【導(dǎo)讀】典型例題兩大部分來(lái)體現(xiàn)。又分為基礎(chǔ)班、強(qiáng)化班和沖刺班三個(gè)階段。這次基礎(chǔ)班偏重于基本概念和基本方法以。設(shè)D是一個(gè)非空的實(shí)數(shù)集，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)規(guī)則f，對(duì)每一個(gè)Dx?，都能對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)y，則這。，稱x為函數(shù)的自變量，y為函數(shù)的因變量或函數(shù)值，如果自變量在定義域內(nèi)不同的值，函數(shù)不能用同一個(gè)表達(dá)式表示，而要用兩個(gè)或兩個(gè)以上的表達(dá)式來(lái)表示。這類函數(shù)稱為分段函數(shù)。在分段點(diǎn)處的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)等問(wèn)題時(shí)，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導(dǎo)數(shù)，需要強(qiáng)調(diào)：。稱為隱函數(shù)，有些隱函數(shù)可以化為顯函。，，而有些隱函數(shù)則不能化為顯函數(shù)。關(guān)于基本初等函數(shù)的概念，性質(zhì)及其圖象非常重要，影響深遠(yuǎn)。由基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算和復(fù)合所構(gòu)成的用一個(gè)分析表達(dá)式表示的函數(shù)稱為初等函數(shù)。由此可見(jiàn)，周期函數(shù)有無(wú)窮多個(gè)周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。

　　

【正文】 下載站 精華 匯 集 隨心所 取 35 ? ? xxx tans ecs ec ?? xdxxxd tans ecs ec ? ? ? xxx c o tc s cc s c ??? xdxxxd c o tc s cc s c ?? ? ? axxa ln1log ?? ? ?1,0 ?? aa axdxxda lnlog ? ? ?1,0 ?? aa ? ? xx 1ln ?? dxxxd 1ln ? ? ? aaa xx ln?? ? ?1,0 ?? aa adxada xx ln? ? ?1,0 ?? aa ? ? xx ee ?? dxede xx ? ? ?211arc s in xx ??? dxxxd211a r c s in ?? ? ?211a r c c os xx ???? dxxxd211a r c c o s ??? ? ?21 1arc tan xx ??? dxxxd21 1a r c ta n ?? ? ?21 1c o t xxarc ???? dxxxdarc21 1c o t ??? ? ?? ?22221ln axaxx ????? ? ? dxaxaxxd22221ln ???? ? ?? ?22221ln axaxx ????? ? ? dxaxaxxd22221ln ???? 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 36 2．四則運(yùn)算法則 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xgxfxgxf ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxgxfxgxf ?????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xg xgxfxgxfxg xf 2 ??????????? ??? ?0?xg ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xdgxdfxgxfd ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdgxfxdfxgxgxfd ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xg xdgxfxdfxgxg xfd 2???????? ??? ?0?xg 3．復(fù)合函數(shù)運(yùn)算 法則 設(shè) ? ?ufy? ， ? ?xu ?? ，如果 ??x? 在 x 處可導(dǎo)， ??uf 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) u 處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù) ? ?? ?xfy ?? 在 x 處可導(dǎo)，且有 ? ?? ? ? ?xxfdxdududydxdy ?? ???? 對(duì)應(yīng)地 ? ? ? ?? ? ? ?dxxxfduufdy ?? ????? 由于公式 ? ?duufdy ?? 不管 u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。 4．由參數(shù)方程確定函數(shù)的運(yùn)算法則 設(shè) ??tx ?? ， ??ty ?? 確定函數(shù) ? ?xyy? ，其中 ??t?? ， ??t?? 存在，且 ?? 0??t? ，則 ????ttdxdy ????? ??? ?0??t? 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 37 二階導(dǎo)數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?322 1tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd????????????????????????????? 5．反函數(shù)求導(dǎo)法則 設(shè) ? ?xfy? 的反函數(shù) ? ?ygx? ，兩者皆可導(dǎo)，且 ? ? 0??xf 則 ? ? ? ? ? ?? ?ygfxfyg ????? 11 ??? ?0??xf 二階導(dǎo)數(shù) ? ? ? ?? ? ? ?dxdydxxfddyygdyg 11??????? ?????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?33 ygf ygfxf xf ?????????? ??? ?0??xf 6．隱函數(shù)運(yùn)算法則 設(shè) ? ?xyy? 是由方程 ? ? 0, ?yxF 所確定，求 y? 的方法如下： 把 ? ? 0, ?yxF 兩邊的各項(xiàng)對(duì) x 求導(dǎo)，把 y 看作中間變量，用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式計(jì)算，然后再解出 y? 的表達(dá)式（允許出現(xiàn) y 變量） 例： 122 ??yx ， 022 ???? yyx ，yxy ??? ? ?0?y 7．對(duì)數(shù)求導(dǎo)法則 先對(duì)所給函數(shù)式的兩邊取對(duì)數(shù)，然后再用隱函數(shù)求導(dǎo)方法得出導(dǎo)數(shù) y? 。 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 38 對(duì)數(shù)求導(dǎo)法主要用于： ①冪指函數(shù)求導(dǎo)數(shù) ②多個(gè)函數(shù)連乘除或開(kāi)方求導(dǎo)數(shù) 關(guān)于冪指函數(shù) ? ?? ? ? ?xgxfy? 常用的一種方法 ? ? ? ?xfxgey ln? 這樣就可以直接用復(fù)合函數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行。 關(guān)于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，常常要先討論它的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)。 乙 典型例題 一．用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù) 例 1．設(shè) ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在點(diǎn) a 處連續(xù)，求 ??af? 。 解： ?沒(méi)有假設(shè) ??xg 可導(dǎo)，所以不能用導(dǎo)數(shù)的乘法公式，我們就用導(dǎo)數(shù)的定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ax xgaxax afxfafaxax ? ??????? ?? 0l iml im ? ? ? ?agxgax ?? ?lim 例 2．設(shè) ? ? ? ? axaxxf nn ??? （ n 為正整數(shù)），求 ??af? 例 3．設(shè) ? ?xf ， ??xg 在 ? ????? , 內(nèi)有定義，且滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgyfygxfyxf ??? ， ? ? 00 ?f ， ?? 10?g ，? ? af ??0 ， ? ? bg ??0 ，其中 ba, 為常數(shù)，求 ??xf? 。 二．分段函數(shù)在分段點(diǎn)處可導(dǎo)性 例 1．討論函數(shù) ? ? ??? ?????? 00xx xxxxfy 在 00?x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 39 解：函數(shù) ? ? xxfy ?? 在 00?x 處連續(xù)，因?yàn)?? ? 00 ?f ， ? ? ? ? 0limlim00 ??? ?? ?? xxf xx ? ? 0limlim00 ?? ?? ?? xxf xx 則 ? ? 00lim0 ??? fxx 但是，在 00?x 處 ??xf 沒(méi)有導(dǎo)數(shù)，因?yàn)? ? ? xxxyfxx ??????????? ?????00limlim000 1limlim00 ??????????? ???? xxxxxx ? ? xxxyfxx ??????????? ?????00limlim000 1limlim00 ????????? ???? xxxxxx ? ? ? ?00 ?? ??? ff 曲線 xy? 在原點(diǎn)的切線不存在。（見(jiàn)上圖） 例 2．討論函數(shù) ? ? 3 2?? xxf 在點(diǎn) 2?x 處的連續(xù)性與可導(dǎo)性。 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 40 例 3．設(shè)函數(shù) ? ? ??? ?? ?? 1, 1,2 xbax xxxf 試確定 a 、 b 的值，使 ??xf 在點(diǎn) 1?x 處可導(dǎo)。 例 4．設(shè) ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf 問(wèn) a 和 b 為何值時(shí)， ??xf 可導(dǎo)，且求 ??xf? 。 例 5．設(shè) ? ? ? ?32 ,m ax xxxxf ? ，在 ? ?2,0 內(nèi)求 ??xf? 。 例 6．設(shè) ? ???????????,0 ,0 ,0,0 ,22xexxexfxx ? ? ? ?dttfxxF???? 0，求 ??xF? 。 三．用各種運(yùn)算法則求導(dǎo)數(shù) 1．運(yùn)用四則運(yùn)算和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則 例 1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： （ 1） ? ?22 1ln1 xxxy ???? ； （ 2） 22 1a r c c o sc o t xxy ??? ； （ 3） xxy 2cos1 2sin?? ； 解：（ 1） ? ? ? ? ? ?? ???????????? 2222 1ln11ln1 xxxxxxy ? ????????? ??????????????????? 22222 111111ln1 xxxxxxxxx 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 41 ? ? 11ln1 22 ????? xxxx （ 2） ? ? ? ??????? 22 1ar cco sco t xxy ? ?222 1111c s cc o t2 xxxxx ???????? ???????????? 23 1s inc o s2xxxxx （ 3） ? ?? ? ? ?? ?xx xx xxxy 2c os1 22c os1 2c os122c os1 2s i n22c os12c os2 222??? ??? ?????。 例 2．求下列函數(shù)的微分 （ 1） xey x sin2? ； （ 2） x xxy sincotln ?? ； （ 3） 1lna r c ta n 22 ??? xxy 。 例 3．設(shè) ? ? ? ?? ? ? ?1 0 021 ???? xxxxxf ?，求 ? ?50f? 例 4．設(shè) ??xf 可導(dǎo)， ? ?? ?xfefy arct an? ，求 dxdy 例 5．設(shè) ??xf 可微， ? ? ? ?xfexfy ln? ，求 dy 例 6．設(shè) ??xf 可微， ? ? ? ?? ?xf xfey xf arc tan?，求 dy 最全 、最 新 、完全免費(fèi)的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 42 2．運(yùn)用隱函數(shù)求導(dǎo)法則 例 1．設(shè) ? ?xyy? 由方程 ? ? xyeyx ?? 22a r c ta n 所確定，求 dxdy 和 dy 解 ： 對(duì)方程兩邊關(guān)于 x 求導(dǎo)， y 看作 x 的函數(shù)，按中間變量處理 ? ? ? ? xx exyeyyyxyx 2221 1 222 ??????? ? ? ? ?222222 12212yxxexyeyxyy xx???????????? ???? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? xxxxeyxxxyxxyxyeyxyyxxexyy 2222222222221244112122???????