相似三角形與圓的綜合題(編輯修改稿)
2024-11-17 22:13 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 從而證到△BCG∽△ACE．（3）由∠F=60176。，GF=1可求出CG=；連接BD，容易證到∠DBC=∠CBF，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得DC=CG=；設(shè)圓O的半徑為r，易證AC=AB，∠BAD=30176。，從而得到AC=2r，AD=r，由DC=ACAD=可求出⊙O的半徑長(zhǎng)．如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)．分析：（1）連接OC，證明∠OCP=90176。即可．（2）乘積的形式通?？梢赞D(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出．（3）可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過(guò)證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)．解答：（1）證明：連接OC．∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90176。，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90176。，∴PC是⊙O的切線．（2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，理由如下：連接AE．∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE?DF．（3）解：連接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90176。，在△OGA和△OHD中，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．同時(shí)考查了相似三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)．如圖，AB、AC分別是⊙O的直徑和弦，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，弦DE⊥AB分別交⊙O于E，交AB于H，交AC于F．P是ED延長(zhǎng)線上一點(diǎn)且PC=PF．(1)求證：PC是⊙O的切線；(2)點(diǎn)D在劣弧AC什么位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，為什么？(3)在(2)的條件下，若OH=1，AH=2，求弦AC的長(zhǎng)．（1）證明：連接OC．∵PC=PF，OA=OC，∴∠PCA=∠PFC，∠OCA=∠OAC，∵∠PFC=∠AFH，DE⊥AB，∴∠AHF=90176。，∴∠PCO=∠PCA+∠ACO=∠AFH+∠FAH=90176。，∴PC是⊙O的切線．（2）解：點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置時(shí)，才能使AD2=DE?DF，理由如下：連接AE．∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，∴∠DAF=∠DEA，∵∠ADE=∠ADE，∴△DAF∽△DEA，∴AD：ED=FD：AD，∴AD2=DE?DF．（3）解：連接OD交AC于G．∵OH=1，AH=2，∴OA=3，即可得OD=3，∴DH===2．∵點(diǎn)D在劣弧AC中點(diǎn)位置，∴AC⊥DO，∴∠OGA=∠OHD=90176。，在△OGA和△OHD中，∴△OGA≌△OHD（AAS），∴AG=DH，∴AC=4．解析：（1）連接OC，證明∠OCP=90176。即可．（2）乘積的形式通常可以轉(zhuǎn)化為比例的形式，通過(guò)證明三角形相似得出．（3）可以先根據(jù)勾股定理求出DH，再通過(guò)證明△OGA≌△OHD，得出AC=2AG=2DH，求出弦AC的長(zhǎng)。如圖，AB是⊙O的直徑，CB、CD分別切⊙O于B、D兩點(diǎn)，點(diǎn)E在CD的延長(zhǎng)線上，且CE=AE+BC；(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，連接BE交DF于點(diǎn)M，求證：DM=MF．證明：（1）連接OD，OE，∵CB、CD分別切⊙O于B、D兩點(diǎn)，∴∠ODE=90176。，CD=CE，∵CE=AE+BC，CE=CD+DE，∴AE=DE，∵OD=OA，OE=OE，∴△ODE≌△OAE（SSS），∴∠OAE=∠ODE=90176。，∴OA⊥AE，∴AE是⊙O的切線；（2）∵DF⊥AB，AE⊥AB，BC⊥AB，∴AE∥DF∥BC，∴△BMF∽△BEA，∴，∴，∴∵△EDM∽△ECB，∴，∴，∴DM=MF．解析：（1）首先連接OD，OE，由
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