【導讀】典型例題兩大部分來體現。又分為基礎班、強化班和沖刺班三個階段。這次基礎班偏重于基本概念和基本方法以。設D是一個非空的實數集，如果有一個對應規(guī)則f，對每一個Dx?，都能對應唯一的一個實數y，則這。，稱x為函數的自變量，y為函數的因變量或函數值，如果自變量在定義域內不同的值，函數不能用同一個表達式表示，而要用兩個或兩個以上的表達式來表示。這類函數稱為分段函數。在分段點處的極限、連續(xù)、導數等問題時，必須分別先討論左、右極限，左、右連續(xù)性和左、右導數，需要強調：。稱為隱函數，有些隱函數可以化為顯函。，，而有些隱函數則不能化為顯函數。關于基本初等函數的概念，性質及其圖象非常重要，影響深遠。由基本初等函數經過有限次四則運算和復合所構成的用一個分析表達式表示的函數稱為初等函數。由此可見，周期函數有無窮多個周期，一般我們把其中最小正周期稱為周期。

　　

【正文】 下載站 精華 匯 集 隨心所 取 35 ? ? xxx tans ecs ec ?? xdxxxd tans ecs ec ? ? ? xxx c o tc s cc s c ??? xdxxxd c o tc s cc s c ?? ? ? axxa ln1log ?? ? ?1,0 ?? aa axdxxda lnlog ? ? ?1,0 ?? aa ? ? xx 1ln ?? dxxxd 1ln ? ? ? aaa xx ln?? ? ?1,0 ?? aa adxada xx ln? ? ?1,0 ?? aa ? ? xx ee ?? dxede xx ? ? ?211arc s in xx ??? dxxxd211a r c s in ?? ? ?211a r c c os xx ???? dxxxd211a r c c o s ??? ? ?21 1arc tan xx ??? dxxxd21 1a r c ta n ?? ? ?21 1c o t xxarc ???? dxxxdarc21 1c o t ??? ? ?? ?22221ln axaxx ????? ? ? dxaxaxxd22221ln ???? ? ?? ?22221ln axaxx ????? ? ? dxaxaxxd22221ln ???? 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 36 2．四則運算法則 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xgxfxgxf ?????? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgxfxgxfxgxf ?????? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xg xgxfxgxfxg xf 2 ??????????? ??? ?0?xg ? ? ? ?? ? ? ? ? ?xdgxdfxgxfd ??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xdgxfxdfxgxgxfd ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?xg xdgxfxdfxgxg xfd 2???????? ??? ?0?xg 3．復合函數運算 法則 設 ? ?ufy? ， ? ?xu ?? ，如果 ??x? 在 x 處可導， ??uf 在對應點 u 處可導，則復合函數 ? ?? ?xfy ?? 在 x 處可導，且有 ? ?? ? ? ?xxfdxdududydxdy ?? ???? 對應地 ? ? ? ?? ? ? ?dxxxfduufdy ?? ????? 由于公式 ? ?duufdy ?? 不管 u 是自變量或中間變量都成立。因此稱為一階微分形式不變性。 4．由參數方程確定函數的運算法則 設 ??tx ?? ， ??ty ?? 確定函數 ? ?xyy? ，其中 ??t?? ， ??t?? 存在，且 ?? 0??t? ，則 ????ttdxdy ????? ??? ?0??t? 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 37 二階導數 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?322 1tttttdtdxdtdxdyddxdxdyddxyd????????????????????????????? 5．反函數求導法則 設 ? ?xfy? 的反函數 ? ?ygx? ，兩者皆可導，且 ? ? 0??xf 則 ? ? ? ? ? ?? ?ygfxfyg ????? 11 ??? ?0??xf 二階導數 ? ? ? ?? ? ? ?dxdydxxfddyygdyg 11??????? ?????? ? ?? ?? ? ? ?? ?? ?? ?? ?33 ygf ygfxf xf ?????????? ??? ?0??xf 6．隱函數運算法則 設 ? ?xyy? 是由方程 ? ? 0, ?yxF 所確定，求 y? 的方法如下： 把 ? ? 0, ?yxF 兩邊的各項對 x 求導，把 y 看作中間變量，用復合函數求導公式計算，然后再解出 y? 的表達式（允許出現 y 變量） 例： 122 ??yx ， 022 ???? yyx ，yxy ??? ? ?0?y 7．對數求導法則 先對所給函數式的兩邊取對數，然后再用隱函數求導方法得出導數 y? 。 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 38 對數求導法主要用于： ①冪指函數求導數 ②多個函數連乘除或開方求導數 關于冪指函數 ? ?? ? ? ?xgxfy? 常用的一種方法 ? ? ? ?xfxgey ln? 這樣就可以直接用復合函數運算法則進行。 關于分段函數求分段點處的導數，常常要先討論它的左、右兩側的導數。 乙 典型例題 一．用導數定義求導數 例 1．設 ? ? ? ? ? ?xgaxxf ?? ，其中 ??xg 在點 a 處連續(xù)，求 ??af? 。 解： ?沒有假設 ??xg 可導，所以不能用導數的乘法公式，我們就用導數的定義 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?ax xgaxax afxfafaxax ? ??????? ?? 0l iml im ? ? ? ?agxgax ?? ?lim 例 2．設 ? ? ? ? axaxxf nn ??? （ n 為正整數），求 ??af? 例 3．設 ? ?xf ， ??xg 在 ? ????? , 內有定義，且滿足 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?xgyfygxfyxf ??? ， ? ? 00 ?f ， ?? 10?g ，? ? af ??0 ， ? ? bg ??0 ，其中 ba, 為常數，求 ??xf? 。 二．分段函數在分段點處可導性 例 1．討論函數 ? ? ??? ?????? 00xx xxxxfy 在 00?x 處的連續(xù)性與可導性。 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 39 解：函數 ? ? xxfy ?? 在 00?x 處連續(xù)，因為 ? ? 00 ?f ， ? ? ? ? 0limlim00 ??? ?? ?? xxf xx ? ? 0limlim00 ?? ?? ?? xxf xx 則 ? ? 00lim0 ??? fxx 但是，在 00?x 處 ??xf 沒有導數，因為 ? ? xxxyfxx ??????????? ?????00limlim000 1limlim00 ??????????? ???? xxxxxx ? ? xxxyfxx ??????????? ?????00limlim000 1limlim00 ????????? ???? xxxxxx ? ? ? ?00 ?? ??? ff 曲線 xy? 在原點的切線不存在。（見上圖） 例 2．討論函數 ? ? 3 2?? xxf 在點 2?x 處的連續(xù)性與可導性。 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 40 例 3．設函數 ? ? ??? ?? ?? 1, 1,2 xbax xxxf 試確定 a 、 b 的值，使 ??xf 在點 1?x 處可導。 例 4．設 ? ? ? ?? ? 1lim 112 ? ??????? xnxnn ebaxexxf 問 a 和 b 為何值時， ??xf 可導，且求 ??xf? 。 例 5．設 ? ? ? ?32 ,m ax xxxxf ? ，在 ? ?2,0 內求 ??xf? 。 例 6．設 ? ???????????,0 ,0 ,0,0 ,22xexxexfxx ? ? ? ?dttfxxF???? 0，求 ??xF? 。 三．用各種運算法則求導數 1．運用四則運算和復合函數求導法則 例 1．求下列函數的導數： （ 1） ? ?22 1ln1 xxxy ???? ； （ 2） 22 1a r c c o sc o t xxy ??? ； （ 3） xxy 2cos1 2sin?? ； 解：（ 1） ? ? ? ? ? ?? ???????????? 2222 1ln11ln1 xxxxxxy ? ????????? ??????????????????? 22222 111111ln1 xxxxxxxxx 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 41 ? ? 11ln1 22 ????? xxxx （ 2） ? ? ? ??????? 22 1ar cco sco t xxy ? ?222 1111c s cc o t2 xxxxx ???????? ???????????? 23 1s inc o s2xxxxx （ 3） ? ?? ? ? ?? ?xx xx xxxy 2c os1 22c os1 2c os122c os1 2s i n22c os12c os2 222??? ??? ?????。 例 2．求下列函數的微分 （ 1） xey x sin2? ； （ 2） x xxy sincotln ?? ； （ 3） 1lna r c ta n 22 ??? xxy 。 例 3．設 ? ? ? ?? ? ? ?1 0 021 ???? xxxxxf ?，求 ? ?50f? 例 4．設 ??xf 可導， ? ?? ?xfefy arct an? ，求 dxdy 例 5．設 ??xf 可微， ? ? ? ?xfexfy ln? ，求 dy 例 6．設 ??xf 可微， ? ? ? ?? ?xf xfey xf arc tan?，求 dy 最全 、最 新 、完全免費的考試資料下載站 精華 匯 集 隨心所 取 42 2．運用隱函數求導法則 例 1．設 ? ?xyy? 由方程 ? ? xyeyx ?? 22a r c ta n 所確定，求 dxdy 和 dy 解 ： 對方程兩邊關于 x 求導， y 看作 x 的函數，按中間變量處理 ? ? ? ? xx exyeyyyxyx 2221 1 222 ??????? ? ? ? ?222222 12212yxxexyeyxyy xx???????????? ???? ? ?? ?? ?? ?? ?? ? xxxxeyxxxyxxyxyeyxyyxxexyy 2222222222221244112122???????