抽頭加權(quán)初值 e=zeros(1,N)。 %誤差信號 %用 LMS算法迭代濾波 for i=(k+1):N XN=xn((ik+1):(i))。 y(i)=w*XN39。 e(i)=s(i)y(i)。 w=w+u*e(i)*XN。 end pp(q,:)=(e((k+1):N)).^2。 end subplot(312) plot(xn)。 %信號 s時域波形 title(39。信號 s加噪聲后的時域波形 39。)。 subplot(313) plot(y)。 %信號 s時域波形 title(39。自適應(yīng)濾波后的輸出時域波形 39。)。 for b=1:Nk bi(b)=sum(pp(:,b))/g。 %求誤差統(tǒng)計(jì)平均 end figure(2)。 %算法收斂曲線 t=1:Nk。 plot(t,bi,39。r39。)。 title(39。收斂曲線 39。)。 hold on %將每次循環(huán)的圖形顯示結(jié)果保存下來 仿真結(jié)果 對程序中所使用的一些函數(shù)的詳細(xì)說明，請參考 MATLAB 的函數(shù)說明，這些函數(shù)包括：南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 FIR、 INITSE、 FILTER、 PLOT、 ADAPTSE 等。圖 上圖為原始信號的信號圖，中間圖為原始信號加噪聲圖，下圖為濾波后信號時域圖。比較 三個圖 可以看出，采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號和原始信號基本相似，噪聲完全濾除 ，基本達(dá)到濾波效果 。 下圖中前面一部分為未濾波部分， 與后面濾波圖形成對比，突顯算法濾波的有效性。 圖 LMS 算法仿真結(jié)果圖 ， u= 從圖 中 可觀察到， 采用自適應(yīng)濾波后的濾波輸出信號和原始信號基本相似，噪聲完全濾除 ,基本上能將原始信號與噪聲分離，達(dá)到預(yù)期的輸出效果。 下面再通過設(shè)置不同的收斂因子 μ ,觀察濾波效果的差異，討論其重要性。程序與上面一樣，改變其中的 u 值分別為 與 ，用 Matlab 仿真得下圖。 圖 LMS 算法仿真結(jié)果圖， u= 南通大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 圖 LMS 算法仿真結(jié)果圖 ， u= 收斂因子 μ 影響算法的收斂速度。 圖 設(shè)置的收斂因子為 ，圖 設(shè)置收斂因子為 ，圖 設(shè)置的收斂因子為 。對比三圖，我們可以發(fā)現(xiàn)圖 中收斂速度不錯，圖 中收斂速度加快，圖 收斂速度很慢 ，超出設(shè)定數(shù)軸時濾波效果還沒達(dá)到最佳狀態(tài)。 由此可見選擇合適的