換元積分法與分部積分法-資料下載頁(yè)
2025-08-11 09:16本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】設(shè)在上有定義，???常見(jiàn)的湊微分形式有??因此是嚴(yán)格單調(diào)?函數(shù),從而存在反函數(shù)且。fxa22()等類(lèi)型的不定積分上,對(duì)此可分別設(shè)。第二類(lèi)換元積分法常用在),(22xaf?其中sect和tant可借助輔助直角三角形求出.若u與v可導(dǎo),不定積分,d)()(存在??分時(shí),可用分部積分法使xn逐次降冪.定積分時(shí),需要使用升冪法.
【正文】 t a n ,tx?因此可設(shè)解 ( iii ) ,由 于 被 積 函 數(shù) 滿 足 情 形返回 后頁(yè) 前頁(yè) 1. ( , ) d ( 0 )n ax bR x xc x d ad bc?? ??? 型 不 定 積 分,.n ax bt c x d?? ?令 可化為有理函數(shù)的積分四、某些無(wú)理函數(shù)的不定積分 .)2()1(d3 2? ?? xxx求例 7 解 由于 3 23 2 1( 1 ) ( 2 ) ( 2 ) ,2xx x xx???? ? ? ??? ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 3233 3 21 1 2 9, , d d .2 1 ( 1 )x t tt x x tx tt??? ? ?? ??因 此 令 則323 2d 3 1 2dd1 1 1( 1 ) ( 2 )xtt t t txx???? ? ???? ? ? ?????? ? ?221 1 2 3 dln 1 d2 1 2 1324ttttttt?? ? ? ? ??? ??????????21 1 2l n 1 l n ( 1 ) 3 ar c t an2 3tt t t C?? ? ? ? ? ? ? ?返回 后頁(yè) 前頁(yè) 3 33 ln 2 12 xx? ? ? ? ?.)1(d4 3? ? xxx求例 8 4 43dd.1( 1 )xxxxxxx?????解 3 323123 ar c t an .32xx Cx??? ? ??? ?????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 344 4 21 1 4 d, , d ,1 ( 1 )x t tt x xx t t??? ? ???設(shè) 則244d4d11xtttxxx??????22112d11 ttt???????????1l n 2 arc t an1t tCt?? ? ??444111ln 2 ar c t an .11xxxCxxx???? ? ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 型不定積分 22. ( , ) dR x ax bx c x???22224( ) ,124b ac bax bx c a xaa?? ?? ? ? ? ?????由方 于法,44,2 222abackabxu ????若記2a x b x c??則 化為2 2 2 2 2 2( i ) ( ) , ( i i ) ( ) , ( i i i ) ( ) .a u k a u k a k u? ? ?或或時(shí)也可直接化為有理函數(shù)的不定積分 . 可用多種方法化為三角函數(shù)有理式的不定積分 ,有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 因此可分別設(shè)把它們轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)有理式的不定積分 . ( ii ) s e c 。u k t? ?( ii i ) s in .u k t? ?( i ) t a n 。u k t? ?方法 2 (歐拉變換 ) 2( a ) 0, 。a ax bx c t a x? ? ? ? ?若令2( b ) 0 , 。c ax bx c xt c? ? ? ? ?若令2( c ) , ,a x b x c ????若 有兩個(gè)不同實(shí)根 令).(2 ????? xtcbxax返回 后頁(yè) 前頁(yè) .32d2? ?? xxx x求例 9 解 用方法 1: 221dd( 1 ) 4 ( 1 ) 4xuxux x u u???? ? ? ???2 se c 2 sec t an dd( 2 sec 1 ) 2 t an 2 c osu ? ? ? ??? ? ?? ?????2d23xx x x???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22 222t an221dd1 321t tttt tt?? ??? ?????2 arc t an33t C??21ar c t an ( t an ) .233 C???sin t a nt a n2 1 c o s se c 1? ? ???????由于? ? 2 221 23,2 1 1u xxux? ??????返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22d 2 2 3ar c t an .3 3 ( 1 )23x x x Cxx x x????????得22 : 2 3 ,x x x t? ? ? ?用方法 令 則? ? ???? ?2223 2 3, d d ,2 ( 1 ) 2 ( 1 )t t tx x tt t.)1(2 )32()1(2 332222???????????ttttttxx返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22 2 22 ( 1 ) 2 ( 1 ) 2 3 d3 ( 2 3 ) 2 ( 1 )t t t t tt t t t? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ??222d ar c t an3 33ttCt? ? ? ? ???因此 2d23xx x x???22 2 3ar c t an .33x x x C? ? ???返回 后頁(yè) 前頁(yè) 2 2 21 2 ,x x t tx x? ? ? ? ?.1d 2? ??? xxx x求例 10 2 1,x x t x? ? ? ?令則解 注 1 對(duì)于本題來(lái)說(shuō) ,方法 2 顯然比方法 1 簡(jiǎn)捷 . ,d)12( )1(2d 22tt ttx ? ???2 1,21tx t ?? ?但實(shí)質(zhì)上只相差某一常數(shù)而已 . 注 2 由以上兩種方法所得的結(jié)果 , 形式雖不相同 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 22 3 3[ ] d2 1 ( 2 1 ) tt t t? ? ????332 l n l n 2 12 2 ( 2 1 )t t Ct? ? ? ? ??1122ln231ln2 22 ????????? xxxxxx23 .2 ( 2 2 1 1 )Cx x x??? ? ? ?222d 2 2 2 d( 2 1 )1x t t tttx x x????? ? ???從而有 返回 后頁(yè) 前頁(yè) 注 雖然初等函數(shù)都是連續(xù)函數(shù) ,從而它們都存在 22 s in de d , s in d , d ,lnx xxx x x xxx?? ? ? ?都不是初等函數(shù) ,因此都不可能用我們介紹的方 例如 原函數(shù) ,但并非初等函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù) . 法把它們的原函數(shù)求出來(lái)
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