20xx陳文燈考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指南習(xí)題詳解(理工)-高等數(shù)學(xué)ch3-資料下載頁
2025-08-12 18:50本頁面
【導(dǎo)讀】解.方法一:令tx1?
【正文】 , 所以 ?????? ???????? ???????? ?? 2239。2)( baxbafbafxf 二邊積分 ??? ?????? ???????? ???????? ?? bababa dxbaxbafdxbafdxxf 2239。2)( = ?????? ?? 2)( bafab. 七 . 設(shè) f(x)在 [0, 1]上連續(xù) , 且單調(diào)不增 , 證明 : 任給 ? ? (0, 1), 有 ?? ? 100 )()( dxxfdxxf ?? 證明 : 方法一 : 令 ?? ?? xx dttfdttfxF00 )()()( ??? (或令 ?? ?? x dttfdttfxxF00 )()()( ??) 0)()()(39。 ??? xfxfxF ??? , 所以 F(x)單增 。 又因為 F(0) = 0, 所以 F(1) ? F(0) = 0. 即 0)()( 1010 ?? ?? dttfdttf ???, 即 ?? ? 100 )()( dxxfdxxf ?? 方法二 : 由積分中值定理 , 存在 ??[0, ?], 使 )()(0 ??? fdxxf ??。 由積分中值定理 , 存在 ??[?, 1], 使 )1)(()(1 ??? ??? fdxxf 因為 )()(, ???? ff ?? 所以 . 所以 )1)(()()()()( 21010 ???????? ?? ????? ??? ffdxxfdxxfdxxf ?????? ????????02 )()()1)(()( dxxffff 八 . 設(shè) f(x)在 [a, b]上連續(xù) , )(39。 xf 在 [a, b]內(nèi)存在而且可積 , f(a) = f(b) = 0, 試證 : 17 ?? ba dxxfxf |)(39。|21|)(|, (a x b) 證明 : |)(39。|)(39。|)(39。| xfxfxf ??? , 所以 ?? ???? xaxa dttfafxfdttf |)(39。|)()(|)(39。|, 即 ?? ??? xaxa dttfxfdttf |)(39。|)(|)(39。|。 ?? ???? bxbx dttfxfbfdttf |)(39。|)()(|)(39。| 即 ?? ??? bxbx dttfxfdttf |)(39。|)(|)(39。| 所以 ?? ??? baba dttfxfdttf |)(39。|)(2|)(39。| 即 ?? ba dxxfxf |)(39。|21|)(|, (a x b) 九 . 設(shè) f(x)在 [0, 1]上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù) )(39。39。 xf , 且 0)(0)1()0( ??? xfff ，, 試證 : 4)( )(39。39。10 ?? dxxf xf 證明 : 因為（ 0， 1）上 f(x) ? 0, 可設(shè) f(x) 0 因為 f(0) = f(1) = 0 ?x0 ? (0,1)使 f(x0) =10max??x (f(x)) 所以 dxxf xf?10 )( )(39。39。 dxxfxf ?100 )(39。39。)(1 （ 1） 在（ 0， x0）上用拉格朗日定理 00()(39。 xxff ）?? ),0( 0x?? 在（ x0, 1）上用 拉格朗日定理 001 )()(39。 xxff ???? )1,( 0x?? 所以 )(4)1( )()(39。)(39。)(39。39。)(39。39。)(39。39。000010xfxx xfffdxxfdxxfdxxf???????? ? ??? ?? ?? 18 （因為 abba ?? 2)2( ） 所以 ? ?100 4)(39。39。)(1 dxxfxf 由（ 1）得 ? ?10 4)( )(39。39。 dxxf xf 十 . 設(shè) ],[)( baxf 在 上連續(xù) , 且 ?? ???? baba dxxfabdxxfabxf )(ln1])(1l n [,0)( 則. 解 . 將 tln 在 點 0x 展開 , 得 202020 )(2 1)(1lnln xtxtxxt ????? ? 所以 1ln)(1lnln00000 ?????? xtxxtxxt 令 )(,)(10 xftdxxfabx ba ??? ?, 得 1)(1)()(1ln)(ln ????? ?? baba dxxfabxfdxxfabxf 二邊做定積分 , 得 )()()(1ln)()(ln ababdxxfababdxxf baba ??????? ?? ?? ??? baba dxxfababdxxf )(1ln)()(ln 所以 ?? ??? baba dxxfabdxxfab )(ln1])(1ln [ 十一 . 設(shè) f(x)在 [0, 1]上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù) , 且 f(1)－ f(0) = 1, 試證 : 1)](39。[10 2 ?? dxxf 證明 : ??10 2)](39。[ dxxf 1))0()1(()1)(39。(1)](39。[ 221010 210 2 ????? ??? ffdxxfdxdxxf 十二 . 設(shè)函數(shù) f(x)在 [0, 2]上連續(xù) , 且 ?20 )( dxxf= 0, ?20 )( dxxxf= a 0. 證明 : ? ? ? [0, 2], 使|f(?)| ? a. 解 . 因為 f(x)在 [0, 2]上連續(xù) , 所以 |f(x)|在 [0, 2]上連續(xù) , 所以 ? ? ? [0, 2], 取 ?使 |f(?)| = max 19 |f(x)| (0 ? x ? 2)使 |f(?)| ? |f(x)|. 所以 |)(||1||)(||)(||1||)()1(| 202020 ?? fdxxfdxxfxdxxfxa ??????? ??? 第三章 一元函數(shù)積分學(xué) (廣義積分 ) 一 . 計算下列廣義積分 : (1) ??20 31)1( dxeexx (2) ??? ??0 22 )4)(1(1 dxxx (3) ? ???? ? 232 )1( xdx (4) ?10 )sin(ln dxx (5) ??? ?12 2 11 dxxx (6) dxx x????0 232 )1(arctan 解 . (1) 322231020 31 )1(23)1()1(l i m)1( ?????? ?? ?? edxeeddxeexxxx?? (2) 12411131lim)4)(1( 1 0 220 22 ???????? ?????? ?? ????? bb dxxxdxxx (3) ? ???? ? 232 )1( xdx 因為 1)1( 1lim 2323 ???? xxx, 所以 ? ???0 232 )1( xdx積分收斂 .所以 ? ???? ? 232 )1( xdx =2 txxdx ta n)1(0 232 ??? ?? 令 2co s2s ecs ec2 2020 32 ?? ?? ?? tdtdttt (4) 211))c o s ( l n)s i n ( l n(21lim)s i n ( l nlim)s i n ( l n01010 ????? ?? ?? ?? ???? xxxxdxxdxx (5) 3ta ns e c ta ns e c11 3212 2 ??? ??? ???? dttt ttdxxx (6) 12c o ss e cs e c)1( a r c t a n 2020 320 232 ????? ????? ??? t d ttdttttdxxx
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