【正文】 意可得， ，因此需要進(jìn)行檢查。
此時(shí)：， 。
20.（12分） 已知橢圓C：（ab0），四點(diǎn)P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上. （1）求C的方程； （2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A，B兩點(diǎn)。若直線P2A與直線P2B的斜率的和為–1，證明：l過(guò)定點(diǎn). 解：（1） 根據(jù)橢圓對(duì)稱性可得，P1（1,1）P4（1，）不可能同時(shí)在橢圓上， P3（–1，），P4（1，）一定同時(shí)在橢圓上， 因此可得橢圓經(jīng)過(guò)P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）， 代入橢圓方程可得：， 故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：。
（2）由題意可得直線P2A與直線P2B的斜率一定存在， 不妨設(shè)直線P2A為：,P2B為：. 聯(lián)立， 假設(shè)，此時(shí)可得： ， 此時(shí)可求得直線的斜率為：， 化簡(jiǎn)可得，此時(shí)滿足。
當(dāng)時(shí)，AB兩點(diǎn)重合，不合題意。
當(dāng)時(shí)，直線方程為：， 即，當(dāng)時(shí)，因此直線恒過(guò)定點(diǎn)。
21.（12分） 已知函數(shù)ae2x+(a﹣2) ex﹣x. （1）討論的單調(diào)性； （2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍. 解： （1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得。
當(dāng)時(shí)，恒成立，故而函數(shù)恒遞減 當(dāng)時(shí)，故而可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增。
（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故而可得，此時(shí)函數(shù)有極小值， 要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即極小值小于0， 故而可得，令， 對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可得到，故而函數(shù)恒遞增， 又， 因此可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的范圍為。
（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。
22．[選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為 . （1）若a=?1，求C與l的交點(diǎn)坐標(biāo)； （2）若C上的點(diǎn)到l的距離的最大值為，求a. 解： 將曲線C 的參數(shù)方程化為直角方程為，直線化為直角方程為 （1）當(dāng)時(shí)，代入可得直線為，聯(lián)立曲線方程可得：， 解得或，故而交點(diǎn)為或 （2）點(diǎn)到直線的距離為， 即：， 化簡(jiǎn)可得， 根據(jù)輔助角公式可得， 又，解得或者。
23．[選修4—5：不等式選講]（10分） 已知函數(shù)f（x）=–x2+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│. （1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥g（x）的解集； （2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范圍. 解： 將函數(shù)化簡(jiǎn)可得 （1） 當(dāng)時(shí)，作出函數(shù)圖像可得的范圍在F和G點(diǎn)中間， 聯(lián)立可得點(diǎn)，因此可得解集為。
（2） 即在內(nèi)恒成立，故而可得恒成立， 根據(jù)圖像可得：函數(shù)必須在之間，故而可得。
理科數(shù)學(xué) 2020年高三2020年全國(guó)甲卷理科數(shù)學(xué) 理科數(shù)學(xué) 考試時(shí)間：____分鐘 題型 單選題 填空題 簡(jiǎn)答題 總分 得分 單選題 （本大題共12小題，每小題____分，共____分。） 1．( ) A. B. C. D. 2．設(shè)集合，．若，則( ) A. B. C. D. 3．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問(wèn)題：“遠(yuǎn)望巍巍塔七層，紅光點(diǎn)點(diǎn)倍加增，共燈三百八十一，請(qǐng)問(wèn)尖頭幾燈？”意思是：一座7層塔共掛了381盞燈，且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍，則塔的頂層共有燈( ) A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞 4．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為( ) A. B. C. D. 5．設(shè)，滿足約束條件，則的最小值是( ) A. B. C. D. 6．安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( ) A. 12種 B. 18種 C. 24種 D. 36種 7．甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問(wèn)成語(yǔ)競(jìng)賽的成績(jī)．老師說(shuō)：你們四人中有2位優(yōu)秀，2位良好，我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī)，給乙看丙的成績(jī)，給丁看甲的成績(jī)．看后甲對(duì)大家說(shuō)：我還是不知道我的成績(jī)．根據(jù)以上信息，則( ) A. 乙可以知道四人的成績(jī) B. 丁可以知道四人的成績(jī) C. 乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D. 乙、丁可以知道自己的成績(jī) 8．執(zhí)行右面的程序框圖，如果輸入的，則輸出的( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9．若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為( ) A. 2 B. C. D. 10．已知直三棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為( ) A. B. C. D. 11．若是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的極小值為( ) A. B. C. D. 1 12．已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點(diǎn)，則的最小是( ) A. B. C. D. 填空題 （本大題共4小題，每小題____分，共____分。） 13．一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取次，表示抽到的二等品件數(shù)，則____________． 14．函數(shù)的最大值是____________． 15．等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則____________． 16．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交軸于點(diǎn)．若為的中點(diǎn)，則____________． 簡(jiǎn)答題（綜合題） （本大題共7小題，每小題____分，共____分。） 17．（12分） 的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知． （1）求； （2）若，的面積為，求． 18．（12分） 海水養(yǎng)殖場(chǎng)進(jìn)行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對(duì)比，收獲時(shí)各隨機(jī)抽取了100 個(gè)網(wǎng)箱，測(cè)量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量（單位：kg）．其頻率分布直方圖如下： （1）設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨(dú)立，記A表示事件：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50kg，新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50kg”，估計(jì)A的概率； （2）填寫(xiě)下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認(rèn)為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān)： （3）根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖，求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計(jì)值（）． 附：， 19．（12分） 如圖，四棱錐PABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn)． （1）證明：直線平面PAB； （2）點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成角為，求二面角的余弦值． 20．（12分）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足． （1）求點(diǎn)P的軌跡方程； （2）設(shè)點(diǎn)Q在直線上，且．證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過(guò)C的左焦點(diǎn)F． 21．（12分） 已知函數(shù)，且． （1）求； （2）證明：存在唯一的極大值點(diǎn)，且． 所以． 22．選考題：共10分．請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修4―4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分） 在直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為． （1）M為曲線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在線段OM上，且滿足，求點(diǎn)P的軌跡的直角坐標(biāo)方程； （2）設(shè)點(diǎn)A的極坐標(biāo)為，點(diǎn)B在曲線上，求面積的最大值． 23．選考題：共10分．請(qǐng)考生在第223題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． [選修4—5：不等式選講]（10分） 已知．證明： （1）； （2）． 答案 單選題 1. D 2. C 3. B 4. B 5. A 6. D 7. D 8. B 9. A 10. C 11. A 12. B 填空題 13. 14. 1 15. 16. 6 簡(jiǎn)答題 17. （1） （2） 18. （1） （2）見(jiàn)解析 （3） 19. （1）見(jiàn)解析； （2） 20. （1）；（2）見(jiàn)解析 21. （1）；（2）見(jiàn)解析 22. （1）．（2） 23. （1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析 解析 單選題 1. 由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則有：，故選D. 2. 由得，即是方程的根，所以，故選C． 3. 設(shè)塔的頂層共有燈盞，則各層的燈數(shù)構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的求和公式有：，解得，即塔的頂層共有燈3盞，故選B． 4. 由題意，其體積，其體積，故該組合體的體積．故選B． 5. 繪制不等式組表示的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可得函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值，最小值為．故選A. 6. 由題意可得，一人完成兩項(xiàng)工作，其余兩人每人完成一項(xiàng)工作，據(jù)此可得，只要把工作分成三份：有種方法，然后進(jìn)行全排列，由乘法原理，不同的安排方式共有種． 故選D． 7. 四人所知只有自己看到，老師所說(shuō)及最后甲說(shuō)的話．甲不知自己成績(jī)→乙、丙中必有一優(yōu)一良，（若為兩優(yōu)，甲會(huì)知道自己成績(jī)；兩良亦然）→乙看了丙成績(jī)，知自己成績(jī)→丁看甲，甲、丁中也為一優(yōu)一良，丁知自己成績(jī)． 8. 閱讀程序框圖，初始化數(shù)值． 循環(huán)結(jié)果執(zhí)行如下： 第一次：； 第二次：； 第三次：； 第四次：； 第五次：； 第六次：； 結(jié)束循環(huán)，輸出．故選B． 9. 取漸近線，化成一般式，圓心到直線距離為 得，． 10. 如圖所示，補(bǔ)成直四棱柱， 則所求角為， 易得，因此，故選C． 11. ， 則， 則， 令，得或， 當(dāng)或時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 則極小值為． 12. 如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，所以，，所以， ，當(dāng)時(shí)，所求的最小值為，故選B． 填空題 13. 由題意可得，抽到二等品的件數(shù)符合二項(xiàng)分布，即，由二項(xiàng)分布的期望公式可得． 14. 化簡(jiǎn)三角函數(shù)的解析式，則 ，由可得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值1． 15. 設(shè)首項(xiàng)為，公差為． 則 求得，則， 16. 如圖所示，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限，設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，作與點(diǎn)，與點(diǎn)，由拋物線的解析式可得準(zhǔn)線方程為，則，在直角梯形中，中位線，由拋物線的定義有：，結(jié)合題意，有，故． 簡(jiǎn)答題 17. （1）依題得：． ∵， ∴， ∴， ∴， （2）由⑴可知． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. （1）記：“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于” 為事件 “新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于”為事件 而 （2） 由計(jì)算可得的觀測(cè)值為 ∵ ∴ ∴有以上的把握產(chǎn)量的養(yǎng)殖方法有關(guān)． （3）， ， ，∴中位數(shù)為． 19. （1）令中點(diǎn)為，連結(jié)，． ∵，為，中點(diǎn)，∴為的中位線，∴． 又∵，∴． 又∵，∴，∴． ∴四邊形為平行四邊形，∴． 又∵，∴ （2）取中點(diǎn)，連，由于為正三角形 ∴ 又∵平面平面，平面平面 ∴平面，連，四邊形為正方形。
∵平面，∴平面平面 而平面平面 過(guò)作，垂足為，∴平面 ∴為與平面所成角， ∴ 在中，∴， 設(shè)，， ∴，∴ 在中，∴ ∴， 以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為、軸建立空間直角坐標(biāo)系，， ， 設(shè)平面的法向量為，∴ ∴，而平面的法向量為 設(shè)二面角的大角為（為銳角） ∴ 20. （1）設(shè)，設(shè)，． 由得． 因?yàn)樵贑上，所以． 因此點(diǎn)P的軌跡方程為． （2）由題意知．設(shè)， 則，． 由得，又由（1）知，故， 所以，即． 又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過(guò)C的左焦點(diǎn)F． 21. （1）的定義域?yàn)?設(shè)，則等價(jià)于 因?yàn)?若a=1，＜x＜1時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)x＞1時(shí)，＞0，=1是的極小值點(diǎn)，故 綜上， ⑵ ，． 令，則，． 令得， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增． 所以，． 因?yàn)?，?所以在和上，即各有一個(gè)零點(diǎn)． 設(shè)在和上的零點(diǎn)分別為，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)減， 所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)減．因此，是的極大值點(diǎn)． 因?yàn)?，在上單調(diào)增，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)減，時(shí)，單調(diào)增，因此是的極小值點(diǎn)． 所以，有唯一的極大值點(diǎn)． 由前面的證明可知，則． 因?yàn)?，所以，則 又，因?yàn)?，所以?因此，． 22. ⑴設(shè) 則． 解得，化為直角坐標(biāo)系方程為． （2）設(shè)點(diǎn)B的極坐標(biāo)為,由題設(shè)知 ,于是△OAB面積 當(dāng)時(shí)，S取得最大值 所以△OAB面積的最大值為 23. （1） （2）因?yàn)? 所以，因此. 2020年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（全國(guó)卷3） 理科數(shù)學(xué) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
1．已知集合，則中元素的個(gè)數(shù)為 A．3 B．2 C．1 D．0 2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則 A． B． C． D．2 3．某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務(wù)質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬(wàn)人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖． 根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是 A．月接待游客量逐月增加 B．年接待游客量逐年增加 C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月 D．各年1月至6月的月接待游客量相對(duì)于7月至12月，波動(dòng)性更小，變化比較平穩(wěn) 4．的展開(kāi)式中的系數(shù)為（） A．80 B．40 C．40 D．80 5．已知雙曲線的一條漸近線方程為，且與橢圓有公共焦點(diǎn)．則的方程為（） A． B． C． D． 6．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（） A．的一個(gè)周期為 B．的圖像關(guān)于直線對(duì)稱 C．的一個(gè)零點(diǎn)為 D．在單調(diào)遞減 7．執(zhí)