【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 =[]ms2,c=2kms,T1=,T2=13kN.。著陸器初始位置矢量r0= [1500,600, 800] m，初始速度矢量v0= [30, 10, 40]m/s，傾角qalt=86176。二階錐優(yōu)化問題可以通過大量免費(fèi)的優(yōu)化工具求解，如 CSDP、DSDP、OpenOpt、SeDuMi、SDPA、SDPLR等。本文選用 SDPT3 進(jìn)行計(jì)算，通過執(zhí)行線性搜索確定燃料最優(yōu)下降時(shí)間tf為 43s，圖 1 給出了相應(yīng)的最優(yōu)著陸軌跡、下降速度、加速度、控制推力、推力幅值以及探測(cè)器質(zhì)量變化曲線。由優(yōu)化結(jié)果可以看出，探測(cè)器在給定時(shí)間飛行并軟著陸到指定位置，且在整個(gè)下降過程始終與火星地表保持一定的安全距離，驗(yàn)證了下降傾角約束的有效性。其推力幅值曲線呈現(xiàn)“最大最小最大”的最優(yōu)控制形式，不過為了保持發(fā)動(dòng)機(jī)始終處于點(diǎn)火狀態(tài)，在中間段對(duì)應(yīng)最小推力約束，這與文獻(xiàn)中的分析結(jié)論一致。此外，通過利用如 TOMLAB 等商業(yè)最優(yōu)控制軟件進(jìn)行復(fù)核計(jì)算，也驗(yàn)證了此計(jì)算結(jié)果的燃料最優(yōu)性能。*圖 1 給定初始條件下火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)計(jì)算結(jié)果需要注意到，此燃料最優(yōu)軌跡的獲取對(duì)著陸器的實(shí)時(shí)在線計(jì)算性能提出了較高的要求，經(jīng)測(cè)試，無論使用何種優(yōu)化工具，計(jì)算給定飛行任務(wù)時(shí)間的最優(yōu)軌跡均需數(shù)秒，而全局最優(yōu)則需要數(shù)十秒甚至更長(zhǎng)，這在實(shí)際任務(wù)中是不允許的。因此，可行的方案是通過在地面計(jì)算大量的燃料最優(yōu)軌跡，并尋找規(guī)律，選取關(guān)鍵路徑點(diǎn)狀態(tài)存儲(chǔ)到著陸器計(jì)算機(jī)中，通過在線查表或者在利用對(duì)計(jì)算量要求較小的反饋制導(dǎo)律完成安全著陸任務(wù)。因此，為了研究探測(cè)器燃料最優(yōu)軌跡特性，選取相同的探測(cè)器參數(shù)，暫不考慮推力器最小幅值約束和傾斜角約束（但考慮地表約束），固定初始高度為 1500m，初始位置水平方向從8000m 到 8000m 內(nèi)取值，分別選取各種不同的初始速度，可得燃料最優(yōu)精確著陸軌跡簇如圖 2 所示。圖 2 各種不同初始速度對(duì)應(yīng)的火星著陸器動(dòng)力下降段燃料最優(yōu)軌跡簇1)對(duì)任意探測(cè)器初始位置，特定初始速度對(duì)應(yīng)的燃料最優(yōu)著陸軌跡在末端必然收斂到一個(gè)固定的近似圓錐體內(nèi)。2)取決于探測(cè)器初始位置和速度的關(guān)系，燃料最優(yōu)軌跡有兩種形式：S 型和 C 型，其中 S 型主要對(duì)應(yīng)于期望著陸點(diǎn)位置水平距離較大情況。3)當(dāng)探測(cè)器初始水平速度為零時(shí)，圓錐體軸線垂直于火星地表，所有最優(yōu)軌線關(guān)于該軸線中心對(duì)稱。4)初始速度的大小也直接影響到任務(wù)的可靠性，因此需要在超聲速進(jìn)入段和降落傘減速段將著陸器速度下降到合理范圍內(nèi)。上述結(jié)論對(duì)上注探測(cè)器關(guān)鍵點(diǎn)的選取有著較強(qiáng)的指導(dǎo)意義，比如基于最優(yōu)軌線的斜率對(duì)路徑點(diǎn)合并、基于最優(yōu)軌線簇的對(duì)稱性對(duì)上注軌線進(jìn)行等效延伸、或者嘗試僅將 S 型和 C 型的轉(zhuǎn)折點(diǎn)作為路徑點(diǎn)等，這樣可以大大降低探測(cè)器自主存儲(chǔ)與計(jì)算需求，進(jìn)而有效提升任務(wù)的可靠性。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程對(duì)于最終著陸點(diǎn)，假設(shè)探測(cè)器的下降軌跡在一平面內(nèi)，且月球引力場(chǎng)為垂直于月面XY的均勻引力場(chǎng)，引力加速度g沿Z，如圖1所示，制動(dòng)推力方向沿探測(cè)器的本體軸z。重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中探測(cè)器質(zhì)心動(dòng)力學(xué)方程可表示為上式中各變量的物理意義如圖1中所示，其中m0為探測(cè)器質(zhì)量；k0為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；u表示制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的秒耗量可通過一定的機(jī)構(gòu)加以調(diào)節(jié)，故作為軟著陸問題的控制變量。假定制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)的最大推力與初始質(zhì)量比大于月面引力加速度，并且制動(dòng)推進(jìn)系統(tǒng)能夠在一定的初始條件下將探測(cè)器停止月面上。重力轉(zhuǎn)彎過程中，探測(cè)器的高度、速度和姿態(tài)角度可由雷達(dá)高度表、多普勒雷達(dá)及慣性儀表測(cè)得。令軟著陸初始條件探測(cè)器到達(dá)月面時(shí)速度減小到給定的值，故終端條件自由。軟著陸燃耗最優(yōu)問題的描述 對(duì)于最終著陸段，可假設(shè)為一小角度。由此可將系統(tǒng)方程（1）化簡(jiǎn)為要設(shè)計(jì)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)軟著陸，就是使著陸時(shí)間對(duì)于月球軟著陸的燃耗最優(yōu)控制問題，其性能指標(biāo)可表示為對(duì)于系統(tǒng)（2）的軟著陸過程，燃耗最優(yōu)問題等價(jià)于著陸時(shí)間最優(yōu)問題，性能指標(biāo)為在月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸過程中，如果存在一個(gè)推力控制程序?qū)⑻綔y(cè)器從初始條件轉(zhuǎn)移到終端條件，并使性能指標(biāo)（3）或（4）式最大，則稱這個(gè)推力程序?yàn)檐浿懭己淖顑?yōu)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)律。根據(jù)pontryagin極大值原理，系統(tǒng)的哈密頓函數(shù)及其對(duì)u的偏導(dǎo)數(shù)為使哈密頓函數(shù)（5）式達(dá)到極大地控制輸入u就是最優(yōu)控制，科表示為。如果存在一個(gè)有限區(qū)間則最優(yōu)控制u（t）取值不能由哈密頓函數(shù)確定。此時(shí)如果最優(yōu)解存在，則稱為奇異解，（8）式稱為奇異條件。最優(yōu)制導(dǎo)問題的性質(zhì)：1）對(duì)于自治系統(tǒng)（2）的時(shí)間最優(yōu)控制問題，沿最優(yōu)軌跡其哈密頓函數(shù)滿足將其對(duì)時(shí)間求導(dǎo)并將（2c）和（6c）式代入，得另外，由于自由，根據(jù)橫截條件有3）根據(jù)（6a）式。又由（9）式可得T（t）=0，4）根據(jù)極大值原理，系統(tǒng)的狀態(tài)變量和共軛變量都是時(shí)間的連續(xù)可微函數(shù)，將切換函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，利用（2），（6）式和性質(zhì)2）得 軟著陸最優(yōu)控制中奇異條件的分析對(duì)于月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸問題，最優(yōu)制導(dǎo)律具有兩個(gè)很好的性質(zhì)。定理一。月球重力轉(zhuǎn)彎軟著陸系統(tǒng)（2）的燃耗最優(yōu)制導(dǎo)或時(shí)間最優(yōu)制導(dǎo)問題不存在奇異條件。證明。用反證法，假設(shè)存在奇異條件，則在某個(gè)閉區(qū)間設(shè)，并由（5）式得。根據(jù)反正假將（10）式兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，并將（2）和（6）式代入化簡(jiǎn)得性質(zhì)2），下面證明這兩種情形均與反證假設(shè)矛盾。根據(jù)式及性質(zhì)2）可知，由性質(zhì)3）必有根據(jù)是時(shí)間t的斜率非零的線性函數(shù)，）若定，根據(jù)橫截條件有在區(qū)間內(nèi)為常數(shù)。這與反證假設(shè)矛盾。下面再分三種情況進(jìn)行分析。又因?yàn)椴慌c此時(shí)由（6b）式有反證假設(shè)矛盾。2）若盾。3），與反證假設(shè)矛又因?yàn)橐虼擞谐闪?，這與此時(shí)（10）式在上根據(jù)定理一，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸的最優(yōu)制導(dǎo)律是一種開關(guān)（BangBang）控制，只須控制發(fā)動(dòng)機(jī)開關(guān)，不需要調(diào)節(jié)推力的大小。，其開關(guān)控制器的最優(yōu)推力程序（7）最多進(jìn)行一次切換。證明。只要證明最多只在一個(gè)時(shí)間點(diǎn)成立即可。軟著陸系統(tǒng)（2）在最優(yōu)推力控制程序（7）的作用下，按最后軌跡降落。由性質(zhì)3）知，為常數(shù)。根據(jù)性質(zhì)4），若嚴(yán)格單調(diào)，因而在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，即至多進(jìn)行一次切換；若，則上為常數(shù)。由定理1，5 軟著陸最優(yōu)開關(guān)制導(dǎo)律不可能在任何區(qū)間上成立，故必有既沒有切換點(diǎn)。對(duì)于最優(yōu)推力控制程序（7），其切換函數(shù)中含有共軛變量，它是一個(gè)關(guān)于狀態(tài)變量的穩(wěn)式表達(dá)式。為實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)制導(dǎo)，需求出關(guān)于狀態(tài)變量的切換函數(shù)來。根據(jù)定理一和定理二，重力轉(zhuǎn)彎軟著陸最優(yōu)控制程序沒有奇異值狀態(tài)，并且在著陸過程中最多切換一次，其工作方式有4種：1）全開；2）全關(guān)；3）先開有關(guān)；4）先關(guān)后開。對(duì)于方式1）軟著陸起始點(diǎn)即是開機(jī)點(diǎn)；方式2），3）不能實(shí)現(xiàn)軟著陸；最后一種是通常情況下的最優(yōu)著陸方式，即探測(cè)器先做無制動(dòng)下降，然后打開發(fā)動(dòng)機(jī)軟著陸到月面。設(shè)開機(jī)時(shí)刻為到發(fā)動(dòng)機(jī)工作時(shí)間為式，在區(qū)間內(nèi)積分，并考慮將（11）式中的對(duì)數(shù)按泰勒展開，忽略并令消掉T得到切換函數(shù)為由切換函數(shù)（12）式可以看出，速度、位置的誤差和制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推動(dòng)的將直接影響著陸的效果。一種方法是將終端高度從到達(dá)月面時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸設(shè)置為離月面還有幾米時(shí)實(shí)現(xiàn)軟著陸。另一種方法是考慮制動(dòng)過程由一個(gè)主發(fā)動(dòng)機(jī)和一組小推力發(fā)動(dòng)機(jī)共同完成，通過調(diào)整開啟的小發(fā)動(dòng)機(jī)的數(shù)量，來實(shí)現(xiàn)變推力降落。具體地，令切換函數(shù)為式中各符號(hào)的含義如圖2所示關(guān)機(jī)點(diǎn)可取為2m,可取為20m，可取為1m/s。為實(shí)現(xiàn)著陸的最優(yōu)性，減速度取為其中T如（12）式中所示，m0為探測(cè)器的初始質(zhì)量。圖三為最優(yōu)著陸過程與其改進(jìn)方法按圖2降落的次優(yōu)著陸過程的對(duì)比圖。由此圖中可看出，改進(jìn)方法提高了著陸的安全性，當(dāng)探測(cè)器的初始質(zhì)量mo=350kg。時(shí)，改進(jìn)方法比最優(yōu)（a）（b）問題三 協(xié)方差分析方法的基本原理 對(duì)于如下非線性函數(shù)關(guān)系y=f(x1,x2LLxn)（1）可以使用一階泰勒級(jí)數(shù)展開對(duì)其進(jìn)行線性化，有y+Dy=f+182。f182。fDx1+L+Dxn+O(x1Lxn)（2）182。x1182。xn其中，O(x1LLxn)為x1LLxn的高階項(xiàng)。從而得到線性化方程dy=S182。fdxi（3）i=1182。xin或表示為dY=PdX(4)這里 P 是偏導(dǎo)數(shù)矩陣: Pi=182。f（5）182。xi若自變量dx1LLdxn是隨機(jī)變量，則線性化方程的函數(shù)dy的協(xié)方差矩陣為：EdYdYT=EPdXdXTPT=PEdXdXTPT(6)即 ()()()Cy=PCXPT(7)式中Cx是自變量的協(xié)方差矩陣；Cy是函數(shù)dY的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣中對(duì)角線元素是方差，非對(duì)角線元素為協(xié)方差。顯然，只要求出傳遞矩陣 P ,便可確定源誤差與欲求量誤差之間的關(guān)系。若給定各種源誤差，如發(fā)動(dòng)機(jī)安裝誤差、敏感器測(cè)量誤差或發(fā)動(dòng)機(jī)推力和點(diǎn)火時(shí)間等誤差時(shí)，便可以分析其對(duì)目標(biāo)軌道誤差的影響以及對(duì)控制系統(tǒng)精度的影響，進(jìn)一步對(duì)各系統(tǒng)及元部件提出適當(dāng)?shù)木纫?。?jì)算向月飛行軌道誤差的協(xié)方差迭代方程考慮到軌道參數(shù)的誤差之相對(duì)于軌道參數(shù)的標(biāo)稱值是小量，因此可以將軌道運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行線性化，從而得到能夠反映軌道參數(shù)偏差量的傳播關(guān)系的誤差方程。在應(yīng)用雙二體模型且在地球影響球范圍內(nèi)時(shí)，對(duì)軌道運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生攝動(dòng)影響的各項(xiàng)，如月球引力攝動(dòng)、太陽引力攝動(dòng)、大氣阻力攝動(dòng)和太陽光壓攝動(dòng)等對(duì)誤差方程的影響很小，因此在誤差方程中將它們忽略掉。反映軌道位置和速度誤差的線性化方程如下：vvamp。=Dv236。Drv239。182。gvv（8）237。Dvamp。=vDr239。182。rT238。uvvr，其中u197。為地球引力常數(shù)。式中 g(r)=197。3rr=rx2+ry2+rz2（9）寫成狀態(tài)方程形式：vvamp。246。230。0I246。230。Dr230。Dr246。231。247。231。247。231。=vv247。(10)231。Dv247。231。G0247。231。Dv247。amp。248。232。248。232。248。232。v182。g式中 G=vT182。rv230。0I246。230。Dr246。令F=231。v247。231。G0247。247。,X=231。231。Dv247。（11）232。248。232。248。則式（9）變?yōu)閍mp。=FX(12)X下面推導(dǎo)矩陣 F 的表達(dá)式：v182。g182。230。uv246。G=vT=vT231。3r247。182。r182。r232。r248。vv182。230。u197。246。230。u197。246。182。r=rvT231。3247。+231。3247。vT182。r232。r248。232。r248。182。rv233。182。230。u197。246。182。230。u197。246。182。230。u197。246。249。230。u197。246。=r234。231。3247。231。3247。231。3247。231。3I3247。182。rr182。rr182。r248。y232。248。z232。r248。248。234。235。x232。232。r（13）式中 r x，r y 和 r z 是探測(cè)器在地心慣性坐標(biāo)系里的軌道位置坐標(biāo)。則G=u197。3vvT(Irr)(14)332rr230。rx2rxry