【導讀】師的指導下進行的研究工作及取得的成果。盡我所知，除文中特別加。而使用過的材料。對本研究提供過幫助和做出過貢獻的個人或集體，均已在文中作了明確的說明并表示了謝意。集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作品成果。本人完全意識到本聲明的法律。結果由本人承擔。1)生產(chǎn)計劃制定問題的提出背景及研究現(xiàn)狀；[3]李京文,鐘學義.中國生產(chǎn)率分析前沿[M].北京:社會科學文獻出版社,1998.[5]張恭慶.泛函分析講義[M].北京:北京大學出版社,1987.足的歐拉方程并據(jù)此解決了大量具體問題。1964年，錢偉長教授明確提出了引進拉格朗日成子。日本的鷲津一郎教授、中國科學院院士錢偉長教授和劉高聯(lián)教授等都是這方面的世界級大。在生產(chǎn)計劃制定中，如何選擇使費用最省而經(jīng)濟利益最大，變分法是生產(chǎn)最優(yōu)化最成功的方法。管理工作中的經(jīng)濟利益預估服務。效率，使企業(yè)獲得最大的利益以便更好的適應市場激烈的競爭。2020年2月—2020年4月：撰寫畢業(yè)論文的初稿；2020年4月1日—2020年4月14日：修改初稿，并定稿；

　　

【正文】 ? ? Uuuu N ??, 21 11 使下式的效益最大或最?。ńy(tǒng)稱為最優(yōu)效益）： ???Nk kkN uxrR 1 ),( 因為 N 階段過程的最優(yōu)效益只是初始狀態(tài) 1x 與階段長度 N 的函數(shù) ,所以可以用 )(1xfN 表示 ? ? ??????? ???Nk kkUuN uxroptxf i 11 ),()( 式中 ,1x 為初始狀態(tài)； N 為階段長度； opt 是優(yōu)化的意思 ,根據(jù)給定問題取最大值 max 或最小值 min .使效益取極值 )(1xfN 的決策 ??*ku 稱為最優(yōu)決策 [7]. 最優(yōu)化原則 一個過程的最優(yōu)決策具有這樣的性質 ,即無論其初始狀態(tài)及其初始決策如何 ,其以后諸決策對以第一個決策所形成的狀態(tài)作為初始狀態(tài)都必須構成最優(yōu)決策 . 最優(yōu)化原則描述了最優(yōu)控制決策的基本性質 ,它建立在不變嵌入原則的基本概念上 .當求解一個特殊的最有決策問題時 ,可以把原來的問題嵌入一個較容易解的類似問題之中 .如多階段決策過程 ,可以將原來的多階段最優(yōu)化問題用求解一系列但各階段決策問題來代替 .根據(jù)最優(yōu)化原則 ,N 階段決策過程的總收益可以寫成 ? ?? ?),(),(111111 uxgfuxroptR NUuN ?? ?? 式中 , ),( 11uxr 第一階段的收益 , ? ?? ? )(, 21111 xfuxgf NN ?? ?則代表初始狀態(tài) 2x 的后 1?N 個階段的最優(yōu)效益 . 利用上式最有效益的式子又可寫成 ? ? ? ?? ?),(),(111111 11 uxgfuxro p txf NUuN ?? ?? 上式中右端的函數(shù) 1?Nf 可以繼續(xù)分解下去 ,它對階段數(shù) 2?N 的過程都成立 .當階段數(shù)為 1?N 時 ,最優(yōu)效益為 ? ? ? ?),(1111 11 uxroptxf Uu ?? 所以也可以把 N 階段決策過程的總效益寫成 ? ? ),(11 NNNN uxrxfR ?? ? 從而最優(yōu)效益可最終歸結為 ? ? ? ?? ?),(111 NNNUuN uxrxfoptxf NN ?? ?? 12 并一步步展開 . 應用最優(yōu)化原則 ,一個 N 階段決策過程就處理為一個 N 個單階段決策過程的序列 ,因此使這個最優(yōu)化問題可以采用系統(tǒng)迭代的方式得到解決 .前兩個式子分別是動態(tài)優(yōu)化中的逆序解法和順序解法基本公式 . 多階段轉化對生產(chǎn)計劃的應用 問題的提出 工廠制定生產(chǎn)計劃 ,要考慮設備、市場容量和收益三方面因素 某廠設備情 況見表 71~PP 七種產(chǎn)品的單價收益和加工工時見表 2,機床修理安排見表 容量見表 ：每種產(chǎn)品存貨最多 100件；存費每件每月 ； 6月份末每種產(chǎn)品有 50件存貨；每天 2班 ,每班 8小時 .盈利規(guī)定為收益減去存費 ,試安排1～ 6月份里各個月每種產(chǎn)品的產(chǎn)量 ,以使上半年盈利最多 .討論該廠設備結構的合理性 ,并作改進 . 表 1 設備情況 機床 磨床 立式鉆床 臥式鉆床 鏜床 刨床 臺數(shù) 4 2 3 1 1 表 2 單件產(chǎn)品收益和加工工時 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 收益（元） 10 6 8 4 11 9 3 磨（小時） 0 0 垂直鉆孔 0 0 0 水平鉆孔 0 0 0 0 鏜孔 0 0 刨 0 0 0 0 表 3 停工維修安排 (時間 1個月 ) 月份 1 2 4 5 6 7 機床 磨床 臥式鉆床 鏜床 立式鉆床 磨床 刨床 13 立式鉆床 臥式鉆床 臺數(shù) 1 2 1 1 各 1 各 1 表 4 市場容量 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 1 月 500 1000 300 300 800 200 100 2 月 600 500 200 0 400 300 150 3 月 300 600 0 0 500 400 100 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 500 100 1000 300 0 6 月 500 500 100 300 1100 500 60 問題分析 本問題的難點是同時考慮七種產(chǎn)品的優(yōu)化產(chǎn)量 ,如果只有一種產(chǎn)品 ,運用動態(tài)規(guī)劃可以方便地得出它的最優(yōu)產(chǎn)量計劃 ,于是我們先將系統(tǒng)分解成單種產(chǎn)品的子問題 ,再綜合工時、收益進行局部調整以達產(chǎn)量整體最優(yōu) .但分解決策思想 沒有充分把握整體關系 ,因此用動態(tài)規(guī)劃處理才是最科學的 ,其實質是逆序推算 .為判斷設備結構是否合理 ,我們計算了按市場容量進行生產(chǎn)所需的工時 ,見表 5. 表 5 市場容量所需的工時數(shù)（小時） 工序 磨 垂直鉆孔 水平鉆孔 鏜孔 刨 1月 1280 520 430 161 48 2月 905 340 370 97 3月 850 390 120 91 30 4月 420 230 420 82 19 5月 430 230 400 110 55 6月 1170 600 296 基本假設 1）不考慮排隊等候加工問題 . 2）可同時維修的機器的種類和數(shù)目不受限制 . 3）在檢修期間外 ,機床均能連續(xù)地正常工作 . 4） “市場需求”數(shù)據(jù)來自科學的預測 ,穩(wěn)定可信 . 1至 6月的產(chǎn)量安排是一個多階段決策問題 ,設第 n 月盈利為 nS . 14 ? ?16,2,1(171 .. ），????? ? ?? ? nLmCS R R nRnRRn 其中 RC 為第 R 種產(chǎn)品的單件收益 , nRL. 為該產(chǎn)品在 n 月份的存貯量 ,需求 ??????? ??61m a x)m a x ( n nSs 化模型的提出 模型 I 本問題變量和約束條件多達幾十個 ,我們采用分解決策法 .基本步驟是： (1) 單獨考慮產(chǎn)品 PR,根據(jù)各月的市場容量 ,綜合收益和存費 ,得出 l～ 6月最優(yōu)產(chǎn)量列 ,這一步動用動態(tài)規(guī)劃 . (2) 把 7個最優(yōu)產(chǎn)量列合并起來 ,逐月檢驗各項工序的工時 .遇到超時情況 ,衡量產(chǎn)品收益的大小和工時多少 ,一方面降低收益小、耗時大的產(chǎn)品產(chǎn)量 ,一方面把減少的該月產(chǎn)量盡可能推延到下一個月去完成 .這一步是 能否達到最優(yōu)的關鍵 . 在步驟 2中 ,把“減少的該月產(chǎn)量”變動到哪些月份中去 ,又是一個動態(tài)規(guī)劃問題 .為了計算的簡便及存貯費小的目的 ,我們把它盡量推延到下一月 ,未必就是最優(yōu) ,但這個較優(yōu)的結果與最優(yōu)的目標很接近 ,而且實際的市場需求變動頻繁．需要簡單的方法與之適應 ,所以這種方法是可取的 . 第 R 種產(chǎn)品在 n 月內總盈利 nRnRRnR LmCS ... ??? 動態(tài)規(guī)劃的逆推關系式為 ? ?1... max ??? nRnRnR fSf 其中 , nRf. 是第 R 種產(chǎn)品 n 月后的總盈利 (包括第 n 月 ). 邊界條件是 506. ?RL 運用以上方法求出 1P 至 7P 七種產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量 ,見表 6 表 6 七種產(chǎn)品各自的最優(yōu)產(chǎn)量 15 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 1 月 500 800 300 300 800 200 100 2 月 700 600 200 0 500 300 250 3 月 0 0 0 0 0 400 0 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 600 100 1100 300 100 6 月 550 550 0 350 0 550 0 分析表 6 1月的磨床、 2月的臥式鉆床工作超時．根據(jù)假設 3,最優(yōu)產(chǎn)量應盡量接近全月工時 ,即一月睹床 11522時 ,二月臥式鉆床 384工時 .以第一月為例． 2P需要 ,收益 6元 , 需磨 ,收益僅 3元 ,自然以減少產(chǎn)量為宜 .由此得出產(chǎn)量 ?m , ?m ,留到第二月的產(chǎn) 量是 1122?P 件 , 1007?P 件 .得到上半年各產(chǎn)品的合理產(chǎn)量見表 7. 表 7 上半年生產(chǎn)計劃 產(chǎn)品 1P 2P 3P 4P 5P 6P 7P 1 月 500 800 300 300 800 200 0 2 月 700 600 200 0 500 300 140 3 月 0 0 0 0 0 400 0 4 月 200 300 400 500 200 0 100 5 月 0 100 600 100 1100 300 100 6 月 550 550 0 350 0 550 0 模型 Ⅱ 模型 I 實質是一種從局部到整體逐步探索優(yōu)化的過程 ,模型 Ⅱ 提出了整體規(guī)劃方案 . 根據(jù)動態(tài)優(yōu)化原理 , )2(m axm axm axm ax 61621 ?????????? ?U nUUUSs 其中 nU 是第 n 月的最優(yōu)產(chǎn)量組合 . 若已知第 1?n 月庫容量 1.?nkL ,市場容量 1.?nkO ,可得第 n 月第 k 種產(chǎn)品最大庫存量 nkL. 為： 16 ???????????????????????????1 0 01 0 01 0 001,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,nknknknknknknknknknknknknkOLmmOLmOLOLmL 根據(jù)式 (2),可得第 1?n 月后的盈利與第 n 月后盈利間的遞推關系： ? ?1m a x ??? nnn fSf 并且滿足約束條件： ? ?3,,,7217,5??????????????????????????????????????nknknk LOmnTnnTnTnmnnmnmA，刨垂直鉆孔磨?? 求解步驟： (1) 對 5 月由 式 (3)求最優(yōu) ,因為 6 月產(chǎn)量會約束 5 月的庫存量 ,所以這 — 步確定了 5 月產(chǎn)量的限制條件 . (2) 對 5 月進行優(yōu)化處理 . (3) 再對 6 月整體優(yōu)化 ,以下工作以此類推 . 按以上步驟推 算 ,我們發(fā)現(xiàn) 6 月的整體優(yōu)化恰是 步驟 (1)、 (2)作出的結果向前推算到 3 月 ,這 4 個月的局部最優(yōu)又共同達到了整體最優(yōu) .對 l、 2 月產(chǎn)量 ,用 數(shù)學 軟件對 中 式 (3)進行計算 ,該結果與其后 3 至 6 月的優(yōu)化產(chǎn)量能銜接起來 .于是 ,我們用逆序算法較輕松地得出了六個月的最優(yōu)安排 . 模型 II 的結果估于模型 I 相同 ,見表 7,總盈利 93648 元 . 分析表 至 6 月充分達到了市場需求 ,2 月和 1 月也是在工時約束下的最優(yōu)結果 ,因此得到的確是考慮每月生產(chǎn)成品的最優(yōu)產(chǎn)量安排 . 模型分析 生產(chǎn)計劃隨著下列因素變化：市場需求量、產(chǎn)品價格 ,設備結構和停工維修機床的日程安排 . 市場需求和產(chǎn)品價格變動必然帶來生產(chǎn)計劃的重新安排 ,求解模型就可得到不同形勢下的最優(yōu)生產(chǎn)計劃 .3至 6月的生產(chǎn)計劃并不受價格波動的影響 .在設備所能提供的工時范圍內 ,產(chǎn)量只隨市場需求變動 . 價格因素的作用：以一月的優(yōu)化為例 ,模型Ⅱ中用到的線性規(guī)劃 ,即求下列問題： 17 ??????????????????????????????????????? ??100^1,1,^1,1,m a xm a x1,1,721711,1RRkkROmTTmmmAmCS刨磨工時 價格波動帶來單位收益 RC 的變化 ,直接影響一月份的生產(chǎn)計劃 .作定性分析得 ： 若產(chǎn)品 RP 的單件收益 RC 增大 ,則 nRm. 也變大 . 問題分析時 ,我們列出了表 ,進一步算出按市場需求量生