【導讀】本、最高的效率達到最優(yōu)的目標。本文通過一系列的分析，對GPS控。制網的優(yōu)化方法進行分析，說明可行性。徑方法生成觀測方案?？铡⑦M行全方位實時三位導航與定位能力的新一代衛(wèi)星導航與定位系統(tǒng)。殼運動學等多種學科，從而給測繪領域帶來了一場深刻的技術變革。

　　

【正文】 （ 2416） 上式中的 iR 為第 i 條基線 向量三個坐標分量的多余分量主子塊陣， 在無需 顧及方向的前提下，可按下式來求出單條基線向量可發(fā)現(xiàn)粗差的下界值 : 2020200 lzlylxl ??????? （ 2417） 它是一種平均意義下的定義，即假設某條基線在空間各方向上可發(fā)現(xiàn)的粗差的下界值是相等的，因此單條基線向量可發(fā)現(xiàn)粗差的下界域也是一個球形域。若假設某基線向量的各分量是等權的，則 ( 2412 )式可以變?yōu)?: xiiilx rR ?? /0?? （ 2418） 為了比較各種不同精度的觀測值之間發(fā)現(xiàn)粗差能力的差別，將上式中的觀測精度口 i? 去掉，得到的無量綱的內部可靠性指標與文獻的內部可靠性指標完全等價，這說明若將基線觀測分量作為觀測值，可以得到與常規(guī)網一樣的內部可靠性指標。 3 GPS 網的外部可靠性 外可靠性是指不可發(fā)現(xiàn)的最大模型誤差對平差結果的影響，一般將這種模型誤差對平差未知數(shù)的影響長度定義為外部可靠性指標。在 ( 245 )的數(shù)學模型下， 外部可靠性可表述如下 : ? ? ? ? ? ? ? ?SPS SPPSSSXSSSTSSSST ????? 00 || ?? （ 2419） 式 中 : PHHP TSS ? 類似于內部可靠性的討論 ,可求得一個基線向量在三個坐標分量方向上的外部可靠性指標為 : 27 ??????????????????????????11139。0039。0039。00zzzzyyyyxxxxrPrPrP?????? （ 2420） 式中， zzyyxx PPP ?????? , 分別是該基線向量的權陣中的對角元素， 同樣，定義一個基線向量平 均意義下的外部可靠性指標為 : 2020200 zyxb ???? ??? 4 控制網可靠性的一些性質 矩陣 PANAIR T?? 為可靠性矩陣，內部可靠性和外部可靠性都由其決定， 通過對它的分析，可以得到以下一些性質 : (1)tr(R)=r 二其中 r為多余觀測數(shù)，對于有 m個點， n條基線的 GPS網，則 nmr 33 ?? ； (2)R 的對角元素滿足 : 10, ????? iinli ii rrr； (3)對于某個觀測值 il 而言，其可靠性權陣 iR 與自身的精度權陣 iP 成反比， 而與其它觀測值 jl 的權陣 iP 成正比 ； (4)增加新觀測值，既能提高其它原有觀測值的可靠性，又能提高網的總體可靠性 ； (5)衡量網的可靠性的準則，不僅取決于多余觀測數(shù)值，也取決于各觀測值的可靠性權陣分配是否均勻。 28 3 GPS 控制網優(yōu)化設計 GPS 網優(yōu)化設 計的數(shù)學模型 (1) 常規(guī)網的優(yōu)化設計模型 我們做任何一項工作時，總是希望在所有可行的方案中選擇一種某種意義上最優(yōu)的方案，這就是最優(yōu)化設計問題，數(shù)學上的優(yōu)化設計可以用以下的函數(shù)模型來表示 : ? ? ? ?? ?? ? niXH pjXGEXXFijn,2,10,2,10m in???????? （ 31） 式中 ? ?TnxxxX , 21 ??? 為設計變量，可以由設計人員調整，其不同的取值 表示 不同的設計方案，是優(yōu)化設計問題中最終要確定的變量。 ???F 為設計變量的函數(shù)，稱為目標函 數(shù)，其函數(shù)值的大小決定了設計方案的好壞，也稱為優(yōu)化設計的準則矩陣 。 ? ?XGj 不等式約束條件， ? ?XHj 為 等式約束條件，統(tǒng)稱為約束條件。約束條件是為了確保設計方案能夠滿足使用上的要求而建立的，以使設計方案最終是確實可行的。滿足約束條件的所有設計變量組成的集合稱為可行域，可行域內的每一個點所代表的方案都是可行的。 數(shù)學最優(yōu)模型應用到測量控制網中，用數(shù)學語言可以描述如下， ? ? ? ???? ??? ?? XHnmPAst ERP ，或,m in ?? （ 32） 其中 ERP , 分別為精度、可靠性、經濟指標， PA, 分別為圖形矩陣和權矩陣， nm, 分別為未知數(shù)個數(shù)和觀測值個數(shù)， ? ?XH 限制條件函數(shù)， ??、 為常數(shù)。 (3 2)即顧及精度、可靠性、經濟性等綜合指標的大地控制網優(yōu)化設計的數(shù)學模型。按照 Grafraend 提出的，目前國際上廣泛采用的分類方法，控制網的優(yōu)化設計分為以下幾個階段 : (1)零階段設計問題 (或稱基準選擇問題 )，對一個已知圖形結構和觀測計劃的自由網，為控制網點的坐標及其方差陣選擇一個最優(yōu)的坐標系。即在己知設計矩陣 A和觀測值權陣 P 的條件下，確定網點的坐標向量 X及其協(xié)因數(shù)陣 XXQ ， 使X的目標函數(shù)達到極值，因此，零階段設計問題就是一個平差問題； 29 (2) 一階段設計問題 (或稱圖形設計問題 )，即在已知觀測值的權陣 P的條件下，確定設計矩陣 A，使網中某些元素的精度達到預 定值或最高精度，或者使坐標的協(xié)因數(shù)陣最佳逼近某個給定的矩陣 39。XXQ (準則矩陣 )； (3)二階段設計問題 (或稱觀測值權的分配問題 ),即已知設計矩陣 A，確定觀測值的權陣 P，使網的精度 (整體精度或局部精度 )達到預定值或最高精度； (4)三階段設計 (或稱為網的改造或加密方案的設計問題 )，通過增加新點和新的觀測值，以改善網的質量。在給定的改善質量前提下，使改造測量工作量最小?；蛘咴诟脑熨M用一定的條件下，使改造方案的效果最佳。 以上各階段的設計既相互區(qū)別，義是相互聯(lián)系的， 如三階段設計問題可以看成是一階段和二階段設計問題的混合，各階段設計問題的己 知量與設計量之間的變換關系可以用下表來表示 : 類 別 已知量 設計變量 零階段設計 PA, XXQX, 一階段設計 XXQP, A 二階段設計 XXQA, P 三階段設計 XXQ PA, 2 GPS 網的優(yōu)化設計 具體到 GPS 控制網 ,其數(shù)學模型與常規(guī)大地測量控制網一樣采用 (3 2)式，其優(yōu)化設計步驟也可以按上述的四個階段逐步優(yōu)化，但是，應該和常規(guī)網有所區(qū)別 : GPS 網平差廣泛采用的方法是在 WGS84 空間直角坐標系中進行無約束條件的平差，然后將平差后的坐標及其協(xié)因數(shù)陣轉換到高斯平面上，再在平面上建立坐標轉換模型，根據 GPS 網和地面網的公共點的坐標及坐標約束條件。求解轉換參數(shù)，然后將 GPS 點坐標及相 關的精度信息，根據轉換模型一次性轉換到國家或地方坐標系下。若只固定一個點和一個已知方位，這稱為無約束條件的 GPS網平差，若固定點的個數(shù)在兩個以上，則稱為約束條件的 GPS 網平差。前者最大限度地保留了 GPS技術高精度的特點，但地面公共點的坐標發(fā)生了變化，后者雖然可保持約束點的坐標不變，但約束平差后 G P S 網的尺度保持了常規(guī)網的尺度，其度可能是虛假的，特別是當約束點中存在較大誤差或顯著位移時。選擇哪種平 30 差法應根據建網的目的來考慮，當對城市控制網進行新建或大規(guī)模地擴建時，應選擇無約束條件的網平差模型，當對原有地面 網局部加密時。應采用約束轉換。而對于工程控制網，大多采用無約束條件的網平差，以保持網的較高精度，如隧道網，它一般選擇洞口點作為基準點，橋梁控制網，則選擇其主軸線作為基準方向，軸線的某一端點作為基準點 ??51 ，對于變形監(jiān)測網一般采用自由網平差或擬穩(wěn)基準。故對于基準條件的選取受網的用途和目的的限制，其選擇的自由度不大，故對于零階段優(yōu)化設計沒有多大的實際意義，但要注意基準的選擇引起 GPS 網點位誤差變化的規(guī)律。 控制網優(yōu)化設計的方法有許多種，目前廣泛采用的方法主要是解析法(AnalyticalMethod )和機助模擬法 (Computer Aided Simulative Method ) ，解析法是通過建立優(yōu)化設計的數(shù)學模型，包括目標函數(shù)和約束條件 .選擇一種優(yōu)算法 ,求出問 題的最優(yōu)解 。機助模擬法則是將電子計算機的計算功能和判別能力同設計者的知識和經驗結合起來，通過一個憑經驗擬訂的初始觀測方案，進行分析計算，求出各項質量指標，并對設計方案進行不斷的修改，直到滿足設計者的要求為止的一種方法。 對于 GPS 控制網，由于解析法優(yōu)化設計模型比較復雜，難以解出可行解，目前編制出的 控制網的優(yōu)化設計軟件一般都采用模擬法，需要指出的是模擬法的最終結果相對于解析法而言，在嚴格的數(shù)學意義上并非最優(yōu)，而只是一種相對最優(yōu)，下面將模擬一小型 GPS 網，在顧及精度和可靠性的準則下，對 GPS 網的優(yōu)化設計進行探討。 一階段優(yōu)化設計 1點位的移動及異步環(huán)的數(shù)盆對精度和可靠性的影響 一階段設計即 GPS網形設計，主要是指在控制點的個數(shù)。多余觀測數(shù)大致確定的情況下，設計出最優(yōu)的網形，以使整個控制網具有較好的精度和可靠性。 在常規(guī)測量中，點位的位置移動對精度和可靠性的影響較大，主要原因是點位的移動將改變傳 遞三角形的角度，從而會改變點位誤差橢圓的大小和方向，如三角網布網時就規(guī)定傳遞三角形的角度一般不得小于 30 度。而 GPS 觀測類似于水準測量，只要不改變點間的連接方式，其誤差方程就不會改變 (即圖形矩陣 A不變 )，點位的移動對權陣 p會不會有影響呢 ?GPS 基線向量的精度估算公式 (32 1)對基線長度微分得 : iii dSSbd 22 2?? (321) 在上式中，取 s=20km ,ds=1km ,b=2ppm，計算出 ?iid ?? ，在進行精 度估算時其變化量完全可以忽略，對于采用廠商提供的類似的標稱精度公式 : 31 ? ?kmSbai ???? 來估算基線標準差的情況，同樣可以證明由點位移動而引起基線標準差的變化量將會更小 ,所以，在不改變 GPS 邊的連接關系的情況下，僅對點的平面位置進行小范圍的調節(jié)是不會改變網的精度和可靠性的 . 控制網網點的個數(shù)固定的情況下，異步環(huán)個數(shù)的改變是否會對網的精度和可靠性產生影響 。 規(guī)范中沒有明確規(guī)定異步環(huán)中獨立邊長的數(shù)目，但在城市控制網的技術設計中一般說明異步環(huán)最多不能超過 6 條邊，下面將以實例來分析 :如圖 31 、圖 32為某模擬的 GPS控制網，采用單頻接收機觀測 (10m m+2ppm )， 平均邊長約 20 公里，在相同的基準條件下 (以 228 號點為固定點，以 228227的方向為起始方向 )，而異步環(huán)基線向量數(shù)不同的情況下，得出的各點的誤差如表 4 1 所示 . 圖 31 圖 32 點名 網形一 網形二 Mx(cm) My(cm) M（ cm） Mx(cm) My(cm) M（ cm） 211 213 216 1. 15 218 220 226 227 249 244 245 3 247 1 .14 228 2 GPS 網平差基本觀測 A 的選取對精度的影響 作為網平差觀測值的基線向量既包括獨立的基線向量，也包括和獨立基線向量相關的基線向量，原則上都可以參與平差計算，基本觀測量的選取 是否會對網點的精度產生影響 ?設整個網有 n 個觀測值 L，其中有 1n 個 2L 為函數(shù)獨立的觀測值， 2n 個 2L 與 1L 函數(shù)相關的觀測值，從而使平差模型變?yōu)榫哂邢嚓P觀測值的平 32 差問題，觀測值 L表示為 : ? ? 1221 BLLLLL TTT ?? ， （ 33） 觀測值的協(xié)因數(shù)陣為： ??????? 2221 1211 Q (34) 誤差方程 LXAV ?? ? 在最小二乘準則下 : ? ? LQAQAAX TT ??? 1? (35) ? ? 1?? ??? AQAQ TXX (36) 單位權方差的無偏估計量為 : fVQV T /?0 ??? (37) f為自由度， t 為必要觀測數(shù) : ? ? ? ? tnARQRf ???? 1 （ 38） 將廣義逆分解為特殊逆 :