20xx屆黑龍江省哈師大附中高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)(理)試題(含解析)-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:18本頁(yè)面
【正文】 、所在直線分別為、建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，則，所以，.所以、.所以，.設(shè)平面的法向量為，則，取，可得，則，易知，平面的一個(gè)法向量為.，由圖形可知，二面角是銳角，所以二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用空間向量法求解二面角的步驟如下：（1）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量（注：若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可）；（3）計(jì)算（2）中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.21．已知函數(shù)是奇函數(shù)，的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，．(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))．(1)若函數(shù)在區(qū)間上存在極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)如果當(dāng)x≥1時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意求出x0時(shí)函數(shù)的解析式，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到唯一的極值點(diǎn)1，使得1在所給區(qū)間內(nèi)即可；（2），令，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)的最值進(jìn)而求解.【詳解】設(shè)x0時(shí)，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到： （1）當(dāng)x0時(shí)，有，；所以在（0，1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得唯一的極值．由題意，且，解得所求實(shí)數(shù)的取值范圍為 （2）當(dāng)時(shí)，令，由題意，在上恒成立 令，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 所以在上單調(diào)遞增，因此， 在上單調(diào)遞增，． 所以．所求實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的增減性以及求函數(shù)的極值和最值，應(yīng)用分類討論法，構(gòu)造函數(shù)等方法來(lái)解答問(wèn)題．對(duì)于函數(shù)恒成立或者有解求參的問(wèn)題，常用方法有：變量分離，參變分離，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問(wèn)題；或者直接求函數(shù)最值，使得函數(shù)最值大于或者小于0；或者分離成兩個(gè)函數(shù)，使得一個(gè)函數(shù)恒大于或小于另一個(gè)函數(shù)．22．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)（），若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）分類討論，詳見(jiàn)解析；（2）．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，利用判別式討論的取值范圍，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求解. （2）根據(jù)題意可得是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，由（1）知，利用韋達(dá)定理得，且，然后分離參數(shù)只需恒成立，從而令，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．令，?dāng)即時(shí)，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．當(dāng)即或時(shí)，．若，則，所以，即，所以函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為．若，則，由，即得或；由，即得．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由（1）得，若有兩個(gè)極值點(diǎn)，則是方程的兩個(gè)不等正實(shí)根，由（1）知．則，故，要使恒成立，只需恒成立．因?yàn)榱?，則，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以．由題意，要使恒成立，只需滿足．所以實(shí)數(shù)的取值范圍．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)；考查抽象概括能力、運(yùn)算求解能力、推理論證能力與創(chuàng)新意識(shí)；考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想等思想；考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)，體現(xiàn)綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性．．21
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