【導(dǎo)讀】D重合，點F在BC上，AB與EF交于點G?！螩=∠EFB=90º，∠E=∠ABC=30º，AB=DE=4。為底的梯形，求此梯形的高。由以上三個等式相加，可得1×2＋2×3＋3×4=31×3×4×5=20。1×2＋2×3＋3×4＋···＋10×11；1×2＋2×3＋3×4＋···＋n×(n＋1)=. 當(dāng)動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動。連接FM、FN，當(dāng)F、N、M不在?？傻谩鱂MN，過△FMN三邊的中點作△PQW。設(shè)動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒。試解答下列問題：。說明△FMN∽△QWP；當(dāng)x在何范圍時，△PQW不為直角三角形？問當(dāng)x為何值時，線段MN最短？同時經(jīng)過B、C兩點，點A是拋物線與x軸的另一個交點。S△PAB，求點P的坐標(biāo)。當(dāng)點P在邊AC上運動時，四邊形BCFE可能是菱形嗎？為直徑的圓交x軸于E，D兩點.若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標(biāo).如果每毫升血液中含藥量不低于2毫克時治療有效，則那么服藥一次，治療疾病的有效時間是多長？

　　

【正文】 ?? ?? ? ? ??? （ 2）如圖 3，設(shè) O1A1 與 CB 相交于點 M， OA 與 C1B1相交于點 N，則矩形 OA1B1C1與矩形 OABC 的重疊部分的面積即為四邊形 DNEM 的面積。 由題意知， DM∥ NE， DN∥ ME， ∴ 四邊形 DNEM 為平行四邊形 根據(jù)軸對稱知， ∠ MED＝ ∠ NED 又 ∠ MDE＝ ∠ NED， ∴∠ MED＝ ∠ MDE， ∴ MD＝ ME， ∴ 平行四邊形 DNEM為菱形 ． 過點 D 作 DH⊥ OA，垂足為 H， 由題易知， tan∠ DEN＝ 12 ， DH＝ 1， ∴ HE＝ 2， 設(shè)菱形 DNEM 的邊長為 a， 則在 Rt△ DHM 中，由勾股定理知 ： 2 2 2(2 ) 1aa? ? ?， ∴ 54a? ∴ S 四邊形 DNEM＝ NE DH＝ 54 DExyC BAO圖 2 圖 3 H NMC 1A 1B 1O 1DE xyCBAO圖 1 DE xyC BAO∴ 矩形 OA1B1C1 與矩形 OABC 的重疊部分的面 積不發(fā)生變化，面積始終為 54． 19.（ 2020廣東 深圳 ） （ 1） 、因為點 A、 B 均在拋物線上，故點 A、 B的坐標(biāo)適合拋物線方程 ∴ 403acac???? ? ??? 解之得： 14ac??? ???；故 2 4yx??為所求 （ 2）如圖 2， 連接 BD，交 y 軸于點 M，則點 M 就是所求作的點 設(shè) BD 的解析式為 y kx b??，則有 203kbkb????? ? ???， 12kb??? ???， 故 BD 的解析式為 2yx??；令 0,x? 則 2y?? ，故 (0, 2)M ? (3)、 如圖 3，連接 AM， BC 交 y 軸于點 N，由（ 2）知， OM=OA=OD=2， 90AMB? ? ? 易知 BN=MN=1， 易求 2 2 , 2A M B M?? 1 2 2 2 22ABMS ? ? ? ?；設(shè) 2( , 4)P x x ? ， 依題意有： 21 4 4 22 AD x ? ? ?，即： 21 4 4 4 22 x? ? ? ? 解之得： 22x?? ， 0x? ，故 符合條件 的 P 點有三個： 1 2 3( 2 2 , 4 ) , ( 2 2 , 4 ) , ( 0 , 4 )P P P?? 20.（ 2020 廣東 深圳 ） （ 1）、如圖 4， OE=5， 2r? ， CH=2 （ 2）、如圖 5，連接 QC、 QD， 則 90CQD? ? ? ， QHC QDC? ? ? 易知 CHP DQP??，故 DP DQPH CH? ， 322DQ? ， 3DQ? ，由于 4CD? ， 3c o s c o s 4QDQ H C Q D C CD? ? ? ? ? ?； （ 3）、 如圖 6，連接 AK， AM，延長 AM， 與圓交于點 G，連接 TG，則 90GTA? ? ? 2 4 90?? ?? ? ? 34? ?? ， 2 3 90??? ?? ? 由于 3 90BKO? ?? ? ?，故， 2BKO? ?? ； 而 1BKO? ?? ，故 12??? 在 AMK? 和 NMA? 中， 12??? ； AMK NMA? ?? 故 AMK NMA? ； xyDABHCEMOF 圖 4 xyNMOP 2 P1BDAP 3C圖 3 MN AMAM MK? 。 即： 2 4M N M K A M?? 故存在常數(shù) a ，始終滿足 MN MK a? 常數(shù) 4a? 21.（ 2020 廣東 珠海 ） .解：（ 1）當(dāng) BD＝ AC＝ 4時，△ PAD是以 AD為底邊的等腰三角形 ∵ P是優(yōu)弧 BAC的中點 ∴弧 PB＝弧 PC ∴ PB＝ PC ∵ BD＝ AC＝ 4 ∠ PBD=∠ PCA ∴△ PBD≌△ PCA ∴ PA=PD 即△ PAD是以 AD為底邊的等腰三角形 （ 2）由（ 1）可知，當(dāng) BD＝ 4時， PD＝ PA， AD＝ ABBD＝ 64＝ 2 過點 P作 PE⊥ AD于 E，則 AE＝ 21 AD=1 ∵∠ PCB=∠ PAD∴ cos∠ PAD=cos∠ PCB= 55?PAAE ∴ PA= 5 22.（ 2020 廣東 珠海 ） 解：（ 1）∠ ABE＝∠ CBD=30176。 在△ ABE中， AB＝ 6 BC=BE= 3430cos ??AB CD=BCtan30176。 =4 ∴ OD=OCCD=2 ∴ B( 34 ， 6) D(0,2) 設(shè) BD所在直線的函數(shù)解析式是 y=kx+b 圖 5 xyPDABHCEMOQF 4 321 xyNTDABHCEMOKGF 圖 6 1 2 634? ??b bk ∴ 233??bk 所以 BD所在直線的函數(shù)解析式是 233 ?? xy (2)∵ EF=EA=ABtan30176。 = 32 ∠ FEG=180176。 ∠ FEB∠ AEB=60176。 又∵ FG⊥ OA ∴ FG＝ EFsin60176。 =3 GE=EFcos60176。 = 3 OG=OAAEGE= 3 又 H為 FG中點 ∴ H（ 3 ， 23 ） ???? 4分 ∵ B( 34 ， 6) 、 D(0,2)、 H（ 3 ， 23 ）在拋物線 cbxaxy ??? 2 圖象上 2333263448???????cbaccba ∴ 23361????cba ∴拋物線的解析式是 23361 2 ??? xxy (2)∵ MP= xxxxx 3 3261)23 361()23 3( 22 ??????? MN=6 xx 334)233( ??? H=MPMN= 4361)3 34()3 3261( 22 ???????? xxxxx 由 04361 2 ???? xx 得 34,32 21 ?? xx 該函數(shù)簡圖如圖所示： 當(dāng) 0x 32 時 ,h0，即 HPMN 當(dāng) x= 32 時， h=0，即 HP=MN 當(dāng) 32 x 34 時， h0，即 HPMN 23.（ 2020 廣東 梅州 ） （ 1）證明 : ∵ EC 平分 ∠ BCA, ∴ ∠ BCE=∠ PCE. ∵ MN BC∥ ， ∴ ∠ PEC=∠ BCE. ∴ ∠ PEC=∠ PCE, ∴ PE=PC. …………2 分 同理可證 PC=PF. ∴ PE=PF. …………………………………3 分 （ 2）四邊形 BCFE 不可能是菱形 . …………………4 分 若 BCFE 為菱形，則 BF EC⊥ ，而由（ 1）可知FC EC⊥ .…………………………………5 分 因為在平面內(nèi)過同一點 F 不可能有兩條直線同垂直于一條直線 ,所以 BF EC⊥ 不能成 立 ,所以 四邊形 BCFE 不可能是菱形 . …………………6 分 （ 3）當(dāng) AECF 為正方形時， P 是 AC 的中點 ,且 EF AC⊥ ． ∵ EF BC∥ ，∴ AC BC⊥ . ∴ ABC△ 是以 ACB? 為直角的直角三角形 .………………………………… …8 分 ∵ 23?BCAP ,在 Rt△ ABC中 , 332ta n ??? APBCACBCA . ∴∠ A=30176。 . 24.（ 2020 廣東 梅州 ） 解：（ 1） ∵ B(4,1),則 A(4,0),設(shè) OD=x ,得 DA=4x . 因為 D是 以 BC為直徑的圓與 x 軸的交點 , ∴ ∠ CDB=90176。 ,∴∠ ODC+ ∠ BDA=90176。 . ∵∠ OCD+∠ ODC=90176。 , ∴∠ OCD= ∠ BDA.. ∴ Rt△ OCD∽ Rt△ ADB. ∴ OC ADOD AB? .……………………………3 分 341xx ?? ,即 2 4 3 ? ? ? 解得 121, ?? 可得 E(1,0),D(3,0). …………………………4 分 (2) ∵ C(0,3),D(3,0),B(4,1). 設(shè)過此三點的拋物線為 2 ( 0 )y a x b x c a? ? ? ? ，則 39 3 016 4 1ca b ca b c???? ? ???? ? ?? .……………6 分 解得 3,25,21 ???? cba . ?過 B,C,D三點的拋物線的函數(shù)關(guān)系式為 215 322y x x? ? ?. …………7 分 （ 3）假設(shè)存在，分兩種情況討論： ①當(dāng) ∠ BDQ=90176。 時，由 (1)可知 ∠ BDC=90176。 ，且點 C 在拋物線上， 故點 C 與點 Q 重合，所求的點 Q 為（ 0， 3） 。 …………………………………8 分 ②當(dāng) ∠ DBQ=90176。 時，過點 B作平行于 DC的直線 BQ，假設(shè)直線 BQ交拋物線于另一點 Q. ∵ D（ 3， 0）， C(0,3)， ?直線 DC為 3yx?? ? . ……………………… 分 ∵ BQ∥ DC,故可設(shè)直線 BQ為 mxy ??? . 將 B(4,1)代入 ,得 m=5.(或直線 DC 向上平移 2個單位與直線 BQ重合 ) ?直線 BQ為 5yx?? ? . …………………………………9 分 由2515 322yxy x x? ? ???? ? ? ??? .得 16xy???? ?? .或 41xy????? . 又點 B(4,1), ∴ Q(1,6). 故該拋物線上存在兩點 (0,3),(1,6)滿足條件． …………………………………11 分