【正文】 腳數(shù)－2雞兔總數(shù)）247。（4－2）假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）247。（4－2）第二雞兔同籠問題：假設(shè)全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。（4＋2）假設(shè)全都是兔，則有 雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）247。（4＋2）【解題思路和方法】 解答此類題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類問題也叫置換問題。通過先假設(shè)，再置換，使問題得到解決。例1 長毛兔子蘆花雞，雞兔圈在一籠里。數(shù)數(shù)頭有三十五，腳數(shù)共有九十四。請(qǐng)你仔細(xì)算一算，多少兔子多少雞？ 解 假設(shè)35只全為兔，則 雞數(shù)＝（435－94）247。（4－2）＝23（只） 兔數(shù)＝35－23＝12（只） 也可以先假設(shè)35只全為雞，則 兔數(shù)＝（94－235）247。（4－2）＝12（只） 雞數(shù)＝35－12＝23（只）答：有雞23只，有兔12只。例2 2畝菠菜要施肥1千克，5畝白菜要施肥3千克，兩種菜共16畝，施肥9千克，求白菜有多少畝？ 解 此題實(shí)際上是改頭換面的“雞兔同籠”問題。“每畝菠菜施肥（1247。2）千克”與“每只雞有兩個(gè)腳”相對(duì)應(yīng)，“每畝白菜施肥（3247。5）千克”與“每只兔有4只腳”相對(duì)應(yīng)，“16畝”與“雞兔總數(shù)”相對(duì)應(yīng)，“9千克”與“雞兔總腳數(shù)”相對(duì)應(yīng)。假設(shè)16畝全都是菠菜，則有 白菜畝數(shù)＝（9－1247。216）247。（3247。5－1247。2）＝10（畝） 答：白菜地有10畝。例3 李老師用69元給學(xué)校買作業(yè)本和日記本共45本，作業(yè)本每本 3 .20元。問作業(yè)本和日記本各買了多少本？ 解 此題可以變通為“雞兔同籠”問題。假設(shè)45本全都是日記本，則有 作業(yè)本數(shù)＝（69－45）247。（－）＝15（本）日記本數(shù)＝45－15＝30（本）答：作業(yè)本有15本，日記本有30本。例4 （第二雞兔同籠問題）雞兔共有100只，雞的腳比兔的腳多80只，問雞與兔各多少只？ 解 假設(shè)100只全都是雞，則有 兔數(shù)＝（2100－80）247。（4＋2）＝20（只） 雞數(shù)＝100－20＝80（只）答：有雞80只，有兔20只。例5 有100個(gè)饃100個(gè)和尚吃，大和尚一人吃3個(gè)饃，小和尚3人吃1個(gè)饃，問大小和尚各多少人？ 解 假設(shè)全為大和尚，則共吃饃（3100）個(gè)，比實(shí)際多吃（3100－100）個(gè)，這是因?yàn)榘研『蜕幸菜愠闪舜蠛蜕?，因此我們?cè)诒ＷC和尚總數(shù)100不變的情況下，以“小”換“大”，一個(gè)小和尚換掉一個(gè)大和尚可減少饃（3－1/3）個(gè)。因此，共有小和尚 （3100－100）247。（3－1/3）＝75（人） 共有大和尚 100－75＝25（人）答：共有大和尚25人，有小和尚75人。21 方陣問題【含義】 將若干人或物依一定條件排成正方形（簡稱方陣），根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類問題就叫做方陣問題?！緮?shù)量關(guān)系】 （1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系： 四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4 每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247。4＋1 （2）方陣總?cè)藬?shù)的求法： 實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù) 空心方陣：總?cè)藬?shù)＝（外邊人數(shù)）?－（內(nèi)邊人數(shù)）? 內(nèi)邊人數(shù)＝外邊人數(shù)－層數(shù)2 （3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則： 總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4【解題思路和方法】 方陣問題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1 在育才小學(xué)的運(yùn)動(dòng)會(huì)上，進(jìn)行體操表演的同學(xué)排成方陣，每行22人，參加體操表演的同學(xué)一共有多少人？解 2222＝484（人） 答：參加體操表演的同學(xué)一共有484人。例2 有一個(gè)3層中空方陣，最外邊一層有10人，求全方陣的人數(shù)。 解 10－（10－32）? ＝84（人）答：全方陣84人。例3 有一隊(duì)學(xué)生，排成一個(gè)中空方陣，最外層人數(shù)是52人，最內(nèi)層人數(shù)是28人，這隊(duì)學(xué)生共多少人？解 （1）中空方陣外層每邊人數(shù)＝52247。4＋1＝14（人）（2）中空方陣內(nèi)層每邊人數(shù)＝28247。4－1＝6（人）（3）中空方陣的總?cè)藬?shù)＝1414－66＝160（人）答：這隊(duì)學(xué)生共160人。例4 一堆棋子，排列成正方形，多余4棋子，若正方形縱橫兩個(gè)方向各增加一層，則缺少9只棋子，問有棋子多少個(gè)？解 （1）縱橫方向各增加一層所需棋子數(shù)＝4＋9＝13（只） （2）縱橫增加一層后正方形每邊棋子數(shù)＝（13＋1）247。2＝7（只） （3）原有棋子數(shù)＝77－9＝40（只）答：棋子有40只。例5 有一個(gè)三角形樹林，頂點(diǎn)上有1棵樹，以下每排的樹都比前一排多1棵，最下面一排有5棵樹。這個(gè)樹林一共有多少棵樹？ 解 第一種方法： 1＋2＋3＋4＋5＝15（棵） 第二種方法： （5＋1）5247。2＝15（棵）答：這個(gè)三角形樹林一共有15棵樹。 22 商品利潤問題【含義】 這是一種在生產(chǎn)經(jīng)營中經(jīng)常遇到的問題，包括成本、利潤、利潤率和虧損、虧損率等方面的問題?！緮?shù)量關(guān)系】 利潤＝售價(jià)－進(jìn)貨價(jià) 利潤率＝（售價(jià)－進(jìn)貨價(jià)）247。進(jìn)貨價(jià)100%售價(jià)＝進(jìn)貨價(jià)（1＋利潤率）虧損＝進(jìn)貨價(jià)－售價(jià) 虧損率＝（進(jìn)貨價(jià)－售價(jià)）247。進(jìn)貨價(jià)100%【解題思路和方法】 簡單的題目可以直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后利用公式。例1 某商品的平均價(jià)格在一月份上調(diào)了10%，到二月份又下調(diào)了10%，這種商品從原價(jià)到二月份的價(jià)格變動(dòng)情況如何？解 設(shè)這種商品的原價(jià)為1，則一月份售價(jià)為（1＋10%），二月份的售價(jià)為（1＋10%）（1－10%），所以二月份售價(jià)比原價(jià)下降了1－（1＋10%）（1－10%）＝1%答：二月份比原價(jià)下降了1%。例2 某服裝店因搬遷，店內(nèi)商品八折銷售。苗苗買了一件衣服用去52元，已知衣服原來按期望盈利30%定價(jià)，那么該店是虧本還是盈利？虧（盈）率是多少？解 要知虧還是盈，得知實(shí)際售價(jià)52元比成本少多少或多多少元，進(jìn)而需知成本。因?yàn)?2元是原價(jià)的80%，所以原價(jià)為（52247。80%）元；又因?yàn)樵瓋r(jià)是按期望盈利30%定的，所以成本為 52247。80%247。（1＋30%）＝50（元）可以看出該店是盈利的，盈利率為 （52－50）247。50＝4%答：該店是盈利的，盈利率是4%。例3 ，按期望獲得40%的利潤定價(jià)出售，當(dāng)銷售出80%后，剩下的作業(yè)本打折扣，結(jié)果獲得的利潤是預(yù)定的86%。問剩下的作業(yè)本出售時(shí)按定價(jià)打了多少折扣？解 問題是要計(jì)算剩下的作業(yè)本每冊(cè)實(shí)際售價(jià)是原定價(jià)的百分之幾。從題意可知，（1＋40%），所以關(guān)鍵是求出剩下的每冊(cè)的實(shí)際售價(jià)，為此要知道剩下的每冊(cè)盈利多少元。剩下的作業(yè)本售出后的盈利額等于實(shí)際總盈利與先售出的80%的盈利額之差，即120040%86%－120040%80%＝（元）剩下的作業(yè)本每冊(cè)盈利 247。［1200（1－80%）］＝（元）又可知 （＋）247。［（1＋40%）］＝80%答：剩下的作業(yè)本是按原定價(jià)的八折出售的。例4 某種商品，甲店的進(jìn)貨價(jià)比乙店的進(jìn)貨價(jià)便宜10%，甲店按30%的利潤定價(jià)，乙店按20%的利潤定價(jià)，結(jié)果乙店的定價(jià)比甲店的定價(jià)貴6元，求乙店的定價(jià)。解 設(shè)乙店的進(jìn)貨價(jià)為1，則甲店的進(jìn)貨價(jià)為 1－10%＝甲店定價(jià)為 （1＋30%）＝乙店定價(jià)為 1（1＋20%）＝由此可得 乙店進(jìn)貨價(jià)為 6247。（－）＝200（元）乙店定價(jià)為 200＝240（元）答：乙店的定價(jià)是240元。23 存款利率問題【含義】 把錢存入銀行是有一定利息的，利息的多少，與本金、利率、存期這三個(gè)因素有關(guān)。利率一般有年利率和月利率兩種。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)；月利率是指存期一月所生利息占本金的百分?jǐn)?shù)?！緮?shù)量關(guān)系】 年（月）利率＝利息247。本金247。存款年（月）數(shù)100% 利息＝本金存款年（月）數(shù)年（月）利率 本利和＝本金＋利息＝本金〔1＋年（月）利率存款年（月）數(shù)〕【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 李大強(qiáng)存入銀行1200元，%，到期后連本帶利共取出1488元，求存款期多長。解 因?yàn)榇婵钇趦?nèi)的總利息是（1488－1200）元，所以總利率為 （1488－1200）247。1200 又因?yàn)橐阎吕剩源婵钤聰?shù)為 （1488－1200）247。1200247。%＝30（月） 答：李大強(qiáng)的存款期是30月即兩年半。例2 銀行定期整存整取的年利率是：%，%，五年期9%。如果甲乙二人同時(shí)各存入1萬元，甲先存二年期，到期后連本帶利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同時(shí)取出，那么，誰的收益多？多多少元？解 甲的總利息〔10000%2＋〔10000（1＋%2）〕%3＝1584＋11584%3＝（元）乙的總利息 100009%5＝4500（元）4500－＝（元）答：乙的收益較多。 24 溶液濃度問題【含義】 在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問題。這類問題研究的主要是溶劑（水或其它液體）、溶質(zhì)、溶液、濃度這幾個(gè)量的關(guān)系。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后的混合物叫溶液。溶質(zhì)的量在溶液的量中所占的百分?jǐn)?shù)叫濃度，也叫百分比濃度?！緮?shù)量關(guān)系】 溶液＝溶劑＋溶質(zhì) 濃度＝溶質(zhì)247。溶液100%【解題思路和方法】 簡單的題目可直接利用公式，復(fù)雜的題目變通后再利用公式。例1 爺爺有16%的糖水50克，（1）要把它稀釋成10%的糖水，需加水多少克？（2）若要把它變成30%的糖水，需加糖多少克？解 （1）需要加水多少克？ 5016%247。10%－50＝30（克）（2）需要加糖多少克？ 50（1－16%）247。（1－30%）－50＝10（克）答：（1）需要加水30克，（2）需要加糖10克。例2 要把30%的糖水與15%的糖水混合，配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克？解 假設(shè)全用30%的糖水溶液，那么含糖量就會(huì)多出600（30%－25%）＝30（克）這是因?yàn)?0%的糖水多用了。于是，我們?cè)O(shè)想在保證總重量600克不變的情況下，用15%的溶液來“換掉”一部分30%的溶液。這樣，每“換掉”100克，就會(huì)減少糖 100（30%－15%）＝15（克） 所以需要“換掉”30%的溶液（即“換上”15%的溶液） 100（30247。15）＝200（克）由此可知，需要15%的溶液200克。需要30%的溶液 600－200＝400（克）答：需要15%的糖水溶液200克，需要30%的糖水400克。例3 甲容器有濃度為12%的鹽水500克，乙容器有500克水。把甲中鹽水的一半倒入乙中，混合后再把乙中現(xiàn)有鹽水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中，使甲乙兩容器中的鹽水同樣多。求最后乙中鹽水的百分比濃度。解 由條件知，倒了三次后，甲乙兩容器中溶液重量相等，各為500克，因此，只要算出乙容器中最后的含鹽量，便會(huì)知所求的濃度。下面列表推算：甲容器乙容器原 有鹽水500鹽50012%＝60水500第一次把甲中一半倒入乙中后鹽水500247。2＝250鹽60247。2＝30鹽水500＋250＝750鹽30第二次把乙中一半倒入甲中后鹽水250＋375＝625鹽30＋15＝45鹽水750247。2＝375鹽30247。2＝15第三次使甲乙中鹽水同樣多鹽水500鹽45－9＝36鹽水500鹽45－36＋15＝ 由以上推算可知，乙容器中最后鹽水的百分比濃度為 24247。500＝% 答：%。 25 構(gòu)圖布數(shù)問題【含義】 這是一種數(shù)學(xué)游戲，也是現(xiàn)實(shí)生活中常用的數(shù)學(xué)問題。所謂“構(gòu)圖”，就是設(shè)計(jì)出一種圖形；所謂“布數(shù)”，就是把一定的數(shù)字填入圖中。“構(gòu)圖布數(shù)”問題的關(guān)鍵是要符合所給的條件?！緮?shù)量關(guān)系】 根據(jù)不同題目的要求而定?！窘忸}思路和方法】 通常多從三角形、正方形、圓形和五角星等圖形方面考慮。按照題意來構(gòu)圖布數(shù)，符合題目所給的條件。例1 十棵樹苗子，要栽五行子，每行四棵子，請(qǐng)你想法子。 解 符合題目要求的圖形應(yīng)是一個(gè)五角星。