【正文】 9。2=D39。E2+BE2=（）2+（2+）2=16+8②以點A為旋轉中心將正方形ABCD順時針旋轉60176。，如圖所示：過B作BF⊥AD39。于F，旋轉可得，∠DAD39。=60176。，∴∠BAD39。=30176。，∵AB=2=AD39。，∴BF=AB=，AF=，∴D39。F=2﹣，∴Rt△BD39。F中，BD39。2=BF2+D39。F2=（）2+（2）2=16﹣8綜上所述，BD′平方的長度為16+8或16﹣8．【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質，矩形的判定，旋轉的性質，線段垂直平分線的性質以及勾股定理的綜合運用，解決問題的關鍵是作輔助線構造直角三角形，依據勾股定理進行計算求解．解題時注意：有三個角是直角的四邊形是矩形．13．小明在矩形紙片上畫正三角形，他的做法是：①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF，把紙片展平；②沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處，再折出PB、PC，最后用筆畫出△PBC(圖1)．（1）求證：圖1中的 PBC是正三角形： （2）如圖2，小明在矩形紙片HIJK上又畫了一個正三角形IMN，其中IJ=6cm，且HM=JN．①求證：IH=IJ②請求出NJ的長； （3）小明發(fā)現：在矩形紙片中，若一邊長為6cm，當另一邊的長度a變化時，在矩形紙片上總能畫出最大的正三角形，但位置會有所不同．請根據小明的發(fā)現，畫出不同情形的示意圖(作圖工具不限，能說明問題即可)，并直接寫出對應的a的取值范圍．【答案】（1）證明見解析；（2）①證明見解析；②126（3）3＜a＜4，a＞4【解析】分析：（1）由折疊的性質和垂直平分線的性質得出PB=PC，PB=CB，得出PB=PC=CB即可；（2）①利用“HL”證Rt△IHM≌Rt△IJN即可得；②IJ上取一點Q，使QI=QN，由Rt△IHM≌Rt△IJN知∠HIM=∠JIN=15176。，繼而可得∠NQJ=30176。，設NJ=x，則IQ=QN=2x、QJ=x，根據IJ=IQ+QJ求出x即可得；（3）由等邊三角形的性質、直角三角形的性質、勾股定理進行計算，畫出圖形即可．（1）證明：∵①對折矩形紙片ABCD(ABBC)，使AB與DC重合，得到折痕EF∴PB=PC∵沿折痕BG折疊紙片，使點C落在EF上的點P處∴PB=BC∴PB=PC=BC∴△PBC是正三角形：（2）證明：①如圖∵矩形AHIJ∴∠H=∠J=90176?！摺鱉NJ是等邊三角形∴MI=NI在Rt△MHI和Rt△JNI中 ∴Rt△MHI≌Rt△JNI（HL）∴HI=IJ②在線段IJ上取點Q，使IQ=NQ∵Rt△IHM≌Rt△IJN，∴∠HIM=∠JIN，∵∠HIJ=90176。、∠MIN=60176。，∴∠HIM=∠JIN=15176。，由QI=QN知∠JIN=∠QNI=15176。，∴∠NQJ=30176。，設NJ=x，則IQ=QN=2x，QJ=x，∵IJ=6cm，∴2x+x=6，∴x=126，即NJ=126（cm）．（3）分三種情況：①如圖：設等邊三角形的邊長為b，則0＜b≤6，則tan60176。=，∴a=，∴0＜b≤=；②如圖當DF與DC重合時，DF=DE=6，∴a=sin60176。DE==，當DE與DA重合時，a=，∴＜a＜；③如圖∵△DEF是等邊三角形∴∠FDC=30176?！郉F=∴a＞點睛：本題是四邊形的綜合題目，考查了折疊的性質、等邊三角形的判定與性質、旋轉的性質、直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的判定與性質等知識；本題綜合性強，難度較大．14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形OABC的頂點A在x軸的正半軸上，OA=4，OC=2，點D、E、F、G分別為邊OA、AB、BC、CO的中點，連結DE、EF、FG、GD．（1）若點C在y軸的正半軸上，當點B的坐標為（2，4）時，判斷四邊形DEFG的形狀，并說明理由.（2）若點C在第二象限運動，且四邊形DEFG為菱形時，求點四邊形OABC對角線OB長度的取值范圍.（3）若在點C的運動過程中，四邊形DEFG始終為正方形，當點C從X軸負半軸經過Y軸正半軸，運動至X軸正半軸時，直接寫出點B的運動路徑長.【答案】（1）正方形（2）（3）2π【解析】分析:（1）連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當點C在y軸上時，AC=，當點C在x軸上時，AC=6, 故可得結論；（3）根據題意計算弧長即可.詳解：（1）正方形，如圖1，證明連接OB，AC，說明OB⊥AC，OB=AC，可得四邊形DEFG是正方形.（2）如圖2，由四邊形DEFG是菱形，可得OB=AC，當點C在y軸上時，AC=，當點C在x軸上時，AC=6, ∴ ；（3）2π.如圖3，當四邊形DEFG是正方形時，OB⊥AC，且OB=AC，構造△OBE≌△ACO，可得B點在以E（0，4）為圓心，2為半徑的圓上運動.所以當C點從x軸負半軸到正半軸運動時，B點的運動路徑為2 .圖1 圖2 圖3點睛：本題主要考查了正方形的判定，.15．正方形ABCD的邊長為1，對角線AC與BD相交于點O，點E是AB邊上的一個動點（點E不與點A、B重合），CE與BD相交于點F，設線段BE的長度為x．（1）如圖1，當AD=2OF時，求出x的值；（2）如圖2，把線段CE繞點E順時針旋轉90176。，使點C落在點P處，連接AP，設△APE的面積為S，試求S與x的函數關系式并求出S的最大值．【答案】（1）x=﹣1；（2）S=﹣（x﹣）2+（0＜x＜1），當x=時，S的值最大，最大值為，．【解析】試題分析：（1）過O作OM∥AB交CE于點M，如圖1，由平行線等分線段定理得到CM=ME，根據三角形的中位線定理得到AE=2OM=2OF，得到OM=OF，于是得到BF=BE=x，求得OF=OM=解方程，即可得到結果；（2）過P作PG⊥AB交AB的延長線于G，如圖2，根據已知條件得到∠ECB=∠PEG，根據全等三角形的性質得到EB=PG=x，由三角形的面積公式得到S=（1﹣x）?x，根據二次函數的性質即可得到結論．試題解析：（1）過O作OM∥AB交CE于點M，如圖1，∵OA=OC，∴CM=ME，∴AE=2OM=2OF，∴OM=OF，∴，∴BF=BE=x，∴OF=OM=，∵AB=1，∴OB=，∴，∴x=﹣1；（2）過P作PG⊥AB交AB的延長線于G，如圖2，∵∠CEP=∠EBC=90176。，∴∠ECB=∠PEG，∵PE=EC，∠EGP=∠CBE=90176。，在△EPG與△CEB中，∴△EPG≌△CEB，∴EB=PG=x，∴AE=1﹣x，∴S=（1﹣x）?x=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+，（0＜x＜1），∵﹣＜0，∴當x=時，S的值最大，最大值為，．考點：四邊形綜合題