【導(dǎo)讀】本、最高的效率達(dá)到最優(yōu)的目標(biāo)。本文通過一系列的分析，對(duì)GPS控。制網(wǎng)的優(yōu)化方法進(jìn)行分析，說明可行性。徑方法生成觀測(cè)方案?？?、進(jìn)行全方位實(shí)時(shí)三位導(dǎo)航與定位能力的新一代衛(wèi)星導(dǎo)航與定位系統(tǒng)。殼運(yùn)動(dòng)學(xué)等多種學(xué)科，從而給測(cè)繪領(lǐng)域帶來了一場(chǎng)深刻的技術(shù)變革。

　　

【正文】 （ 2416） 上式中的 iR 為第 i 條基線 向量三個(gè)坐標(biāo)分量的多余分量主子塊陣， 在無需 顧及方向的前提下，可按下式來求出單條基線向量可發(fā)現(xiàn)粗差的下界值 : 2020200 lzlylxl ??????? （ 2417） 它是一種平均意義下的定義，即假設(shè)某條基線在空間各方向上可發(fā)現(xiàn)的粗差的下界值是相等的，因此單條基線向量可發(fā)現(xiàn)粗差的下界域也是一個(gè)球形域。若假設(shè)某基線向量的各分量是等權(quán)的，則 ( 2412 )式可以變?yōu)?: xiiilx rR ?? /0?? （ 2418） 為了比較各種不同精度的觀測(cè)值之間發(fā)現(xiàn)粗差能力的差別，將上式中的觀測(cè)精度口 i? 去掉，得到的無量綱的內(nèi)部可靠性指標(biāo)與文獻(xiàn)的內(nèi)部可靠性指標(biāo)完全等價(jià)，這說明若將基線觀測(cè)分量作為觀測(cè)值，可以得到與常規(guī)網(wǎng)一樣的內(nèi)部可靠性指標(biāo)。 3 GPS 網(wǎng)的外部可靠性 外可靠性是指不可發(fā)現(xiàn)的最大模型誤差對(duì)平差結(jié)果的影響，一般將這種模型誤差對(duì)平差未知數(shù)的影響長度定義為外部可靠性指標(biāo)。在 ( 245 )的數(shù)學(xué)模型下， 外部可靠性可表述如下 : ? ? ? ? ? ? ? ?SPS SPPSSSXSSSTSSSST ????? 00 || ?? （ 2419） 式 中 : PHHP TSS ? 類似于內(nèi)部可靠性的討論 ,可求得一個(gè)基線向量在三個(gè)坐標(biāo)分量方向上的外部可靠性指標(biāo)為 : 27 ??????????????????????????11139。0039。0039。00zzzzyyyyxxxxrPrPrP?????? （ 2420） 式中， zzyyxx PPP ?????? , 分別是該基線向量的權(quán)陣中的對(duì)角元素， 同樣，定義一個(gè)基線向量平 均意義下的外部可靠性指標(biāo)為 : 2020200 zyxb ???? ??? 4 控制網(wǎng)可靠性的一些性質(zhì) 矩陣 PANAIR T?? 為可靠性矩陣，內(nèi)部可靠性和外部可靠性都由其決定， 通過對(duì)它的分析，可以得到以下一些性質(zhì) : (1)tr(R)=r 二其中 r為多余觀測(cè)數(shù)，對(duì)于有 m個(gè)點(diǎn)， n條基線的 GPS網(wǎng)，則 nmr 33 ?? ； (2)R 的對(duì)角元素滿足 : 10, ????? iinli ii rrr； (3)對(duì)于某個(gè)觀測(cè)值 il 而言，其可靠性權(quán)陣 iR 與自身的精度權(quán)陣 iP 成反比， 而與其它觀測(cè)值 jl 的權(quán)陣 iP 成正比 ； (4)增加新觀測(cè)值，既能提高其它原有觀測(cè)值的可靠性，又能提高網(wǎng)的總體可靠性 ； (5)衡量網(wǎng)的可靠性的準(zhǔn)則，不僅取決于多余觀測(cè)數(shù)值，也取決于各觀測(cè)值的可靠性權(quán)陣分配是否均勻。 28 3 GPS 控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì) GPS 網(wǎng)優(yōu)化設(shè) 計(jì)的數(shù)學(xué)模型 (1) 常規(guī)網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型 我們做任何一項(xiàng)工作時(shí)，總是希望在所有可行的方案中選擇一種某種意義上最優(yōu)的方案，這就是最優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，數(shù)學(xué)上的優(yōu)化設(shè)計(jì)可以用以下的函數(shù)模型來表示 : ? ? ? ?? ?? ? niXH pjXGEXXFijn,2,10,2,10m in???????? （ 31） 式中 ? ?TnxxxX , 21 ??? 為設(shè)計(jì)變量，可以由設(shè)計(jì)人員調(diào)整，其不同的取值 表示 不同的設(shè)計(jì)方案，是優(yōu)化設(shè)計(jì)問題中最終要確定的變量。 ???F 為設(shè)計(jì)變量的函數(shù)，稱為目標(biāo)函 數(shù)，其函數(shù)值的大小決定了設(shè)計(jì)方案的好壞，也稱為優(yōu)化設(shè)計(jì)的準(zhǔn)則矩陣 。 ? ?XGj 不等式約束條件， ? ?XHj 為 等式約束條件，統(tǒng)稱為約束條件。約束條件是為了確保設(shè)計(jì)方案能夠滿足使用上的要求而建立的，以使設(shè)計(jì)方案最終是確實(shí)可行的。滿足約束條件的所有設(shè)計(jì)變量組成的集合稱為可行域，可行域內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)所代表的方案都是可行的。 數(shù)學(xué)最優(yōu)模型應(yīng)用到測(cè)量控制網(wǎng)中，用數(shù)學(xué)語言可以描述如下， ? ? ? ???? ??? ?? XHnmPAst ERP ，或,m in ?? （ 32） 其中 ERP , 分別為精度、可靠性、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)， PA, 分別為圖形矩陣和權(quán)矩陣， nm, 分別為未知數(shù)個(gè)數(shù)和觀測(cè)值個(gè)數(shù)， ? ?XH 限制條件函數(shù)， ??、 為常數(shù)。 (3 2)即顧及精度、可靠性、經(jīng)濟(jì)性等綜合指標(biāo)的大地控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型。按照 Grafraend 提出的，目前國際上廣泛采用的分類方法，控制網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)分為以下幾個(gè)階段 : (1)零階段設(shè)計(jì)問題 (或稱基準(zhǔn)選擇問題 )，對(duì)一個(gè)已知圖形結(jié)構(gòu)和觀測(cè)計(jì)劃的自由網(wǎng)，為控制網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)及其方差陣選擇一個(gè)最優(yōu)的坐標(biāo)系。即在己知設(shè)計(jì)矩陣 A和觀測(cè)值權(quán)陣 P 的條件下，確定網(wǎng)點(diǎn)的坐標(biāo)向量 X及其協(xié)因數(shù)陣 XXQ ， 使X的目標(biāo)函數(shù)達(dá)到極值，因此，零階段設(shè)計(jì)問題就是一個(gè)平差問題； 29 (2) 一階段設(shè)計(jì)問題 (或稱圖形設(shè)計(jì)問題 )，即在已知觀測(cè)值的權(quán)陣 P的條件下，確定設(shè)計(jì)矩陣 A，使網(wǎng)中某些元素的精度達(dá)到預(yù) 定值或最高精度，或者使坐標(biāo)的協(xié)因數(shù)陣最佳逼近某個(gè)給定的矩陣 39。XXQ (準(zhǔn)則矩陣 )； (3)二階段設(shè)計(jì)問題 (或稱觀測(cè)值權(quán)的分配問題 ),即已知設(shè)計(jì)矩陣 A，確定觀測(cè)值的權(quán)陣 P，使網(wǎng)的精度 (整體精度或局部精度 )達(dá)到預(yù)定值或最高精度； (4)三階段設(shè)計(jì) (或稱為網(wǎng)的改造或加密方案的設(shè)計(jì)問題 )，通過增加新點(diǎn)和新的觀測(cè)值，以改善網(wǎng)的質(zhì)量。在給定的改善質(zhì)量前提下，使改造測(cè)量工作量最小。或者在改造費(fèi)用一定的條件下，使改造方案的效果最佳。 以上各階段的設(shè)計(jì)既相互區(qū)別，義是相互聯(lián)系的， 如三階段設(shè)計(jì)問題可以看成是一階段和二階段設(shè)計(jì)問題的混合，各階段設(shè)計(jì)問題的己 知量與設(shè)計(jì)量之間的變換關(guān)系可以用下表來表示 : 類 別 已知量 設(shè)計(jì)變量 零階段設(shè)計(jì) PA, XXQX, 一階段設(shè)計(jì) XXQP, A 二階段設(shè)計(jì) XXQA, P 三階段設(shè)計(jì) XXQ PA, 2 GPS 網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì) 具體到 GPS 控制網(wǎng) ,其數(shù)學(xué)模型與常規(guī)大地測(cè)量控制網(wǎng)一樣采用 (3 2)式，其優(yōu)化設(shè)計(jì)步驟也可以按上述的四個(gè)階段逐步優(yōu)化，但是，應(yīng)該和常規(guī)網(wǎng)有所區(qū)別 : GPS 網(wǎng)平差廣泛采用的方法是在 WGS84 空間直角坐標(biāo)系中進(jìn)行無約束條件的平差，然后將平差后的坐標(biāo)及其協(xié)因數(shù)陣轉(zhuǎn)換到高斯平面上，再在平面上建立坐標(biāo)轉(zhuǎn)換模型，根據(jù) GPS 網(wǎng)和地面網(wǎng)的公共點(diǎn)的坐標(biāo)及坐標(biāo)約束條件。求解轉(zhuǎn)換參數(shù)，然后將 GPS 點(diǎn)坐標(biāo)及相 關(guān)的精度信息，根據(jù)轉(zhuǎn)換模型一次性轉(zhuǎn)換到國家或地方坐標(biāo)系下。若只固定一個(gè)點(diǎn)和一個(gè)已知方位，這稱為無約束條件的 GPS網(wǎng)平差，若固定點(diǎn)的個(gè)數(shù)在兩個(gè)以上，則稱為約束條件的 GPS 網(wǎng)平差。前者最大限度地保留了 GPS技術(shù)高精度的特點(diǎn)，但地面公共點(diǎn)的坐標(biāo)發(fā)生了變化，后者雖然可保持約束點(diǎn)的坐標(biāo)不變，但約束平差后 G P S 網(wǎng)的尺度保持了常規(guī)網(wǎng)的尺度，其度可能是虛假的，特別是當(dāng)約束點(diǎn)中存在較大誤差或顯著位移時(shí)。選擇哪種平 30 差法應(yīng)根據(jù)建網(wǎng)的目的來考慮，當(dāng)對(duì)城市控制網(wǎng)進(jìn)行新建或大規(guī)模地?cái)U(kuò)建時(shí)，應(yīng)選擇無約束條件的網(wǎng)平差模型，當(dāng)對(duì)原有地面 網(wǎng)局部加密時(shí)。應(yīng)采用約束轉(zhuǎn)換。而對(duì)于工程控制網(wǎng)，大多采用無約束條件的網(wǎng)平差，以保持網(wǎng)的較高精度，如隧道網(wǎng)，它一般選擇洞口點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn)，橋梁控制網(wǎng)，則選擇其主軸線作為基準(zhǔn)方向，軸線的某一端點(diǎn)作為基準(zhǔn)點(diǎn) ??51 ，對(duì)于變形監(jiān)測(cè)網(wǎng)一般采用自由網(wǎng)平差或擬穩(wěn)基準(zhǔn)。故對(duì)于基準(zhǔn)條件的選取受網(wǎng)的用途和目的的限制，其選擇的自由度不大，故對(duì)于零階段優(yōu)化設(shè)計(jì)沒有多大的實(shí)際意義，但要注意基準(zhǔn)的選擇引起 GPS 網(wǎng)點(diǎn)位誤差變化的規(guī)律。 控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法有許多種，目前廣泛采用的方法主要是解析法(AnalyticalMethod )和機(jī)助模擬法 (Computer Aided Simulative Method ) ，解析法是通過建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，包括目標(biāo)函數(shù)和約束條件 .選擇一種優(yōu)算法 ,求出問 題的最優(yōu)解 。機(jī)助模擬法則是將電子計(jì)算機(jī)的計(jì)算功能和判別能力同設(shè)計(jì)者的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)結(jié)合起來，通過一個(gè)憑經(jīng)驗(yàn)擬訂的初始觀測(cè)方案，進(jìn)行分析計(jì)算，求出各項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)，并對(duì)設(shè)計(jì)方案進(jìn)行不斷的修改，直到滿足設(shè)計(jì)者的要求為止的一種方法。 對(duì)于 GPS 控制網(wǎng)，由于解析法優(yōu)化設(shè)計(jì)模型比較復(fù)雜，難以解出可行解，目前編制出的 控制網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)軟件一般都采用模擬法，需要指出的是模擬法的最終結(jié)果相對(duì)于解析法而言，在嚴(yán)格的數(shù)學(xué)意義上并非最優(yōu)，而只是一種相對(duì)最優(yōu)，下面將模擬一小型 GPS 網(wǎng)，在顧及精度和可靠性的準(zhǔn)則下，對(duì) GPS 網(wǎng)的優(yōu)化設(shè)計(jì)進(jìn)行探討。 一階段優(yōu)化設(shè)計(jì) 1點(diǎn)位的移動(dòng)及異步環(huán)的數(shù)盆對(duì)精度和可靠性的影響 一階段設(shè)計(jì)即 GPS網(wǎng)形設(shè)計(jì)，主要是指在控制點(diǎn)的個(gè)數(shù)。多余觀測(cè)數(shù)大致確定的情況下，設(shè)計(jì)出最優(yōu)的網(wǎng)形，以使整個(gè)控制網(wǎng)具有較好的精度和可靠性。 在常規(guī)測(cè)量中，點(diǎn)位的位置移動(dòng)對(duì)精度和可靠性的影響較大，主要原因是點(diǎn)位的移動(dòng)將改變傳 遞三角形的角度，從而會(huì)改變點(diǎn)位誤差橢圓的大小和方向，如三角網(wǎng)布網(wǎng)時(shí)就規(guī)定傳遞三角形的角度一般不得小于 30 度。而 GPS 觀測(cè)類似于水準(zhǔn)測(cè)量，只要不改變點(diǎn)間的連接方式，其誤差方程就不會(huì)改變 (即圖形矩陣 A不變 )，點(diǎn)位的移動(dòng)對(duì)權(quán)陣 p會(huì)不會(huì)有影響呢 ?GPS 基線向量的精度估算公式 (32 1)對(duì)基線長度微分得 : iii dSSbd 22 2?? (321) 在上式中，取 s=20km ,ds=1km ,b=2ppm，計(jì)算出 ?iid ?? ，在進(jìn)行精 度估算時(shí)其變化量完全可以忽略，對(duì)于采用廠商提供的類似的標(biāo)稱精度公式 : 31 ? ?kmSbai ???? 來估算基線標(biāo)準(zhǔn)差的情況，同樣可以證明由點(diǎn)位移動(dòng)而引起基線標(biāo)準(zhǔn)差的變化量將會(huì)更小 ,所以，在不改變 GPS 邊的連接關(guān)系的情況下，僅對(duì)點(diǎn)的平面位置進(jìn)行小范圍的調(diào)節(jié)是不會(huì)改變網(wǎng)的精度和可靠性的 . 控制網(wǎng)網(wǎng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)固定的情況下，異步環(huán)個(gè)數(shù)的改變是否會(huì)對(duì)網(wǎng)的精度和可靠性產(chǎn)生影響 。 規(guī)范中沒有明確規(guī)定異步環(huán)中獨(dú)立邊長的數(shù)目，但在城市控制網(wǎng)的技術(shù)設(shè)計(jì)中一般說明異步環(huán)最多不能超過 6 條邊，下面將以實(shí)例來分析 :如圖 31 、圖 32為某模擬的 GPS控制網(wǎng)，采用單頻接收機(jī)觀測(cè) (10m m+2ppm )， 平均邊長約 20 公里，在相同的基準(zhǔn)條件下 (以 228 號(hào)點(diǎn)為固定點(diǎn)，以 228227的方向?yàn)槠鹗挤较?)，而異步環(huán)基線向量數(shù)不同的情況下，得出的各點(diǎn)的誤差如表 4 1 所示 . 圖 31 圖 32 點(diǎn)名 網(wǎng)形一 網(wǎng)形二 Mx(cm) My(cm) M（ cm） Mx(cm) My(cm) M（ cm） 211 213 216 1. 15 218 220 226 227 249 244 245 3 247 1 .14 228 2 GPS 網(wǎng)平差基本觀測(cè) A 的選取對(duì)精度的影響 作為網(wǎng)平差觀測(cè)值的基線向量既包括獨(dú)立的基線向量，也包括和獨(dú)立基線向量相關(guān)的基線向量，原則上都可以參與平差計(jì)算，基本觀測(cè)量的選取 是否會(huì)對(duì)網(wǎng)點(diǎn)的精度產(chǎn)生影響 ?設(shè)整個(gè)網(wǎng)有 n 個(gè)觀測(cè)值 L，其中有 1n 個(gè) 2L 為函數(shù)獨(dú)立的觀測(cè)值， 2n 個(gè) 2L 與 1L 函數(shù)相關(guān)的觀測(cè)值，從而使平差模型變?yōu)榫哂邢嚓P(guān)觀測(cè)值的平 32 差問題，觀測(cè)值 L表示為 : ? ? 1221 BLLLLL TTT ?? ， （ 33） 觀測(cè)值的協(xié)因數(shù)陣為： ??????? 2221 1211 Q (34) 誤差方程 LXAV ?? ? 在最小二乘準(zhǔn)則下 : ? ? LQAQAAX TT ??? 1? (35) ? ? 1?? ??? AQAQ TXX (36) 單位權(quán)方差的無偏估計(jì)量為 : fVQV T /?0 ??? (37) f為自由度， t 為必要觀測(cè)數(shù) : ? ? ? ? tnARQRf ???? 1 （ 38） 將廣義逆分解為特殊逆 :