高中數(shù)學(xué)必修五海倫公式探究(編輯修改稿)
2024-10-26 20:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 c)]tanA/2tanB/2tanC/2=ptanA/2tanB/2tanC/2=r∴p^2r^2tanA/2tanB/2tanC/2=pr^3∴S^2=p^2r^2=(pr^3）/(tanA/2tanB/2tanC/2）=p(pa)(pb)(pc)∴S=√p(pa)(pb)(pc)第三篇：海倫公式的證明與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1cos^2 C)=1/2*ab*√[1(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2c^2)(2aba^2b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2c^2][c^2(ab)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)]設(shè)p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, pa=(a+b+c)/2, pb=(ab+c)/2,pc=(a+bc)/2,上式=√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)/16]=√[p(pa)(pb)(pc)]所以，三角形ABC面積S=√[p(pa)(pb)(pc)]第四篇：海倫公式原理簡介原理簡介我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”，它與海倫公式基本一樣。假設(shè)在平面內(nèi)，有一個三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得：S=√[p(pa)(pb)(pc)]而公式里的p為半周長：p=(a+b+c)/2——————————————————————————————————————————————注1：“Metrica”(《度量論》)手抄本中用s作為半周長，所以S=√[p(pa)(pb)(pc)] 和S=√[s(sa)(sb)(sc)]兩種寫法都是可以的，但多用p作為半周長。——————————————————————————————————————————————由于任何n邊的多邊形都可以分割成n2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。編輯本段證明過程 證明（1）與海倫在他的著作“Metrica”(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設(shè)三角形的三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，則余弦定理為cosC =(a^2+b^2c^2)/2abS=1/2*ab*sinC=1/2*ab*√(1cos^2 C)=1/2*ab*√[1(a^2+b^2c^2)^2/4a^2*b^2] =1/4*√[4a^2*b^2(a^2+b^2c^2)^2] =1/4*√[(2ab+a^2+b^2c^2)(2aba^2b^2+c^2)] =1/4*√[(a+b)^2c^2][c^2(ab)^2] =1/4*√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)] 設(shè)p=(a+b+c)/2 則p=(a+b+c)/2, pa=(a+b+c)/2, pb=(ab+c)/2,pc=(a+bc)/2，上式=√[(a+b+c)(a+bc)(ab+c)(a+b+c)/16]=√[p(pa)(pb)(pc)]所以，三角形ABC面積S=√[p(pa)(pb)(pc)] 證明（2）我國宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了“三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣，其實(shí)在《九章算術(shù)》中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土地面積時，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，我國著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了“三斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自乘而得一個數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為“隅”，開平方后即得面積。所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p為“隅”，q為“實(shí)”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2)/2 ]^2}當(dāng)P＝1時，△ 2＝q，△=√1/4{a^2*c^2[(a^2+c^2b^2)/2 ]^2} 因式分解得△ ^2=1/16[4a^2c^2(a^2+c^2b^2)^2] =1/16[(c+a)^2b ^2][b^ 2(ca)^ 2] =1/16(c+a+b)(c+ab)(b+ca)(bc+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c2b)(b+c+a2a)(b+a+c2c)=1/16 [2p(2p2a)(2p2b)(2p2c)] =p(p
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