【正文】 的 獲得的結(jié)果 只會偏離形成的原則， 但是 后續(xù)的解決方案的精度將提高。這是我們 所說的 按照內(nèi)存原則進行節(jié)點排序和精確度之間是有矛盾的。 3 使用部分消元法和完全消元法所產(chǎn)生的精確度差異 對于解決 系統(tǒng)的線性代數(shù)方程組 ， 完全消元法在數(shù)值上比部分消元法更可取 。 當系統(tǒng)系數(shù)變廣 時 ，解的精度 幾乎不可能受 舍入誤差 的 影響 ，因此把排序?qū)τ?解決方案的準確性的順序 考慮在內(nèi)是 必要的。 外文翻譯（譯文） 17 圖 1有 著 四個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 以 圖 1所示的 有 著 四個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 為例。 節(jié)點 1是已知電壓相角擺動節(jié)點 。節(jié)點 24負荷節(jié)點。按照原來的節(jié)點數(shù)量，直流 潮流 方程是： 為了 模擬計算機數(shù)值計算操作， 我們用四個有效數(shù)字來解 決這個問題 。 沒有 消 元 地 對 公 式 （ 1 ） 執(zhí) 行 高 斯 消 元 得 到 的 解 為[ θ2,θ3,θ4]T=[,]T ， 其 與 精 確 解 [θ2, θ3,θ4]T=[,]的部分元素不同，通過完全消元法可以得到一個更加精確的解： [θ2,θ3, θ4]T=[,]，并且 行和列的交匯處 的 節(jié)點的 排序 是 3,2,4 。所以這是一個 為了獲得更高精確度的一個更加合理的方案 。 4 節(jié)點排序?qū)εｎD 拉夫遜潮流計算方法的表現(xiàn)形式的影響 外文翻譯（譯文） 18 圖 2有 著六 個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)樣 本的 直流模型 在 上述分析的基礎(chǔ)上，對節(jié)點重新排序的 方案 將不僅影響到內(nèi)存的要求，而且影響到 求解線性方程組 時 解的精度。因此，牛頓 – 拉夫遜潮流方法的 性能將隨著節(jié)點排序的變化而 不同。 在 本節(jié) 中 將 把三種不同的排序方案 應(yīng)用到如圖2 所示 的 6 個節(jié)點的網(wǎng)絡(luò)， 以便對它們對潮流計算中 解的精度 、 收斂速度 、 計算量和內(nèi)存 需求量進行比較 。表四所示的 是性能的 細節(jié)。 A 目的一：盡可能地節(jié)省內(nèi)存 目前，以減少 最小優(yōu)化 和節(jié)省內(nèi)存節(jié)點 ，有各種各樣的方案應(yīng)用于近優(yōu)化的節(jié)點排序 。 這種方案 所需要的唯一信息是描述網(wǎng)絡(luò) 節(jié)點分支連接模式 的 一個表。 對 減少網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納矩陣 有著 最佳 效果的排序 也是相關(guān)的雅可比矩陣表 的 最優(yōu)的因素。 在 編程的復(fù)雜性和最優(yōu)性之間 不同的方案可以達成不同的妥協(xié) 。在本文中，我們關(guān)注的編號的結(jié)果 是如何 影響計算性能。編程效率是超出了目前的工作范圍。為了節(jié)省內(nèi)存， 在這一部分中，提出了與 [2]中提出的 第三種方案類似 一個動態(tài)節(jié)點排序方案 。該算法的執(zhí)行步驟如下。 方案一 a 定義其中一個節(jié)點度為一 。如果一個以上的節(jié)點符合這個標準， 選擇最原始的節(jié)點 。如果沒有任何節(jié)點 符合要求 ，啟動步驟 b ； 外文翻譯（譯文） 19 b 當這個節(jié)點被淘 汰，編號那些沒有等效的分支節(jié)點可以被引入的節(jié)點。 如果一個以上的節(jié)點符合這個標準， 選擇最原始的節(jié)點 。如果我們不能 啟動步驟 a和步驟 b，打開步驟 c ； c 當這個節(jié)點被淘汰，編號那些有最少分支的節(jié)點。 如果 不止一個 節(jié)點可以引入最少的分支 節(jié)點 ， 給那個最大節(jié)點度的節(jié)點編號 。 一旦在上述步驟 中 某個節(jié)點 被 編號，更新相關(guān)節(jié)點 度 和拓撲信息。直到所有的節(jié)點 都 編 上 號，節(jié)點編號 就完成了 。 表 1 用方案一給節(jié)點再排序 新節(jié)點號碼 舊節(jié)點號碼 1 1 2 3 3 2 4 4 5 6 6 5 緊跟著方案一之后， 6 節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的 節(jié)點編號次序如表 1 所示。 在求解線性方程組的過程 中 ，沒 有引進最小填充，所以表格的 因素 和 雅可比矩陣將有完全一致的結(jié)構(gòu)。所以 表格的 因素的內(nèi)存 需求 是 的，這 個 與該雅可比矩陣相同。通常情況下， 通過 四五 次牛頓 拉夫遜 迭代方法 就可以得到解 。 可是 這個例子所需的迭代 次數(shù) 是三十三 次 ，因為小阻抗 分支 所造成的 病態(tài)性 。 在 每次迭代期間 前后 替代 的過程中需要 123次乘法運算 ， 整個解答過程需要 7456次乘法運算 。 B 目的二：用完全迭代法改善精確度 考慮到 完全消元法在數(shù)值上比部分消元法更可取 ，在本節(jié) 中 ， 為了 提高解決線性方程組 的 準確性 而 采用 完全消元法 ，旨在減少迭代次數(shù)。這里涉及到大外文翻譯（譯文） 20 量的對角線子矩陣行列式的節(jié)點 以便 安排在前面。 在某種程度上 ，導(dǎo)納矩陣的主對角線上的 入口模數(shù) 可 以 表明雅可比矩陣的主對角線上的子矩陣的行列式的幅度。為方便起見，我們利用導(dǎo)納矩陣確定數(shù)字的順序 。 方案二 a 形成節(jié)點導(dǎo)納矩陣 ； b 用完全消元法 因式分解節(jié)點導(dǎo)納矩陣。記錄節(jié)點的當前位置上的變化 ； c 根據(jù)因式分解的節(jié)點的最終位置 確定節(jié)點 的新編號； 表 1 用方案二給節(jié)點再排序 新節(jié)點號碼 舊節(jié)點號碼 1 6 2 4 3 2 4 5 5 3 6 1 執(zhí)行方案二，完整 消元法可以再 沒有行和列 交匯的情況下自動 進行。 對應(yīng)這些節(jié)點的 主對角線 的入口模數(shù)通過 總結(jié)更多的分支參數(shù) 而變得更大 ，因此，節(jié) 點 度 越 大 的 往往首先被編號。因此，該 方案的 的結(jié)果可能 與 稀疏矩陣方法和許多 引入的最小填充 下形成的節(jié)點編號的原則 相異 。 6 節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點編號次序如表 2 所示 。將產(chǎn)生 6 個 最小填充 ， 所以在一次迭代中前后替代過程中將花費 更多的內(nèi)存（ ）和更多的操作（ 321個乘法運算） ，所需的迭代總數(shù)減少到十三 次 ，這表明線性方程組的計算精度 通過 完全消元法得以提高 。最后， 由于迭代次數(shù)的減少 乘法運算的 次數(shù) 減少到 5573次。 C 目的三：保持稀疏性的同時提高精確度 在 系統(tǒng)中只存在一個小的阻抗分支，所以相應(yīng) 于 節(jié)點 4 和節(jié)點 6 的 只有四外文翻譯（譯文） 21 個條目（子矩陣）是非常大的導(dǎo)納矩陣（雅可比矩陣）。在提出替代的過程中，一旦節(jié)點 4和節(jié)點 6被 消除，其余元素組成的子矩陣能保持良好的數(shù)值穩(wěn)定性 ，并且 其余節(jié)點的編號不會 對解決方案的精確度產(chǎn)生影響 。 把 準確性和稀疏 性都考慮 在內(nèi) ，我們 把 4 節(jié)點 編為 1 號 ，然后 按照目的一的方法給其他節(jié)點編號 。這就是我們 所說的 6 個節(jié)點 網(wǎng)絡(luò)的方案三 。 6 節(jié)點網(wǎng)絡(luò)的節(jié)點編號次序如表 3所示。 由于 在系統(tǒng)中 只 存在 一 個小的阻抗分支， 并且 它連接到 節(jié)點度為 1 的 節(jié)點4。 方案三 將符合 目的一的 要求。因此， 最小填充的數(shù)目 ，內(nèi)存 需求 和分解所需的操作 次數(shù) 與方案一相同 。為了保證收斂性，只需要 9 次迭代 ，導(dǎo)致 計算量大大減少（ 僅 2107 次 乘法運算）。迭代次數(shù)的減少表明，使用 方案三可以使 線性方程組 得到更加精確的求解 。經(jīng)過分析和比較，原因如下： 與 節(jié)點 4 有關(guān)的 對角線元素 比節(jié)點 6 小一點 ，因此 首先 消除節(jié)點 4 不會降低精確度。該 方案 能夠滿足 完全消元法 。 方案三的更 少 的 操作 次數(shù) 減少計算器浮點數(shù)的舍入誤差。尤其 注意的是 ，如果 首先 消除節(jié)點 6，非常小的值可能被添 加到節(jié)點 2和節(jié)點 5的節(jié)點元素 ，這將導(dǎo)致嚴重的舍入誤差。 然而 ，如果 首先 消除節(jié)點 4，一個相當大的值將被添加到節(jié)點 6的對角線元素 上 ， 產(chǎn)生的新值 在正常范圍內(nèi)。 表 3用方案二給節(jié)點再排序 新節(jié)點號碼 舊節(jié)點號碼 1 4 2 1 3 3 4 5 5 6 6 2 表 4用不同節(jié)點排序方案的進行牛頓潮流計算的性能比較 外文翻譯（譯文） 22 方案一 方案二 方案三 內(nèi)存（ Kb） 最小填充數(shù) 0 6 0 迭代次數(shù) 33 13 9 分解計算數(shù)目 123 321 123 總的計算次數(shù) 7459 5573 2107 a 這里“操作次數(shù)”只代表乘法次數(shù)因為乘法最耗時。 5 結(jié)論 理論分析和數(shù)值計算結(jié)果表明 ：在潮流計算中考慮節(jié)點排序是十分必要的。如果節(jié)點排序算法 合理地考慮內(nèi)存和精確度 ，潮流計算性能 可以進一步 改善。本文的基本結(jié)論如下： 對于 良好 的電力系統(tǒng)， 節(jié)點排序?qū)Τ绷饔嬎憔_度的影響是可以忽略的 。更重要的是，我們的注意力 應(yīng)該 集中在保持稀疏 性以 以節(jié)省內(nèi)存 需求 和計算操作 上 。 對于 病態(tài) 的電力系統(tǒng)， 為了 加快收斂速度 ，在節(jié)點排序算法中必須考慮精確度 。在此基礎(chǔ)上，如果同時 要保證 稀疏 性 ， 為了 減少浮點計算精度 的需 求，我們應(yīng)該獲得更多的精確度 。 6 參考文獻 [1] Allen J. 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[11] Paola Favati, Mauro Leoncini, and Angeles Martinez, ―On the robustness of gaussian elimination with partial pivoting,‖ BIT, Vol. 40, , , 2020 7 作者簡介 李文博（ 1984），男，山東人， 2020 年在 山東大學(xué)獲得電氣工程學(xué)士學(xué)位，目前在山東大學(xué)攻讀博士學(xué)位，主研究方向是電力系統(tǒng)分析與運行。 韓學(xué)山（ 1959），男，遼寧人， 1990 年從東北電力大學(xué)電氣工程系取得學(xué)識和碩士學(xué)位， 1994年從哈爾濱工業(yè)大學(xué)取得博士學(xué)位，現(xiàn)任教于山東大學(xué)電氣工外文翻譯（譯文） 24 程學(xué)院，主要研究方向是電力系統(tǒng)分析與運行。 張 波（ 1963），男，山東人，現(xiàn)任教于山東大學(xué)電氣工程學(xué)院，主要研究方向是電力系統(tǒng)分析與運行。