數(shù)學(xué)大學(xué)中常用不等式(編輯修改稿)
2024-11-08 01:13 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 中值定理是微積分學(xué)中的一個重要定理，在研究生入學(xué)考試中，幾乎每年都會有與中值定理相關(guān)的證明題．不等式就是其中一項。下面就考研數(shù)學(xué)中的不等式證明談一下中值定理的應(yīng)用． 在不等式的證明中，利用函數(shù)的單調(diào)性，構(gòu)造輔助函數(shù)是一種常用并且非常有效的方法．但是，有時這種方法非常繁瑣．巧用中值定理可以使一些不等式的證明過程得到簡化．下面就歷年考研數(shù)學(xué)中的不等式證明題談一下．例1（1993年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）(2)設(shè)bae，證明ab baxa對此不等式的證明，一般我們會想到構(gòu)造輔助函數(shù)，f(x)=ax，f(a)=0，然后證明在xa時，f162。(x)0．這個想法看似簡單，而實際過程非常繁瑣，有興趣的讀者可以試著證明一下．下面筆者給出幾個簡便的證明．證：Ⅰ利用拉格朗日中值定理：abba219。balogab219。balnb lnalnblna lnalnblnalna219。 baa1162。xlna，其中eaxb219。lna219。baa219。1x1lna，其中eaxb． a原命題得證．證：Ⅱ 利用微分中值定理，abpe219。blnaalnb219。219。219。219。219。blnb alnablnblna1 alnab1b1ln alnaab1b1(lnln1)alnaablnln1lna（微分中值定理）1a219。1xlna，（1xb）a原命題得證．證明Ⅲ 利用冪級數(shù)展開：設(shè)b=a+x，原不等式等價于aa+xa (a+x)a219。aaax(a+)xx219。a(1+而 xa)，aln2a2a=1+lnax+x+2!xlnnan+x+n!，xxa(a1)x2a(a1)(an+1)xn(1+)a=1+a+()++()+． aa2!an!aa(a1)(an+1)n由于x0，ae，所以lna1，lna．通過比較以上兩個級數(shù)可知原na不等式成立．對于不等式a(1+一下．例2（1992年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)(一)試卷第六題）xxa)的證明仍可以利用拉格朗日中值定理證明，有興趣的讀者可以自己證a設(shè)f162。162。(x)0，f(0)=0，證明對任何x10,x20，有f(x1+x2)f(x1)+f(x2)． 證：不妨設(shè)x1x2，f(x1+x2)f(x1)+f(x2)219。f(x1+x2)f(x2)f(x1)f(x1+x2)f(x2)f(x1)f(0)(x1+x2)(x2)x10219。219。f162。(x1)f162。(x2)，x2x1x1+x2，0x2x1x2，顯然x2x1，而f162。162。(x)0，所以f162
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