【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 ___ 和 __ ______ 統(tǒng) 稱整式 和 次數(shù)最高的項(xiàng) 單項(xiàng)式 單項(xiàng)式 多項(xiàng)式 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 2 同類項(xiàng)、合并同類項(xiàng) 名稱 概念 防錯(cuò)提醒 同 類 項(xiàng) 所含字母 __ ______ ，并且相同字母的指數(shù)也分別________ 的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)，幾個(gè)常數(shù)項(xiàng)也是同類項(xiàng) 同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，也與字母的排列順序無(wú)關(guān)，如－ 7 xy 與 yx是同類項(xiàng) 合 并 同 類 項(xiàng) 把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng)叫做合并 同類項(xiàng)，合并同類項(xiàng)后，所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和， 字母部分不變 只有同類項(xiàng)才能合并，如 x2＋ x3不能合并 相同 相同 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 3 整式的運(yùn)算 類別 法則 整式的加減 整式的加減實(shí)質(zhì)就是 ____________ ．一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng) 同底數(shù)冪相乘 底數(shù)不變， 指數(shù)相加 . 即： am178。 an＝ ________( m ， n 都是整數(shù) ) 冪的乘方 底數(shù)不變，指數(shù)相乘 . 即： ( am)n＝ ________( m ， n 都是整數(shù) ) 積的乘方 等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘．即： ( ab )n＝ ________( n 為整數(shù) ) 冪 的 運(yùn) 算 同底數(shù)冪相除 底數(shù)不變，指數(shù)相減 . 即： am247。 an＝ ________( a ≠ 0 ， m ， n 都為整數(shù) ) 合并同類項(xiàng) am＋ n amn anbn am－ n 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式 單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 就 是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 m ( a ＋ b ＋ c ) ＝ma ＋ mb ＋ mc 整 式 的 乘 法 多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘 先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加，即 ( m ＋ n )( a ＋ b ) ＝ ma ＋ mb ＋ na ＋ nb 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 把系數(shù)與同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式，對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式 整 式 的 除 法 多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式 先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以這個(gè)單項(xiàng)式，然后把所得的商相加 平方差公式 ( a ＋ b )( a － b ) ＝ __________ 完全平方公式 ( a 177。 b )2＝ __________ ( 1) a2＋ b2＝ ____________ ＝____________ 乘 法 公 式 常用恒 等變換 ( 2) ( a － b )2＝ ( a ＋ b )2－ 4 ab a 2－ b 2 a 2177。 2 ab ＋ b 2 ( a ＋ b ) 2－ 2 ab ( a － b ) 2 ＋ 2 ab 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 4 因式分解的概念 定義 把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè) ________ 的形式，像這樣的式子變形，叫做多項(xiàng)式的因式分解 因 式 分 解 防錯(cuò)提醒 ( 1 ) 因式分解專指多項(xiàng)式的恒等變形； ( 2 ) 因式分解的結(jié)果必須是幾個(gè)整式的積的形式 。 ( 3 ) 因 式分解與整式乘法互為逆變形 整式的積 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 考點(diǎn) 5 因式分解的相關(guān)概念及基本方法 公 因 式 定義 一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式 定義 一般地，如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)都有公因式，可以把這個(gè)公因式提到括號(hào)外面，將多項(xiàng)式寫成因式的乘積形式，即 ma ＋ mb ＋ mc ＝ _____ __ __ _ 提 取 公 因 式 法 應(yīng)用注意 (1) 提公因式時(shí)，其公因式應(yīng)滿足： ① 系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)； ② 字母取各項(xiàng)相同字母的最低次冪； (2) 公因式可以是數(shù)字、字母或多項(xiàng)式； (3) 提取公因式時(shí)，若有一項(xiàng)全部提出，括號(hào)內(nèi)的項(xiàng)應(yīng)是 “1” ，而不是 0 m ( a ＋ b ＋ c ) 第 3講 ┃ 考點(diǎn)聚焦 平方差公式 a2－ b2＝ __ ___ ___ ___ __ 運(yùn)用公式法 完全平方公式 a2＋ 2 ab ＋ b2＝ _______ ___ a2－ 2 ab ＋ b2＝ _______ ___ 因式分解的一般步驟 一提 ( 提取公因式 ) ；二套 ( 套公式法 ) ；一直分解到不能分解為止 ( a ＋ b )( a － b ) ( a ＋ b ) 2 ( a － b ) 2 第 3講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 同類項(xiàng) 命題角度： 1. 同類項(xiàng)的概念； 2. 由同類項(xiàng)的概念通過(guò)列方程組求解同類項(xiàng)的指數(shù)中字母的值． [ 2021 雅安 ] 如果單項(xiàng)式－12xay2與13x3yb是同類項(xiàng)，那么 a ， b 的值分別為 ( ) A ． 2 ， 2 B ．－ 3 ， 2 C ． 2 ， 3 D ． 3 ， 2 D [ 解析 ] 依題意知兩個(gè)單項(xiàng)式是同類項(xiàng)，根據(jù)相同字母的指數(shù)相同列方程，得 a = 3 , b = 2 . 第 3講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 同類項(xiàng)必須符合兩個(gè)條件：第一所含字母相同，第二相 同字母的指數(shù)相同，兩者缺一不可 ． ( 2 ) 根據(jù)同類項(xiàng)概念 —— 相同字母的指數(shù)相同，列方程 ( 組 )是解此類題的一般方法 ． ? 類型之二 整式的運(yùn)算 第 3講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 整式的加減乘除運(yùn)算； 2. 乘法公式 ． [ 2021 湛江 ] 下列運(yùn)算中，正確的是 ( ) A ． 3 a2－ a2＝ 2 B ． ( a2)3＝ a5 C ． a3178。 a6＝ a9 D ． ( 2 a2)2＝ 2 a4 C [ 解析 ] A 是合并同類項(xiàng)應(yīng)為 2 a 2 ； B 為冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘，故不正確； C 是同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變， 指數(shù)相加，正確； D 是積的乘方與冪的乘方綜合運(yùn)用，不正確． 第 3講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 進(jìn)行整式的運(yùn)算時(shí)，一要注意合理選擇冪的運(yùn)算法則，二要注意結(jié)果的符號(hào) ． ( 2 ) 不要把同底數(shù)冪的乘法和整式的加減法混淆，如a3 a5 ＝ a8和 a3＋ a3＝ 2 a3. ( am)n和 an am也容易混淆 ． ( 3 ) 單項(xiàng)式 的除法關(guān)鍵：注意區(qū)別 “ 系數(shù)相除 ” 與 “ 同底數(shù)冪相除 ” 的含義，如 6 a5247。 3 a2＝ ( 6247。 3 ) a5 － 2＝ 2 a3 , 一定不能把同底數(shù)冪的指數(shù)相除 ． 第 3講 ┃ 歸類示例 [ 2021 杭州 ] 化簡(jiǎn)： 2 [ ( m － 1) m ＋ m ( m ＋ 1 ) ] [ ( m －1) m － m ( m ＋ 1 ) ] ．若 m 是任意整數(shù)，請(qǐng)觀察化簡(jiǎn)后的結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)原式表示一個(gè)什么數(shù)？ 解： 2 [( m － 1 ) m ＋ m ( m ＋ 1 )][( m － 1 ) m － m ( m ＋ 1 )] ＝ 2 ( m2－ m ＋ m2＋ m )( m2－ m － m2－ m ) ＝－ 8 m3. 原式＝ ( － 2 m )3，表示 3 個(gè)－ 2 m 相乘 ． 第 3講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 對(duì)于整式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，要充分理解其運(yùn)算法則，注意運(yùn)算順序，正確應(yīng)用乘法公式以及整體和分類等數(shù)學(xué)思想 ． ( 2 ) 在應(yīng)用乘法公式時(shí)，要充分理解乘法公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分析是否符合乘法公式的條件 ． ? 類型之三 因式分解 第 3講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1 ． 因式分解的概念； 2 ． 提取公因式法因式分解； 3 ． 運(yùn)用公式法因式分解： ( 1) 平方差公式； ( 2) 完全平方公式． [ 2021 無(wú)錫 ] 分解因式 ( x － 1)2 － 2( x － 1) ＋ 1 的結(jié)果是 ( ) A ． ( x － 1) ( x － 2 ) B . x2 C ． ( x ＋ 1)2 D . ( x － 2)2 D [ 解析 ] 首先把 x － 1 看做一個(gè)整體，觀察發(fā)現(xiàn)符合完全平方公式，直接利用完全平方公式進(jìn)行分解． 第 3講 ┃ 歸類示例 ( 1 ) 因式分解時(shí)有公因式的要先提取公因式，再考慮是否應(yīng)用公 式法或其他方法繼續(xù)分解 ． ( 2 ) 提公因式時(shí)，若括號(hào)內(nèi)合并的項(xiàng)有公因式應(yīng)再次提取；注意符號(hào)的變換 y － x ＝－ ( x － y ) ， ( y － x )2＝ ( x － y )2. ( 3 ) 應(yīng)用公式法因式分解時(shí)，要牢記平方差公式和完全平方式及其特點(diǎn) ． ( 4 ) 因式分解要分解到每一個(gè)多項(xiàng)式不能再分解為止 ． ? 類型之四 整式運(yùn)算與因式分解的應(yīng)用 第 3講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 整式的有關(guān)規(guī)律性問(wèn)題； 2. 利用整式驗(yàn)證公式或等式； 3. 新定義運(yùn)算； 4. 利用因式分解進(jìn)行計(jì)算與化簡(jiǎn)； 5. 利用幾何圖形驗(yàn)證因 式分解公式 ． 第 3講 ┃ 歸類示例 [ 2021 寧波 ] 用同樣大小的黑色棋子按如圖 3 － 1所示的規(guī)律擺放： 圖 3 － 1 ( 1 ) 第 5 個(gè)圖形有多少顆黑色棋子？ ( 2 ) 第幾個(gè)圖形有 2021 顆黑色棋子？請(qǐng)說(shuō)明理由 ． 第 3講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] ( 1 ) 根據(jù)圖中所給的黑色棋子的顆數(shù)，找出其中的規(guī)律，即可得出答案； (2 ) 根據(jù) ( 1) 所找出的規(guī)律，列出式子，即可求出答案． 解： ( 1 ) 第一個(gè)圖需棋子 6 顆， 第二個(gè)圖需棋子 9 顆， 第三個(gè)圖需棋子 12 顆， 第四個(gè)圖需棋子 15 顆， 第五個(gè)圖需棋子 18 顆， ? 第 n 個(gè)圖需棋子 3 ( n ＋ 1 ) 顆 ． 答：第 5 個(gè)圖形