【導(dǎo)讀】本科畢業(yè)論文（設(shè)計）。形式簡單的多項式函數(shù).泰勒展開式的余項可分為佩亞諾型余項、拉格朗日型余項、積。泰勒展開式是18世紀早期英國數(shù)學(xué)家泰勒在微積分學(xué)中將函數(shù)展開成無窮級數(shù)。已知函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下,泰勒展開式可以用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建。一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值.此外泰勒展開式還給出了這個多項式。和實際的函數(shù)值之間的偏差.在高等數(shù)學(xué)中,泰勒展開式占有重要地位,并以各種形式。貫穿全部內(nèi)容,它可廣泛應(yīng)用與多種數(shù)學(xué)問題,集中體現(xiàn)了微積分和逼近法的精髓.在。紹了如何用泰勒展開式展開函數(shù),對泰勒展開式的應(yīng)用方法并未作深入討論.初學(xué)者在。解題時總是不善于將題目和泰勒展開式的應(yīng)用聯(lián)系在一起,在沒有理解泰勒展開式的。前提下,寫出常見函數(shù)的泰勒展開式只是一種機械的行為.那么如何學(xué)好和應(yīng)用好泰勒

　　

【正文】 u x f u x?? ??? ? ? ? ? ? ?, （ 1） 其中 ? 介于 x 與 u 之間 .分別令 1u? , 0u? 代入（ 1）式中并將所得兩式相減 ,有 1 33120 11( 1 ) ( 0 ) ( ) d ( ) ( 1 2 ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 3 !F F f t t f x x f x f x f x??? ?? ????? ? ? ? ? ? ? ???? .（ 2） 其中 1? 介于 x 與 1 之間 ,2? 介于 0 與 x 之間 .再 在（ 2）式右邊分別令 1x? , 0x? .將所得兩式相加 ,得 到 1 210 1 1 1 12 ( ) d ( 1 ) ( 0 ) ( 1 ) ( 0 ) ( ) ( )2 2 3 ! 3 !f t t f f f f f f??? ? ?? ??? ? ? ? ? ?? . 因為 (1) (0) 0ff????,故而 ? ?1120 12 ( ) (1 ) ( 0 ) ( ) ( )3!f t d t f f f f???? ??? ? ? ??.設(shè) ? ?12m in ( ), ( )m f f???? ??? , ? ?12m a x ( ), ( )M f f???? ??? ,則 12( ) ( )2ffmM???? ?????.又 因為 ()fx?? 在 ? ?0,1 上連續(xù) ,由介值定理知存在 (0,1)?? ,使得 12( ) ( )() 2fff ??? ?? ????? ? ,于是 10 12 ( ) (1 ) ( 0 ) ( )3f x d x f f f ???? ? ??.這樣就證得10 (1 ) ( 0 ) 1( ) ( )26fff x d x f ?? ????? ,其中 (0,1)?? . 由上例可知 ,在已知被積函數(shù) ()fx具有二階或二階以上連續(xù)導(dǎo)數(shù)時證明定積分等式 ,一般先構(gòu)造輔助函數(shù)0( ) ( )dxF x f t t??.再將函數(shù) ()Fx 在所需點（一般是根據(jù)右邊的表天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開式中余項的應(yīng)用 13 達式確定展開點）進行泰勒展開 ,然后對泰勒余項做適當處理（利用介值定理或最大值最小值定理） . 例 15 設(shè) ()fx在 ? ?,ab 上二階導(dǎo)函數(shù)連續(xù) ,且 ( ) 0fx?? ? ,則 ( ) ( ) ( )2ba abf x dx b a f ????. 分析 : 需要證明的不等式左邊含有積分號 ,而右邊則可改寫為 ()2ba abf dx??,則問題轉(zhuǎn)化為證明積分不等式 ( ) ( )2bbaaabf x dx f dx????.又因為涉及到二階導(dǎo)函數(shù)及 ()2abf ?,所以考慮在點2abx ??處使用泰勒 公 式 .另外 ,存在一個十分便利的隱含條件 ( ) 02ba abx dx????,這意味著若對泰勒 公 式兩邊同時積分 ,則泰勒公式中含有一階導(dǎo)數(shù)的項可以消去 . 證明 : 將 ()fx在2abx ??處按泰勒 公 式展開 ,得 2()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2a b a b a b f a bf x f f x x???? ? ? ??? ? ? ? ?,其中 ? 介于 x 與 2ab? 之間 . 因為 ( ) 0fx?? ? ,所以 ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2a b a b a bf x f f x? ? ??? ? ?. 不等式的兩邊同時在 ? ?,ab 上取定積分 ,有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 02 2 2 2b b ba a aa b a b a b a bf x d x f d x f x d x f b a? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ?. 于是就證得 ( ) ( ) ( )2ba abf x dx b a f ???? . 證明根的唯一存在性 例 16 設(shè)函數(shù) ()fx在 ?1,???? 上處處有 ( ) 0fx?? ? ,且滿足 (1) 2, (1) 3ff?? ? ?.試證明方程( ) 0fx? 在 (1, )?? 內(nèi)有且僅有一個實根 . 分析 : 這里 ()fx是抽象函數(shù) ,直接討論方程 ( ) 0fx? 的根存在一定的困難 .由題中已知條件 ()fx在區(qū)間 ? ?1,?? 上二階可導(dǎo) ,而 且 (1) 0f? ? , (1) 0f? ? ,不妨考慮將函數(shù) ()fx在點 xa? 處展開為一階的泰勒 公 式 ,再 根據(jù) ( ) 0fx?? ? 對泰勒公式進行放縮 ,消去余項 .然后設(shè)法應(yīng)用介值定理進行證明 . 證明 : 將 ()fx在 1x? 處按泰勒 公 式展開并整理 ,有 2()( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 2 3 ( 1 ) 5 32ff x f f x x f f x x x?????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 令 5 3 0x??,故當 53x?時 ,不妨取 2x? , (2) 1 0f ?? ? ,那么 (1) (2) 0ff? ,由零點定理知 , (1,2)??? 使得 ( ) 0f ?? ,即方程 ( ) 0fx? 至少有一個實根 . 另一方面 ,由于 ( ) 0fx?? ? ,因此導(dǎo)函數(shù) ()fx? 是單調(diào)減少的 ,所以當 1x? 時必有( ) (1) 3 0f x f??? ? ? ?,故 ()fx在 ?1,???? 上是嚴格遞減的 . 天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開式中余項的應(yīng)用 14 這就說明方程 ( ) 0fx? 在 (1, )?? 內(nèi)有且僅有一個實根 . 近似計算與誤差估計 泰勒展開式是“函 數(shù)逼近”思想的一個重要應(yīng)用 ,在數(shù)值計算中不僅能用于近似計算和誤差分析 ,而且能夠判定迭代法的收斂速度 ,導(dǎo)出 Euler 法和 Newton迭代法及誤差分析等 .本文僅簡單介紹泰勒展開式在近似計算與誤差估計中的應(yīng)用 . 利用帶拉格朗日余項的泰勒 公 式可以進行函數(shù)的近似計算和一些數(shù)值的誤差分析 ,由 ()fx的麥克勞林公式可以得到函數(shù)的近似計算式為 ()2(0 ) (0 )( ) (0 ) (0 ) 2 ! !n nfff x f f x x xn???? ? ? ? ?, 其誤差是余項 ( 1)1()() ( 1)!n nn fxR x xn ?? ?? ?. 例 17 估算 e 的值 ,使其誤差不超過 610? . 解 : 令 ()xf x e? ,將 ()fx改寫為帶有拉格朗日型余項的麥克勞林公式 ,有 2 11 2 ! ! ( 1 ) !nxxnx x ee x xnn ? ?? ? ? ? ? ? ?,01???. 當 1x? 時有 11112 ! ! ( 1 ) !ee nn ?? ? ? ? ? ? ?,01???.故誤差為 3()( 1) ! ( 1) !n eRx nn?????,當 9n? ,便有 69 3(1) 1010!R ???.從而略去 9(1)R 而求得 e 的近似值為 1 1 11 1 2 .7 1 8 2 8 52 ! 3 ! 9 !e ? ? ? ? ? ?. 綜合以上幾種具體而實用的方法 ,是對泰勒展開式余項的應(yīng)用做了一個推 廣 ,對我們解決某些具體問題有莫大的幫助 .佩亞諾型和拉格朗日型都是對余項的估計 ,其中佩亞諾型余項只是定向分析 ,拉格朗日余項雖然是定量分析但仍然含有不確定因素 ? .然而積分型余項則不含類似因素 ,它是完全確定的 .這正是積分型余項的優(yōu)點 .在許多較為精確的估計式中 ,經(jīng)常使用帶積分型余項的泰勒 公 式 .由于其原理與拉格朗日型余項在近似計算中相似 ,在此不作重復(fù) . 此外 ,與 泰勒展開式密切相關(guān)的泰勒級數(shù)也有很大的實用性 ,其主要內(nèi)容包括兩個方面 : 冪級數(shù)的收斂理論及如何對一個函數(shù)進 行泰勒展開 .如果已知函數(shù) ()fx的泰勒展開式 ,則其通項中 0()nxx 的系數(shù)正是 ()01 ()! nfxn,從而 可以利用函數(shù)的泰勒展開式來求高階導(dǎo)數(shù)在某些點的數(shù)值 .在求冪級數(shù)的收斂半徑及和函數(shù)時也常常用到泰勒展開式 ,需要特別指出的一點是 ,在求得函數(shù)的泰勒展開式之后 ,一定要指明等式() 000()( ) ( ) ! nnnxxf x f x n???? ? 成立的范圍 .這一范圍即可能不同于左邊函數(shù)的定義域 ,也可能不天津師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 泰勒展開式中余項的應(yīng)用 15 同于右邊冪級 數(shù)的收斂域 . 4 參考文獻： [1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系 .數(shù)學(xué)分析（上、下冊） [M].第三版 .北京 :高等教育出版社 .2020（ 2020重印 ):134139. [2]李成章 ,黃玉民 .數(shù)學(xué)分析（上冊） [M].第二版 .北京 :科學(xué)出版社 .2020:125130. 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