【正文】 EH∥AB∥CD，∴∠APE=∠PEH，∠EQC=∠HEQ,而∠PEQ=∠PEH+∠HEQ.∴∠PEQ=∠APE+∠CQE；（2）過點E作EM∥CD，如圖，設∠QEM＝α，∴∠DQE＝180176。－α，∵QH平分∠DQE，∴∠DQH＝∠DQE＝90176。－α，∴∠FQD＝180176。－∠DQH＝90176。＋α， ∵EM∥CD，AB∥CD，∴AB∥EM，∴∠BPE＝180176。－∠PEM＝180176。－（72176。＋α）＝108176。－α，∵PF平分∠BPE ∴∠BPF＝∠BPE＝54176。－α，作NF∥AB，由（1）的方法可得，∠PFQ＝∠BPF＋∠DQF＝54176。－α+90176。＋α=144176。.【點睛】本題考查了平行線性質的應用，正確作輔助線，熟練運用平行線的性質是解決問題的關鍵．如下圖，按要求作圖：(1)過點P作直線CD平行于AB．(2)過點P作PE⊥AB，垂足為O.【答案】作圖見解析【解析】分析：利用題中幾何語言畫出對應的幾何圖形．詳解：如圖，CD和點O為所作．點睛：本題考查了作圖復雜作圖：復雜作圖是在五種基本作圖的基礎上進行作圖，一般是結合了幾何圖形的性質和基本作圖方法．解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖①，直線AB∥CD，E是AB與CD之間的一點，連接BE，CE，可以發(fā)現(xiàn)∠B+∠C=∠BEC．請把下面的證明過程補充完整：證明：過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（　 　 ）∴∠C=∠CEF．（　 　 ）∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=　 　 （等式性質）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果點E運動到圖②所示的位置，其他條件不變，求證：∠B+∠C=360176。﹣∠BEC．（3）解決問題：如圖③，AB∥DC，試寫出∠A、∠C、∠AEC的數量關系　 　 ．（直接寫出結論，不用寫計算過程）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）∠C+∠AEC∠A=180.【解析】【分析】（1）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；（2）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可；（3）過點E作EF∥AB，根據平行線的判定得出AB∥CD∥EF，根據平行線的性質得出即可．【詳解】（1）證明：如圖①，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C=∠CEF．（兩直線平行，內錯角相等），∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理），∴∠B+∠C=∠BEF+∠CEF（等量代換）即∠B+∠C=∠BEC，故答案為：平行于同一直線的兩直線平行，兩直線平行，內錯角相等，∠BEF+∠CEF；（2）證明：如圖②，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠B+∠BEF=180176。，∴∠B+∠C+∠AEC=360176。，∴∠B+∠C=360176。∠BEC；（3）解：如圖③，過點E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（輔助線的作法），∴EF∥DC（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠C+∠CEF=180176。，∠A=∠AEF，∴∠CEF=∠ACE－∠AEF，∴∠C+∠AEC∠A=180176。.【點睛】考查了平行線的性質和判定的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵，注意：①兩直線平行，內錯角相等，②兩直線平行，同位角相等，③兩直線平行，同旁內角互補．如圖，AB∥CD,分別探索下列四個圖形中∠P、∠A、∠C，發(fā)現(xiàn)有如下三種數量關系：∠A+∠C =∠P ；∠P+∠A =∠C ；∠P+∠C =∠A，請你選擇其中的兩種數量關系說明理由.(1)我選擇的是圖 ，數量關系式是 .理由：(2) 我選擇的是圖 ，數量關系式是 .理由：【答案】選圖1，見解析；選圖2，見解析；選圖3，見解析；選圖4，見解析.【解析】【分析】（1）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據兩直線平行，同旁內角互補，即可求得答案；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得AB∥PE∥CD，然后根據兩直線平行，內錯角相等，即可求得答案；（3）由AB∥CD，根據兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠C，又由三角形外角的性質，即可求得答案；（4）由AB∥CD，根據兩直線平行，同位角相等，即可求得∠1=∠A，又由三角形外角的性質，即可求得答案．【詳解】（1）∠A+∠P+∠C=360176。．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠A+∠1=180176。，∠2+∠C=180176。，∴∠A+∠C+∠APC=∠A+∠1+∠2+∠C=360176。．（2）∠P=∠A+∠C．理由：過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠1=∠A，∠2=∠C，∴∠APC=∠1+∠2=∠A+∠C．（3）∠C=∠A+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠A+∠P，∴∠C=∠A+∠P；（4）∠A=∠C+∠P．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠A，∵∠1=∠C+∠P，∴∠A=∠C+∠P．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等與兩直線平行，同旁內角互補定理的應用，注意輔助線的作法．已知：直線 AB∥CD，點 M，N 分別在直線 AB，CD 上，點 E 為平面內一點。（1）如圖 1，∠BME，∠E，∠END 的數量關系為 ；（直接寫出答案）（2）如圖 2，∠BME=m176。，EF 平分∠MEN，NP 平分∠END，EQ∥NP，求∠FEQ 的度數．（用含 m 的式子表示）（3）如圖 3，點 G 為 CD 上一點，∠BMN=n∠EMN，∠GEK=n∠GEM，EH∥MN 交 AB 于點 H，探究∠GEK，∠BMN，∠GEH 之間的數量關系（用含 n 的式子表示）【答案】（1）∠E＝∠BME＋∠END；（2）m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH【解析】試題分析：（1）過點E作l∥AB，利用平行線的性質可得∠1=∠BME，∠2=∠DNE，由∠MEN=∠1+∠2，等量代換可得結論；（2）利用角平分線的性質可得∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，由EQ∥NP，可得∠QEN＝∠ENP＝∠END，由（1）的結論可得∠MEN=∠BME+∠END，等量代換得出結論；（3）由已知可得∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，由EH∥MN，可得∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，因為∠GEH=∠GEM∠HEM，等量代換得出結論．試題解析：（1）如圖1，過點E作l∥AB，∵AB∥CD，∴l(xiāng)∥AB∥CD，∴∠1=∠BME，∠2=∠DNE，∵∠MEN=∠1+∠2，∴∠E=∠BME+∠END，故答案為：∠E=∠BME+∠END；（2）如圖2，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠NEF＝∠MEN，∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠QEN＝∠ENP＝∠END，∵∠MEN=∠BME+∠END，∴∠MEN∠END=∠BME=m176。，∴∠FEQ=∠NEF∠NEQ=∠MEN?∠END= (∠MEN?∠END)=m176。；（3）∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．如圖3，∵∠BMN=n?∠EMN，∠GEK=n?∠GEK，∴∠EMN＝∠BMN，∠GEM＝∠GEK，∵EH∥MN，∴∠HEM＝∠ENM＝∠BMN，∵∠GEH=∠GEM∠HEM=∠GEK?∠BMN，∴n∠GEH=∠GEK∠BMN，即∠GEK＝∠BMN＋n∠GEH．點睛：本題主要考查了角平分線的定義、平行線的性質，關鍵是會綜合運用平行線的性質和角平分線的定義解決問題．