【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 在實(shí)際中和常用到“百分點(diǎn)”這個(gè)概念，一個(gè)百分點(diǎn)就是1%，兩個(gè)百分點(diǎn)就是2%?！緮?shù)量關(guān)系】掌握“百分?jǐn)?shù)”.“標(biāo)準(zhǔn)量”“比較量”三者之間的數(shù)量關(guān)系：百分?jǐn)?shù)＝比較量247。標(biāo)準(zhǔn)量標(biāo)準(zhǔn)量＝比較量247。百分?jǐn)?shù)02解題思路和方法一般有三種基本類(lèi)型：（1）求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾；（2）已知一個(gè)數(shù)，求它的百分之幾是多少；（3）已知一個(gè)數(shù)的百分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)。例1：在植樹(shù)節(jié)里，某校六年級(jí)學(xué)生在校園內(nèi)種樹(shù)8棵，占全校植樹(shù)數(shù)的20%，則該校在植樹(shù)節(jié)里共植樹(shù)多少棵？解：已知六年級(jí)學(xué)生的種樹(shù)棵數(shù)以及所種棵數(shù)占全校植樹(shù)數(shù)的比值，直接用除法運(yùn)算即可。所以：8247。20%=40（棵）例2：商店新上架了一批連衣裙，第一天賣(mài)出總數(shù)的25%，第二天賣(mài)出45件，第三天賣(mài)出的是前兩天賣(mài)出的總和的三分一，最后剩下20件，則商店原先進(jìn)了多少件連衣裙？解：“1”，已知第三天賣(mài)出的是前兩天賣(mài)出的總和的三分之一，也就是第三天賣(mài)出了25%的和45的，由此可以求出與（45+45+20）對(duì)應(yīng)的分率。，求這個(gè)數(shù)，用除法解答。（45+45+20）247。（125%25%）=120（件）例3：一堆圍棋子黑白兩種顏色，拿走15枚白棋子后，白子占總數(shù)的40%；再拿走49枚黑棋子后，白子占總數(shù)的75%，則原來(lái)這堆棋子一共有多少枚？解：，解決本題的關(guān)鍵是當(dāng)一種棋子變化時(shí)，抓住另一種棋子的數(shù)量不變，統(tǒng)一不變量的份數(shù)，進(jìn)而解決問(wèn)題。，當(dāng)拿走49枚黑子時(shí)，此時(shí)白子的數(shù)量沒(méi)有變化，那么拿走49枚黑子前，黑子與白子的數(shù)量比為（140%）：40%=3：2=9：6，拿走49枚黑子后，黑子與白子的數(shù)量比為（175%）：75%=1：3=2：6，所以拿走的49枚黑子相當(dāng)于92=7（份），故每一份是49247。7=7（枚）棋子，黑子有79=63（枚），白子有76=42（枚）。，由“拿走15枚白棋子”可知，黑子的數(shù)量沒(méi)有變化，所以原來(lái)黑子有63枚，白子有42+15=57（枚），那么原來(lái)這堆棋子一共有63+57=120（枚）棋子。03知識(shí)補(bǔ)充百分?jǐn)?shù)又叫百分率，百分率在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中應(yīng)用很廣泛，常見(jiàn)的百分率有：★增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)247。原來(lái)基數(shù)100%★合格率＝合格產(chǎn)品數(shù)247。產(chǎn)品總數(shù)100%★出勤率＝實(shí)際出勤人數(shù)247。應(yīng)出勤人數(shù)100%★出勤率＝實(shí)際出勤天數(shù)247。應(yīng)出勤天數(shù)100%★缺席率＝缺席人數(shù)247。實(shí)有總?cè)藬?shù)100%★發(fā)芽率＝發(fā)芽種子數(shù)247。試驗(yàn)種子總數(shù)100%★成活率＝成活棵數(shù)247。種植總棵數(shù)100%★出粉率＝面粉重量247。小麥重量100%★出油率＝油的重量247。油料重量100%★廢品率＝廢品數(shù)量247。全部產(chǎn)品數(shù)量100%★命中率＝命中次數(shù)247?？偞螖?shù)100%★烘干率＝烘干后重量247。烘前重量100%方陣問(wèn)題【含義】將若干人或物依一定條件排成正方形（簡(jiǎn)稱(chēng)方陣）。根據(jù)已知條件求總?cè)藬?shù)或總物數(shù)，這類(lèi)問(wèn)題就叫做方陣問(wèn)題?！緮?shù)量關(guān)系】（1）方陣每邊人數(shù)與四周人數(shù)的關(guān)系：四周人數(shù)＝（每邊人數(shù)－1）4每邊人數(shù)＝四周人數(shù)247。4＋1（2）方陣總?cè)藬?shù)的求法：實(shí)心方陣：總?cè)藬?shù)＝每邊人數(shù)每邊人數(shù)空心方陣：總?cè)藬?shù)＝外每邊的人數(shù)平方－內(nèi)每邊的人數(shù)平方內(nèi)每邊人數(shù)＝外每邊人數(shù)－層數(shù)2（3）若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4解題思路和方法方陣問(wèn)題有實(shí)心與空心兩種。實(shí)心方陣的求法是以每邊的數(shù)自乘；空心方陣的變化較多，其解答方法應(yīng)根據(jù)具體情況確定。例1：佳一學(xué)校參加運(yùn)動(dòng)會(huì)團(tuán)體操比賽的運(yùn)動(dòng)員排成了一個(gè)正方形隊(duì)列。如果要使這個(gè)正方形隊(duì)列減少一行和一列，則要減少23人。那么參加團(tuán)體操表演的運(yùn)動(dòng)員一共有多少人？解：，只需要找到最外層每邊有多少人即可。，減去一行和一列，就是去掉了兩條邊上的人數(shù)，其中頂點(diǎn)上的人數(shù)計(jì)算了兩次，所以減少的人數(shù)=每邊的人數(shù)21。所以開(kāi)始每邊有（23+1）247。2=12（人），參加表演的有1212=144（人）。例2：歡歡用圍棋子圍成一個(gè)三層空心方陣，最外一層每邊有圍棋子16枚，歡歡擺這個(gè)方陣共用了多少枚圍棋子？解法1：，根據(jù)四周的枚數(shù)和每邊上的枚數(shù)之間的關(guān)系，算出每一層的棋子數(shù)。，每邊的枚數(shù)就減少2枚。知道最外一層每邊放16枚，就可求出第二層及第三層每邊枚數(shù)，知道各層每邊的枚數(shù)，就可以求出各層的總數(shù)。最外一層的棋子的枚數(shù)：（161）4=60（枚），第二層棋子的枚數(shù)：（1621）4=52（枚），第三層棋子的枚數(shù)：（162214=114=44（枚），擺這個(gè)方陣共用了60+52+44=156（枚）棋子。解法2:若將空心方陣分成四個(gè)相等的矩形計(jì)算，則：總?cè)藬?shù)＝（每邊人數(shù)－層數(shù)）層數(shù)4。則：（163）34=156(枚)例3：一個(gè)實(shí)心方陣由81人組成，這個(gè)方陣的最外層有多少人？解：方陣的行數(shù)和列數(shù)相同，99=81，所以這是一個(gè)9行9列的方陣。最外層人數(shù)與一邊人數(shù)的關(guān)系：一邊人數(shù)44=一層人數(shù)。所以最外層的人數(shù)是944=32(人)。例4：明明在一個(gè)用棋子排成的實(shí)心方陣的下面和右面各多排一排棋子，一共用了23個(gè)棋子，這樣排成了一個(gè)新方陣，他又把這個(gè)新方陣改排成一個(gè)4層的空心陣，這個(gè)方陣最外層每邊有多少個(gè)棋子？解：，排成的這個(gè)新方陣的每邊棋子數(shù)是（23+1）247。2=12（個(gè)）,那么這個(gè)實(shí)心方陣的棋子總數(shù)是1212=144（個(gè)）。，每相鄰的兩層的棋子數(shù)相差8的關(guān)系，我們可以找出等量關(guān)系，列方程解決。設(shè)最外層有x個(gè)棋子，則從外到內(nèi)每層的棋子數(shù)分別是（x8）個(gè).（x16）個(gè).（x24）個(gè)。則：x+x8+x16+x24=144，x=48所以這個(gè)方陣最外層每邊有48247。4+1=13（個(gè)）棋子。01牛吃草問(wèn)題【含義】“牛吃草”問(wèn)題是大科學(xué)家牛頓提出的問(wèn)題，也叫“牛頓問(wèn)題”。這類(lèi)問(wèn)題的特點(diǎn)在于要考慮草邊吃邊長(zhǎng)這個(gè)因素。【數(shù)量關(guān)系】草總量＝原有草量＋草每天生長(zhǎng)量天數(shù)02解題思路和方法解這類(lèi)題的關(guān)鍵是求出草每天的生長(zhǎng)量。例1：這是一片新鮮的牧場(chǎng)，現(xiàn)有400份草，每天都均勻地生長(zhǎng)6份草。若一開(kāi)始放26頭奶牛，每頭奶牛每天吃1份草。這片牧場(chǎng)的草夠奶牛吃多少天？解：。解決本題的關(guān)鍵是要求出每天新增加的草量，在所求的問(wèn)題中，讓幾頭牛專(zhuān)吃新長(zhǎng)出的草，其余的牛吃原有的草。：原有的草量+新長(zhǎng)的草量=總的草量。奶牛除了要吃掉原有的草，也要吃掉新長(zhǎng)的草。原有的草量是不變的，每天新長(zhǎng)的草量是勻速的，每天都長(zhǎng)6份，每頭奶牛每天吃1份，新長(zhǎng)的草剛好夠6頭奶牛吃的量。那么剩下的20頭奶牛吃的就是原有的草，每天吃20份，400247。20=20（天），夠吃20天。例2：一水庫(kù)原有存水量一定，河水每天均勻入庫(kù)。5臺(tái)抽水機(jī)連續(xù)20天可抽干；6臺(tái)同樣的抽水機(jī)連續(xù)15天可抽干。若要求6天抽干，需要多少臺(tái)同樣的抽水機(jī)？解：設(shè)每臺(tái)抽水機(jī)每天可抽1份水。5臺(tái)抽水機(jī)20天抽水：520=100（份）6臺(tái)抽水機(jī)15天抽水：615=90（份）每天入庫(kù)的水量：（10090）247。（2015）=2（份）原有的存水量：100202=60（份）需抽水機(jī)臺(tái)數(shù)：60247。6+2=12（臺(tái)）答：要求6天抽干，需要12臺(tái)同樣的抽水機(jī)。例3：某車(chē)站在檢票前若干分鐘就開(kāi)始排隊(duì)，每分鐘來(lái)的旅客人數(shù)一樣多。從開(kāi)始檢票到等候檢票的隊(duì)伍消失，同時(shí)開(kāi)4個(gè)檢票口需30分鐘，同時(shí)開(kāi)5個(gè)檢票口需20分鐘。如果同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，那么需多少分鐘？解：，“旅客”相當(dāng)于“草”，檢票口相當(dāng)于“?！?。，旅客總數(shù)由兩部分組成：一部分是開(kāi)始檢票前已經(jīng)排隊(duì)的原有旅客，另一部分是開(kāi)始檢票后新來(lái)的旅客。設(shè)1個(gè)檢票口1分鐘檢票的人數(shù)為1份。那么4個(gè)檢票口30分鐘檢票430=120（份），5個(gè)檢票口20分鐘檢票520=100（份），多花了10分鐘多檢了120100=20（份）那么每分鐘新增顧客數(shù)量為：20247。10=2（份）。那么原有顧客總量為：120302=60（份）。同時(shí)打開(kāi)7個(gè)檢票口，我們可以讓2個(gè)檢票口專(zhuān)門(mén)通過(guò)新來(lái)的顧客，其余的5個(gè)檢票口通過(guò)原來(lái)的顧客，需要60247。5=12（分鐘）。01雞兔同籠問(wèn)題【含義】這是古典的算術(shù)問(wèn)題。，叫做第一雞兔同籠問(wèn)題。已知雞兔的總數(shù)和雞腳與兔腳的差?！緮?shù)量關(guān)系】第一雞兔同籠問(wèn)題：?假設(shè)全都是雞，則有兔數(shù)＝（實(shí)際腳數(shù)－2雞兔總數(shù)）247。（4－2）?假設(shè)全都是兔，則有雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)－實(shí)際腳數(shù)）247。（4－2）第二雞兔同籠問(wèn)題：?假設(shè)全是雞，則有兔數(shù)＝（2雞兔總數(shù)－雞與兔腳之差）247。（4＋2）?假設(shè)全是兔，則有雞數(shù)＝（4雞兔總數(shù)＋雞與兔腳之差）247。（4＋2）02解題思路和方法解此類(lèi)題目一般都用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，也可以假設(shè)都是兔。如果先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞；如果先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。這類(lèi)問(wèn)題也叫置換問(wèn)題。通過(guò)先假設(shè)，再置換，使問(wèn)題得到解決。例1：雞和兔在一個(gè)籠子里，共有35個(gè)頭，94只腳，那么雞有多少只，兔有多少只？假設(shè)籠子里全部都是雞，每只雞有2只腳，那么一共應(yīng)該有352=70（只）腳，而實(shí)際有94只腳，這多出來(lái)的腳就是把兔子當(dāng)作雞多出來(lái)的，每只兔子比雞多2只腳，一共多了9470=24（只），則兔子有24247。2=12（只），那么雞有3512=23（只）。例2：動(dòng)物園里有鴕鳥(niǎo)和長(zhǎng)頸鹿共70只，其中鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只，那么鴕鳥(niǎo)有多少只，長(zhǎng)頸鹿有多少只？解：假設(shè)全部都是鴕鳥(niǎo)，則一共有702=140（只）腳，此時(shí)長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)是0，鴕鳥(niǎo)腳比長(zhǎng)頸鹿腳多140只，而實(shí)際上鴕鳥(niǎo)的腳比長(zhǎng)頸鹿多80只。因此鴕鳥(niǎo)腳與長(zhǎng)頸鹿腳的差數(shù)多了14080=60（只），這是因?yàn)榘哑渲械拈L(zhǎng)頸鹿換成了鴕鳥(niǎo)。把每一只長(zhǎng)頸鹿換成鴕鳥(niǎo)，鴕鳥(niǎo)的腳數(shù)將增加2只，長(zhǎng)頸鹿的腳數(shù)減少4只，那么鴕鳥(niǎo)腳數(shù)與長(zhǎng)頸鹿腳數(shù)的差就增加了6只，所以換成鴕鳥(niǎo)的長(zhǎng)頸鹿有60247。6=10（只），鴕鳥(niǎo)有7010=60（只）。例3：李阿姨的農(nóng)場(chǎng)里養(yǎng)了一批雞和兔，共有144條腿，如果雞數(shù)和兔數(shù)互換，那么共有腿156條。雞和兔一共有多少只？解：根據(jù)題意可得：前后雞的總只數(shù)=前后兔的總只數(shù)。把1只雞和1只兔子看做一組，共有6條腿。前后雞和兔的總腿數(shù)有144+156=300（條）所以共有300247。6=50（組），也就是雞和兔的總只數(shù)有50只。例4：一次數(shù)學(xué)考試，只有20道題。做對(duì)一題加5分，做錯(cuò)一題倒扣3分（不做算錯(cuò)）。樂(lè)樂(lè)這次考試得了84分，那么樂(lè)樂(lè)做對(duì)了多少道題？解：如果20題全部做對(duì)，應(yīng)該得205=100（分），而實(shí)際得了84分，少了10084=16（分）。做錯(cuò)一題和做對(duì)一題之間，相差5+3=8（分），所以少了的16分，也就是做錯(cuò)了16247。8=2（題）。一共20題，所以樂(lè)樂(lè)做對(duì)了202=18（題）。01抽屜問(wèn)題【含義】在數(shù)學(xué)問(wèn)題中有一類(lèi)與“存在性”有關(guān)的問(wèn)題，如367個(gè)人中至少有兩個(gè)人是同一天過(guò)生日，這類(lèi)問(wèn)題在生活中非常常見(jiàn)。它所依據(jù)的理論，我們稱(chēng)之為“抽屜原理”。抽屜原理又名狄利克雷原則，是符合某種條件的對(duì)象存在性問(wèn)題有力工具?！緮?shù)量關(guān)系】基本的抽屜原則是：如果把n＋1個(gè)物體（也叫元素）放到n個(gè)抽屜中，那么至少有一個(gè)抽屜中放著2個(gè)或更多的物體（元素）。抽屜原則可以推廣為：如果有m個(gè)抽屜，元素的個(gè)數(shù)是抽屜個(gè)數(shù)的k倍多一些，那么至少有一個(gè)抽屜要放（k＋1）個(gè)或更多的元素。02解題思路和方法目前,處理抽屜原理問(wèn)題最基本和常用的方法是運(yùn)用“最不利原則”,構(gòu)造“最不利”“點(diǎn)最背”的情形。例1：，一次至少摸出多少個(gè)球才能保證摸出兩個(gè)相同顏色的球？解：解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利的情況，因?yàn)橛?種顏色，想要摸出兩個(gè)相同顏色的球。那么最不利的情況就是，每種顏色的各摸出一個(gè)，這時(shí)再摸一個(gè)球，一定與前幾個(gè)球有顏色相同的。因此至少要摸4+1=5(個(gè))球。例2：袋子中有2個(gè)紅球，3個(gè)黃球，4個(gè)藍(lán)球，5個(gè)綠球，一次至少摸出多少個(gè)球就能保證摸到兩種顏色的球？解：解決這個(gè)問(wèn)題要考慮最不利情況，想要摸出兩種顏色的球。最不利的情況應(yīng)該是將一種顏色的球都拿出來(lái)時(shí)，不論接下來(lái)摸的球是什么顏色都與之前顏色不同。因?yàn)?種球的個(gè)數(shù)各不相同。所以最不利的情況應(yīng)該是先將個(gè)數(shù)最多的球都拿出來(lái)，接下來(lái)摸的球都一定與之前顏色不同。因此至少摸出5+1=6(個(gè))球例3：一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽共5道選擇題，評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)為：基礎(chǔ)分5分，答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)扣1分，不答不得分。要保證至少有4人得分相同，最少需要多少人參加競(jìng)賽？解：，解決本題的關(guān)鍵是要知道得分一共有多少種不同的情況。進(jìn)而從最壞的情況開(kāi)始考慮解決問(wèn)題。，且有5分的基礎(chǔ)分，那么每道題就有1分的基礎(chǔ)分。也就相當(dāng)于答對(duì)一題得4分，答錯(cuò)不得分，不答得1分。這次數(shù)學(xué)競(jìng)賽的得分情況有以下幾種：5題全對(duì)的只有1種情況：得20分；對(duì)4題的有2種情況：1題答錯(cuò)得16分，1題沒(méi)答得17分；對(duì)3題的有3種情況：2題全錯(cuò)得12分，只錯(cuò)1題得13分，2題不做得14分；對(duì)2題的有4種情況：3題全錯(cuò)得8分，只錯(cuò)2題得9分，只錯(cuò)1題得10分；3題全不答得11分；對(duì)1題的有5種情況：4題全錯(cuò)得4分，只錯(cuò)3題得5分，只錯(cuò)2題得6分，只錯(cuò)1題得7分，4題全不答得8分；答對(duì)0題有6種情況：5題全錯(cuò)得0分；錯(cuò)4題得1分，錯(cuò)3題得2分，錯(cuò)2題得3分，錯(cuò)1題得4分，5題全不答得5分。我們發(fā)現(xiàn)從0分到20分，其它都有。所以一共有20+13=18（種）不同的得分，要保證有四人得分相同。最少需要183+1=55（人）參加競(jìng)賽。01濃度問(wèn)題【含義】在生產(chǎn)和生活中，我們經(jīng)常會(huì)遇到溶液濃度問(wèn)題。這類(lèi)問(wèn)題研究的主要是溶劑（水或其它液體）.。例如，水是一種溶劑，被溶解的東西叫溶質(zhì)，溶解后