【導(dǎo)讀】By,assoicitemember,ASCE,and.,limit-equilibriummethod.limit-equilibriummethod,noteventhesocalled“rigorous”solut

　　

【正文】 找到，因?yàn)樗陌踩驍?shù) 最小。在極限平衡法的發(fā)展過程中，要努力去做的是怎么降低通過內(nèi)力假設(shè)的不確定性。但是，沒有一種解的得來(lái)是建立在這樣的極限分析法的基礎(chǔ)上，甚至在嚴(yán)格的力學(xué)意義上講，它都不算一個(gè)嚴(yán)密的解。在極限平衡法中，平衡方程 并不是對(duì)土體的每一點(diǎn)都適用的。另外，在典型的假定滑動(dòng)面方法中，流動(dòng)法則是不滿足的，同樣，協(xié)調(diào)性條件和破壞前的本構(gòu)關(guān)系也是不滿足的。 極限分析法充分利用了邊界理論，得出了相對(duì)應(yīng)用于上下邊界的兩個(gè)嚴(yán)密的解。極限分析法在以下兩種意義上是嚴(yán)密的，一是土體在外加荷載作用下的平衡，下邊界解所對(duì)應(yīng)的應(yīng)力場(chǎng)；二是與外加位移相協(xié)調(diào)，上邊界所對(duì)應(yīng)的速度場(chǎng)。就簡(jiǎn)單而言，下邊界荷載作用下，滑動(dòng)不會(huì)發(fā)生，但是如果下邊界受到外加荷載的作用，則滑動(dòng)可能立即發(fā)生。同樣，在上邊界作用外加荷載，滑坡也會(huì)立即發(fā)生。通過尋找下邊界的最大可能解和上 邊界的最小可能解，真實(shí)解存在于他們之間的范圍內(nèi)。對(duì)于土坡穩(wěn)定性問題，給定土體的性質(zhì)或幾何尺寸的基礎(chǔ)上，知道土坡發(fā)生滑動(dòng)的臨界高度和發(fā)生部分滑坡的臨界荷載才能得出解來(lái)。在過去，對(duì)于土坡穩(wěn)定性的應(yīng)用，大多數(shù)研究工作都集中在上邊界法上，這是因?yàn)橥ㄟ^求解下邊界適合靜態(tài)允許應(yīng)力場(chǎng)方程的解是一項(xiàng)很困難的任務(wù)。大多數(shù)先前的工作都基于總應(yīng)力之上。對(duì)于有效應(yīng)力的分析，考慮孔隙水壓力的作用是很有必要的。在極限平衡法中，孔隙水壓力是通過限定一個(gè)地下水表面和一個(gè)可能的流動(dòng)網(wǎng)或者通過一個(gè)孔隙水壓力比率模擬地下水條件推測(cè)出來(lái)的。相似的 方法可以用于明確說(shuō)明孔隙水壓力作用下的極限分析。 在大量的實(shí)踐中，孔隙水壓力的影響被看作集中考慮在土坡穩(wěn)定性問題的上邊界解上。 Miller 和 Hamilton 兩人實(shí)驗(yàn)出了兩種力學(xué)破壞類型：（ 1）剛體旋轉(zhuǎn)；（ 2）剛體旋轉(zhuǎn)和持續(xù)變形相結(jié)合?？紫端畨毫Ρ患俣ǔ闪黧w靜力學(xué)下的一個(gè)拋物線型的自由水表面，盡管他們的研究得出了正確的答案，但是，從物理學(xué)上解釋他們的研究，在能量消散上是有爭(zhēng)議的。在他們的理論中，孔隙水壓力被看作是內(nèi)力，在給定的滑坡機(jī)理下，它對(duì)降低內(nèi)部能量消散是有影響的。孔隙水壓力也可以看作是一種外力。在 Michalowsk 的研究中，假設(shè)剛體是沿著螺旋線破壞的?？紫端畨毫Ρ豢紤]用孔隙水壓力比來(lái)表示： /ur u z?? 這里， u 是孔隙水壓力； ? 是沙土的比重； z 是土體表面以下的深度。它表示孔隙水壓力在內(nèi)部摩擦力等于零時(shí)的分析沒有影響，這就證實(shí)了用總應(yīng)力分析時(shí) 0?? 。在另一項(xiàng)研究中，除了用不同形狀的破裂面結(jié)合分塊分析法時(shí)， Michalowski 秉承了相同的方法。當(dāng)這種努力結(jié)合孔隙水壓力作用在土坡上邊界的影響中，作者沒有意識(shí)到就有效應(yīng)力而言有任何的下邊界極限分析要做。這可能因?yàn)樵诳紤]孔隙水壓力的情況下，構(gòu)造靜態(tài)允許應(yīng)力場(chǎng)的難度增大。 這篇文章的目的有兩個(gè)：（ 1）就有效應(yīng)力而言，為土坡在孔隙水壓力作用下的極限分析提出了一個(gè)有限元的公式；（ 2）通過比較Bishop的上下邊界解來(lái)核實(shí)土坡穩(wěn)定性分析方法在被 Bishop簡(jiǎn)化的極限平衡法所得的解與簡(jiǎn)單坡中 不考慮孔隙水壓力作用，上下 邊界所得的解相比較。在這篇文章中，在平面應(yīng)變條件下，上下邊界的極限分析是要考慮孔隙水壓力影響的。 Slon 和 Kleenman 在考慮了上邊界和下邊界的情況下，利用了三點(diǎn)構(gòu)成的三邊線性代數(shù)的方法將孔隙水壓力計(jì)算出來(lái)的。為了模仿應(yīng)力場(chǎng)和速度場(chǎng)，由三點(diǎn)組成的三邊線性元素就要被利用。公認(rèn)的力學(xué)理論包括剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)和持續(xù)變形。就分點(diǎn)的應(yīng)力和孔隙水壓力或者速度而言，用平衡方程、協(xié)調(diào)條件、流動(dòng)法則、屈服準(zhǔn)則、邊界條件的線性代數(shù)等式來(lái)表達(dá)，那么，求解最佳上下邊界是在幾個(gè)簡(jiǎn)單土坡的構(gòu)造和地下水形式下被考慮的，解是以諾莫圖的形式給出 。 孔隙水壓力作用下的極限分析： 極限分析用了屈服準(zhǔn)則和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系：土體在流動(dòng)法則下假設(shè)成一個(gè)理想的塑性體。在這個(gè)理想的塑性體假設(shè)表明了可能的應(yīng)力狀態(tài)形式： 39。( ) 0ijF? ? (1) 這里， F 是應(yīng)變函數(shù)， 39。ij? 是有效應(yīng)力張量。 通過假設(shè)應(yīng)變函數(shù) F 配合塑性體潛在的應(yīng)變函數(shù) G，用伴隨的流動(dòng)法則來(lái)定義塑性體應(yīng)變率，塑性應(yīng)變率可以從中得出： 39。39。Pij ij ijGF? ? ??????? (2) 這里， ? 是非負(fù)的塑性比值，也就是當(dāng)發(fā)生塑性變形時(shí)的正直。 等式（ 2）通常被認(rèn)為是常態(tài)條件，就表面當(dāng)量而言，塑性應(yīng)變率的方向關(guān)系是垂直的。理想的塑性體伴隨著流動(dòng)法則是一個(gè)合理的假設(shè)，如果考慮荷載下伴隨非常大的位移。另外，理論研究表明，不管有沒有流動(dòng)法則的存在，當(dāng)土體沒有受到嚴(yán)重的受壓，土坡的坍塌荷載是很不敏感的。 內(nèi)部作用法則： 上邊界和下邊界原理都建立在內(nèi)部作用原則的基礎(chǔ)上，在發(fā)生坍塌前，給定了假設(shè)的小變形，內(nèi)部作用等式是可以運(yùn)用的，并且可以用以下的關(guān)系來(lái)表達(dá)： 39。()A B A B A Bi i i i ij ijs V VABij ij ijVT v d S X v d V d Vp d V??? ? ??????? ? ?? (3) 或者 39。A B A B Bi i i i ij ijS V VT v dS X v dV dV????? ? ? (4) 這里， AiT 是邊界荷載； AijX? 是不包括滲透量和浮力的自重 AijX 是 包括滲透量和浮力的自重； Aij? 是在 AiT 和 AijX? 平衡下的總應(yīng)力張量； 39。Aij? 是在 AiT和 AijX 平衡下的有效應(yīng)力張量；ij?是 Kronecker 增量； P 是孔隙水壓力；Bij? 是與速度場(chǎng) Biv 一致的應(yīng)變率張量。 不需要用任何特殊的方式通過（ 3）式和（ 4）式把 Aij? ,AiT 和 AijX? 聯(lián)系在一起。在（ 3）式和（ 4）式的左邊代表外部作用比率，而（ 3）式（ 4）式右邊代表外部能量消散比率，通過假設(shè)外加荷載的應(yīng)力場(chǎng)和假設(shè) 應(yīng)變的速度場(chǎng)，（ 3）式和（ 4）式之間的區(qū)別在于組成有效 孔隙水壓力的形式不同。（ 3）式中，孔隙水壓力被認(rèn)為是內(nèi)力，它減少了內(nèi)部的能量消散，而在（ 4）式中，孔隙水壓力被認(rèn)為是外力。 通過充分利用常態(tài)條件，顯而易見的是彈性應(yīng)力和應(yīng)變對(duì)坍塌荷載沒有影響，即： ij? = Pij? .也就是說(shuō)，只有在塑性體流動(dòng)時(shí)，塑性變形才發(fā)生。假設(shè)剛體是理想的塑性體，用一個(gè)簡(jiǎn)單的極限分析去解決穩(wěn)定性問題是沒有嚴(yán)格損失的。 下邊界理論： 如果土體內(nèi)的應(yīng)力場(chǎng)是穩(wěn)定的，靜態(tài)允許的，那么坍塌不會(huì)發(fā)生，也就是說(shuō)，真實(shí)的坍塌荷載一定比計(jì)算荷載要大。 這里可以用內(nèi)部作用等式的形式來(lái)表示，由（ 3）式得： 39。()L L L Li i i i ij ij ij ij ijS V V VT v d S X v d V d V p d V? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ()ij ij ijVVD d V d V? ? ????? (5) 這里 Lij? 是不包括滲透量和浮力的自重與摩擦力平衡時(shí)的靜態(tài)允許應(yīng)力。 ij? 是真實(shí)的應(yīng)力， ij? 是真實(shí)的應(yīng)變率， iv 是速度場(chǎng)。 在（ 5）式中，不等式的成立是由于最大塑性消散原則，根據(jù)在真實(shí)應(yīng)變率場(chǎng)下的真實(shí)坍塌應(yīng)力場(chǎng)得出的內(nèi)部作用比率總是比在真實(shí)應(yīng)變率場(chǎng)下而引起坍塌的應(yīng)力場(chǎng)得出的比率要大而得出。在（ 5）式中， 只有平衡條件和應(yīng)力邊界條件是滿足的，流動(dòng)法則和速度邊界條件是不計(jì)算在內(nèi)的，對(duì)于真實(shí) 的坍塌荷載，最佳的下邊界是通過分析不同的 靜態(tài)允許應(yīng)力場(chǎng)試驗(yàn)而得出的。