【正文】 分別作x軸的垂線交于點N、M，由三角形的面積公式得到，，而，即可求解．【詳解】（1）拋物線的表達(dá)式為：，即，則點；（2）過點B作y軸的平行線BQ，過點D作x軸的平行線交y軸于點P、交BQ于點Q，∵，∴，設(shè)：，點，∴，∴，其中：，，，將以上數(shù)值代入比例式并解得：，∵，故，故拋物線的表達(dá)式為：；（3）如圖2，當(dāng)點C在x軸上方時，連接OD交BC于點H，則，過點H、D分別作x軸的垂線交于點N、M，設(shè)：，，而，則，∴，則，則，則，則，則，解得：（舍去負(fù)值），解得：（不合題意值已舍去），故：．當(dāng)點C在x軸下方時，同理可得：；故：或【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用、一次函數(shù)、三角形相似、圖形的面積計算，其中（3）用幾何方法得出：，是本題解題的關(guān)鍵．13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，頂點為A的拋物線與x軸交于B、C兩點，與y軸交于點D，已知A(1，4)，B(3，0)．(1)求拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式；(2)探究：如圖1，連接OA，作DE∥OA交BA的延長線于點E，連接OE交AD于點F，M是BE的中點，則OM是否將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分？請說明理由；(3)應(yīng)用：如圖2，P(m，n)是拋物線在第四象限的圖象上的點，且m+n＝﹣1，連接PA、PC，在線段PC上確定一點M，使AN平分四邊形ADCP的面積，求點N的坐標(biāo)．提示：若點A、B的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)，則線段AB的中點坐標(biāo)為(，)．【答案】(1)y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由見解析；(3)點N(，﹣)．【解析】【分析】(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式，即可求解；(2)利用同底等高的兩個三角形的面積相等，即可求解；(3)由(2)知：點N是PQ的中點，根據(jù)C,P點的坐標(biāo)求出直線PC的解析式，同理求出AC,DQ的解析式，并聯(lián)立方程求出Q點的坐標(biāo)，從而即可求N點的坐標(biāo)．【詳解】(1)函數(shù)表達(dá)式為：y＝a(x﹣1)2+4，將點B坐標(biāo)的坐標(biāo)代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4，解得：a＝﹣1，故拋物線的表達(dá)式為：y＝﹣x2+2x﹣3；(2)OM將四邊形OBAD分成面積相等的兩部分，理由：如圖1，∵DE∥AO，S△ODA＝S△OEA，S△ODA+S△AOM＝S△OEA+S△AOM，即：S四邊形OMAD＝S△OBM，∴S△OME＝S△OBM，∴S四邊形OMAD＝S△OBM；(3)設(shè)點P(m，n)，n＝﹣m2+2m+3，而m+n＝﹣1，解得：m＝﹣1或4，故點P(4，﹣5)；如圖2，故點D作QD∥AC交PC的延長線于點Q，由(2)知：點N是PQ的中點，設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b，將點C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐標(biāo)代入得：，解得：，所以直線PC的表達(dá)式為：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直線AC的表達(dá)式為：y＝2x+2，直線DQ∥CA，且直線DQ經(jīng)過點D(0，3)，同理可得直線DQ的表達(dá)式為：y＝2x+3…②，聯(lián)立①②并解得：x＝﹣，即點Q(﹣，)，∵點N是PQ的中點，由中點公式得：點N(，﹣)．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運用，涉及到一次函數(shù)、圖形面積的計算等，其中(3)直接利用(2)的結(jié)論，即點N是PQ的中點，是本題解題的突破點．14．如圖，已知二次函數(shù)過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點．（1）求二次函數(shù)的解析式；（2）將沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線，直線y=m（m＞0）交于M、N兩點，求線段MN的長度（用含m的代數(shù)式表示）；（3）在（2）的條件下，、交于A、B兩點，如果直線y=m與、的圖象形成的封閉曲線交于C、D兩點（C在左側(cè)），直線y=﹣m與、的圖象形成的封閉曲線交于E、F兩點（E在左側(cè)），求證：四邊形CEFD是平行四邊形．【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．【解析】試題分析：（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可解決問題．（2）先求出拋物線y2的頂點坐標(biāo)，再求出其解析式，利用方程組以及根與系數(shù)關(guān)系即可求出MN．（3）用類似（2）的方法，分別求出CD、EF即可解決問題．試題解析：（1）∵二次函數(shù)過（﹣2，4），（﹣4，4）兩點，∴，解得：，∴二次函數(shù)的解析式．（2）∵=，∴頂點坐標(biāo)（﹣3，），∵將沿x軸翻折，再向右平移2個單位，得到拋物線，∴拋物線的頂點坐標(biāo)（﹣1，），∴拋物線為，由，消去y整理得到，設(shè)，是它的兩個根，則MN===；（3）由，消去y整理得到，設(shè)兩個根為，則CD===，由，消去y得到，設(shè)兩個根為，則EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四邊形CEFD是平行四邊形．考點：二次函數(shù)綜合題．15．如圖1，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣4，0），B（1，0）兩點，過點B的直線y=kx+分別與y軸及拋物線交于點C，D．（1）求直線和拋物線的表達(dá)式；（2）動點P從點O出發(fā)，在x軸的負(fù)半軸上以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，設(shè)運動時間為t秒，當(dāng)t為何值時，△PDC為直角三角形？請直接寫出所有滿足條件的t的值；（3）如圖2，將直線BD沿y軸向下平移4個單位后，與x軸，y軸分別交于E，F(xiàn)兩點，在拋物線的對稱軸上是否存在點M，在直線EF上是否存在點N，使DM+MN的值最?。咳舸嬖?，求出其最小值及點M，N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）拋物線解析式為：y=，BD解析式為y=﹣；（2）t的值為、．（3）N點坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），M點坐標(biāo)為（﹣，﹣），. 【解析】分析：（1）利用待定系數(shù)法求解可得；（2）先求得點D的坐標(biāo)，過點D分別作DE⊥x軸、DF⊥y軸，分P1D⊥P1C、P2D⊥DC、P3C⊥DC三種情況，利用相似三角形的性質(zhì)逐一求解可得；（3）通過作對稱點，將折線轉(zhuǎn)化成兩點間距離，應(yīng)用兩點之間線段最短．詳解：（1）把A（﹣4，0），B（1，0）代入y=ax2+2x+c，得，解得：，∴拋物線解析式為：y=，∵過點B的直線y=kx+，∴代入（1，0），得：k=﹣，∴BD解析式為y=﹣；（2）由得交點坐標(biāo)為D（﹣5，4），如圖1，過D作DE⊥x軸于點E，作DF⊥y軸于點F，當(dāng)P1D⊥P1C時，△P1DC為直角三角形，則△DEP1∽△P1OC，∴=，即=，解得t=，當(dāng)P2D⊥DC于點D時，△P2DC為直角三角形由△P2DB∽△DEB得=，即=，解得：t=；當(dāng)P3C⊥DC時，△DFC∽△COP3，∴=，即=，解得：t=，∴t的值為、．（3）由已知直線EF解析式為：y=﹣x﹣，在拋物線上取點D的對稱點D′，過點D′作D′N⊥EF于點N，交拋物線對稱軸于點M過點N作NH⊥DD′于點H，此時，DM+MN=D′N最?。畡t△EOF∽△NHD′設(shè)點N坐標(biāo)為（a，﹣），∴=，即=，解得：a=﹣2，則N點坐標(biāo)為（﹣2，﹣2），求得直線ND′的解析式為y=x+1，當(dāng)x=﹣時，y=﹣，∴M點坐標(biāo)為（﹣，﹣），此時，DM+MN的值最小為==2．點睛：本題是二次函數(shù)和幾何問題綜合題，應(yīng)用了二次函數(shù)性質(zhì)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、分類討論思想．解題時注意數(shù)形結(jié)合．