【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 很大的貢獻(xiàn)：首先，邏輯主義者以集合論為基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)研究，為了避免悖論，他們必須做使邏輯嚴(yán)格化的工作，這就直接促進(jìn)了邏輯的數(shù)學(xué)化。所以，《數(shù)學(xué)原理》是用數(shù)學(xué)方法研究邏輯取得的高度成就，正是在這個(gè)意義上，它常被說(shuō)成是數(shù)理邏輯成熟的標(biāo)志。其次，羅素的理論對(duì)后來(lái)研究者產(chǎn)生重大影響，公理化集合論就是沿著他的方向發(fā)展起來(lái)的。羅素的分層思想對(duì)后來(lái)的數(shù)理邏輯學(xué)家也有極大的啟示:塔爾斯基就是沿著羅素開(kāi)辟的道路對(duì)語(yǔ)言進(jìn)行分層處理，對(duì)數(shù)理邏輯的發(fā)展做出重大貢獻(xiàn)。二 悖論與直覺(jué)主義學(xué)派與此同時(shí)，在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)這一研究領(lǐng)域中，出現(xiàn)了一種與邏輯主義完全對(duì)立的數(shù)學(xué)思想：把直覺(jué)當(dāng)作數(shù)學(xué)最根本的基礎(chǔ)，全然否認(rèn)數(shù)學(xué)構(gòu)造中有邏輯的作用，認(rèn)為所有的數(shù)學(xué)對(duì)象和定理都是從原始直覺(jué)出發(fā)能行地構(gòu)造出來(lái)的，這就是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問(wèn)題上的另一主要流派一一直覺(jué)主義。直覺(jué)主義者傾向于歡迎悖論的到來(lái)，因?yàn)殂Ｕ撍坪跏顾麄儤?lè)于去證明非直覺(jué)主義數(shù)學(xué)的虛弱。第一個(gè)對(duì)數(shù)學(xué)采取自覺(jué)的直覺(jué)主義的是德國(guó)數(shù)學(xué)家克隆尼克，但他并沒(méi)有對(duì)此進(jìn)行系統(tǒng)的闡述，所以沒(méi)有得到其他人的支持。他曾經(jīng)預(yù)言說(shuō)：“假如我不做這件事，追隨我的人也會(huì)去實(shí)行”，但追隨者并沒(méi)有很快出現(xiàn)。直到1901年羅素悖論的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)界出現(xiàn)了混亂，從而為直覺(jué)主義新的崛起創(chuàng)造了條件。1907年，直覺(jué)主義的代表人物布勞威爾在他的博士論文中初步制定了直覺(jué)主義綱領(lǐng)，他認(rèn)為要解決集合論悖論問(wèn)題，必須改變?nèi)藗儗?duì)一些邏輯基本法則，特別是排中律的絕對(duì)普適性認(rèn)識(shí)。從“存在必須等于被構(gòu)造”的要求出發(fā)，布勞威爾對(duì)邏輯法則的有效性進(jìn)行直接的分析：由于邏輯法則的應(yīng)用并不能保證相應(yīng)構(gòu)造的可實(shí)現(xiàn)性，因此邏輯法則在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用并不總是有效的。而且布勞威爾認(rèn)為經(jīng)典邏輯是從有限性對(duì)象中抽象出來(lái)的，不能無(wú)限制的推廣到無(wú)限對(duì)象，而悖論恰恰就出現(xiàn)在無(wú)限問(wèn)題上，而排中律只是在有限的領(lǐng)域內(nèi)起作用的法則，一涉及無(wú)限的領(lǐng)域，排中律便不再有效。所以，直覺(jué)主義者認(rèn)為實(shí)在無(wú)限觀念是悖論產(chǎn)生的深刻根源。因此，直覺(jué)主義正是從“數(shù)學(xué)活動(dòng)是一種心智構(gòu)造”出發(fā)，導(dǎo)致了對(duì)排中律的拒絕。其次，由于堅(jiān)持構(gòu)造性的立場(chǎng)，布勞威爾認(rèn)為數(shù)學(xué)直覺(jué)具有無(wú)可爭(zhēng)辯的可信性、可靠性，因而數(shù)學(xué)只要根基于其上，便可避免悖論的產(chǎn)生。所以直覺(jué)主義對(duì)已有的經(jīng)典數(shù)學(xué)采取否定態(tài)度，使已有的數(shù)學(xué)知識(shí)支離破碎。為什么直覺(jué)主義采取如此極端的手段呢?因?yàn)橹庇X(jué)主義者認(rèn)為：悖論在集合論中的出現(xiàn)不是偶然的事，實(shí)質(zhì)上是整個(gè)數(shù)學(xué)所感染的疾病的一個(gè)癥狀，即數(shù)學(xué)的“不可靠性”，如果不從根本上清除傳統(tǒng)數(shù)學(xué)，便不足以克服悖論。因此，直覺(jué)主義者不滿足于對(duì)已有數(shù)學(xué)的某些部分作一些限制性的限制和修改，而是要依據(jù)“可靠性”標(biāo)準(zhǔn)對(duì)已有數(shù)學(xué)進(jìn)行徹底的審查和改造。于是，直覺(jué)主義者對(duì)已有數(shù)學(xué)進(jìn)行了強(qiáng)烈的批判：他們認(rèn)為，已有的數(shù)學(xué)理論并不都是可靠的，因此必須按照某種更為嚴(yán)格的要求對(duì)此進(jìn)行全面審查，而且毫不猶豫的舍棄“不可靠”的概念和方法并代之以“可靠”的概念和方法。由此可見(jiàn)，直覺(jué)主義是要革傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的命。最后，直覺(jué)主義者雖然否定不符合構(gòu)造性要求的古典數(shù)學(xué)命題的有效性，但他們?nèi)匀徽J(rèn)為這些命題具有一定的啟發(fā)作用。因此直覺(jué)主義者就是依據(jù)“構(gòu)造性”標(biāo)準(zhǔn)來(lái)重建數(shù)學(xué)，即“直覺(jué)主義數(shù)學(xué)”。與邏輯主義不同的是布勞威爾是以自然數(shù)理論而不是以集合論為基礎(chǔ)開(kāi)展他的直覺(jué)主義數(shù)學(xué)理論的，并且直覺(jué)主義者也發(fā)展了自己的邏輯系統(tǒng)，直覺(jué)主義的命題演算系統(tǒng)和一階謂詞演算系統(tǒng)是由黑丁于1935和1956分別做出的。所以，直覺(jué)主義者避免悖論的方法事實(shí)上依賴十他們關(guān)十心靈之“構(gòu)造”這一含糊哲學(xué)，用“構(gòu)造”的思想構(gòu)建邏輯與數(shù)學(xué)系統(tǒng)。為了避免悖論，把“直覺(jué)上的可構(gòu)造性”作為數(shù)學(xué)“可靠性”的唯一標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)古典數(shù)學(xué)絕對(duì)否定，造成了數(shù)學(xué)的支離破碎，并目作為悖論的解決方案，這個(gè)要求已經(jīng)相當(dāng)弱了，但即使這個(gè)目標(biāo)也沒(méi)有完全達(dá)到。但我們不能否認(rèn)直覺(jué)主義者做出的貢獻(xiàn)，因?yàn)樗麄兊谝淮瓮暾亟⒘艘粋€(gè)構(gòu)造性的數(shù)學(xué)系統(tǒng)，而構(gòu)造性數(shù)學(xué)已經(jīng)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)理論的有機(jī)組成部分。而且由于人們和直覺(jué)主義的多次論戰(zhàn)，逐漸了解直覺(jué)主義的說(shuō)法在于注重能行性，因?yàn)闃?gòu)造的基本要求，即“能行性”。正是這種想法產(chǎn)生了能行性理論，從而促進(jìn)了數(shù)理邏輯的另一分支遞歸論的形成和發(fā)展。另外，形式主義學(xué)派的代表人物雖然對(duì)直覺(jué)主義者進(jìn)行批判，但在一定程度上接受了他們的構(gòu)造性思想，這對(duì)希爾伯特的形式化研究綱領(lǐng)起了至關(guān)重要的作用，而形式主義學(xué)派是我們將要討論的內(nèi)容。三 悖論與形式主義學(xué)派集合論中發(fā)現(xiàn)的悖論表明，甚至那些看上去簡(jiǎn)單并且自明的正確的基本原則也可能包含暗藏的矛盾。這使人們將注意力集中到一致性問(wèn)題上來(lái)。所以，為解決數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中出現(xiàn)的悖論問(wèn)題，形式主義采取了與邏輯主義和直覺(jué)主義不同的方法：他們企圖構(gòu)造一個(gè)無(wú)矛盾的，完備的，可判定的形式系統(tǒng)，數(shù)學(xué)的各個(gè)分支及所有證明全部形式化，使數(shù)學(xué)本身成為數(shù)學(xué)研究對(duì)象，以達(dá)到證明數(shù)學(xué)的一致性，從而避免了悖論，這就是著名的“希爾伯特規(guī)劃”。希爾伯特規(guī)劃的提出有一個(gè)較長(zhǎng)的歷史過(guò)程：1899年，希爾伯特在《集合基礎(chǔ)》這一著作中，不僅為數(shù)學(xué)提供了新的研究方法一一形式的公理化研究方法，同時(shí)還為數(shù)學(xué)開(kāi)辟了新的研究領(lǐng)域“元數(shù)學(xué)”，為“希爾伯特規(guī)劃”提出打下了基礎(chǔ)。由十1901年羅素悖論的發(fā)現(xiàn)，使希爾伯特把注意力放到數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上來(lái)。經(jīng)過(guò)認(rèn)真研究，希爾伯特不同意直覺(jué)主義拒斥大部分古典數(shù)學(xué)的主張，他認(rèn)為完全可以在保留現(xiàn)有數(shù)學(xué)成果的條件下解決悖論問(wèn)題，無(wú)須犧牲古典數(shù)學(xué)中有價(jià)值的部分。那么，怎樣解決悖論問(wèn)題呢?希爾伯特曾經(jīng)指出，如果要避免悖論，就必須在某種程度上同時(shí)進(jìn)行邏輯定律和算術(shù)定律的研究。這種研究的目的即證明數(shù)學(xué)理論的相容性(無(wú)矛盾勝)，因?yàn)槿绻麛?shù)學(xué)理論的相容性得到了證明，悖論就自然排除了，這也是所謂的“海德堡計(jì)劃”。在該計(jì)劃中，希爾伯特第一次提出應(yīng)把數(shù)學(xué)證明本身作為數(shù)學(xué)研究對(duì)象的思想，創(chuàng)建了數(shù)理邏輯的第一個(gè)分支“證明論”的思想，開(kāi)了把數(shù)學(xué)理論系統(tǒng)作為對(duì)象的“元數(shù)學(xué)”的先河。1922年作為對(duì)直覺(jué)主義向古典數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)的回應(yīng)，希爾伯特提出了基礎(chǔ)研究規(guī)劃：首先將數(shù)學(xué)理論組織成形式系統(tǒng)，然后再用有限的方法證明這一系統(tǒng)的無(wú)矛盾性。這一規(guī)劃可以看成是證明論思想的進(jìn)一步發(fā)展和深化。盡管希爾伯特對(duì)直覺(jué)主義進(jìn)行批判，但在一定程度上接受了他們的構(gòu)造性思想，只不過(guò)這種構(gòu)造性是對(duì)證明論(元數(shù)學(xué))的要求。這種思想體現(xiàn)在1925年《論無(wú)限》中，希爾伯特與直覺(jué)主義者相仿，認(rèn)為絕對(duì)可靠性只存在于有限的范疇，為保證數(shù)學(xué)的可靠性，避免悖論的出現(xiàn)，必須堅(jiān)持“有限性”的立場(chǎng)。(但是，他認(rèn)為可以把非有限的成分作為“理想元素”引入到數(shù)學(xué)中，不但使證明簡(jiǎn)化，還使排中律法則得以保存。)所以，希爾伯特把數(shù)學(xué)分成兩個(gè)不同部分：“真實(shí)的數(shù)學(xué)”和“理想元素”。由于理想數(shù)學(xué)認(rèn)為是不具有意義的，希爾伯特提出必須把理想數(shù)學(xué)組織成形式系統(tǒng)的思想。在形式系統(tǒng)中，把數(shù)學(xué)對(duì)象徹底的符號(hào)化和演算化，這樣就可以保留古典數(shù)學(xué)的成果。但為保證理想元素不會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤，必須對(duì)這種工具的構(gòu)造進(jìn)行徹底研究，即證明形式系統(tǒng)的一致性，這也是證明論思想的進(jìn)一步深化。這樣，希爾伯特就站在有限性的立場(chǎng)上，企圖通過(guò)將數(shù)學(xué)理論形式公理化并證明形式系統(tǒng)的一致性來(lái)避免悖論的產(chǎn)生，并保住現(xiàn)存數(shù)學(xué)的全部成果。所以，希爾伯特的最終目標(biāo)是構(gòu)造一個(gè)無(wú)矛盾的、可判定的、完備的、范疇性的形式系統(tǒng)，其中可證命題集恰好與直覺(jué)上為真的數(shù)學(xué)命題集相對(duì)應(yīng)，而上述證明又可以在一個(gè)僅僅包含一般遞歸函數(shù)，性質(zhì)和關(guān)系的算術(shù)部分中得出，即可以用有限的方法實(shí)現(xiàn)，這就是希爾伯特規(guī)劃的目地。希爾伯特對(duì)此計(jì)劃充滿信心，并目斷言，要得出形式化算術(shù)系統(tǒng)無(wú)矛盾性證明為期不遠(yuǎn)了。后來(lái)幾年形勢(shì)確如他愿，1928年希爾伯特和他的學(xué)生阿克曼用有限性方法證明了一階邏輯的相容性，邁出了重大一步。于是，希爾伯特說(shuō)出了與直覺(jué)主義觀點(diǎn)針?shù)h相對(duì)的名言：“要想從數(shù)學(xué)家手中奪走排中律，就像奪去天文學(xué)家的望遠(yuǎn)鏡或禁止拳擊家用拳頭一樣?！弊鳛殂Ｕ摰囊环N解決方案考慮，如果希