【文章內(nèi)容簡介】 單元和提高計算速度。 12 第三章 牛頓 — 拉夫遜法潮流分布計算 牛頓 — 拉夫遜法 (簡稱牛頓法 )在數(shù)學(xué)上是求解非線性代數(shù)方程式的有效方法，其要點是把非線性方程式的求解過程變成反復(fù)地對相應(yīng)的線 性方程式進行求解的過程，即通常所稱的逐次線性化過程 [1]。 牛頓 — 拉夫遜法簡介 牛頓 — 拉夫遜法簡介 牛頓 — 拉夫遜法（ Newton— Raphson 法）是求解非線性方程代數(shù)方程組的有效迭代計算方法。在牛頓 — 拉夫遜法的每一次迭代過程中，對非線性方程通過線性化處理逐步近似。下面以單變量加以說明。 設(shè)有單變量非線性方程 ( ) 0fx? (31) 求解 此 方程 時 。先 給出 解 的近 似 值 (0)x 它與 真解 的 誤差 為 (0)x? ，則(0 ) (0 )x xx? ?? 將滿足方程，即 ( 0 ) ( 0 )( ) 0f xx? ? ? (32) 將 (38)式左邊的函數(shù)在 (0)x 附近展成泰勒級數(shù)，于是便得 239。 39。39。 ( )( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( 0) ( 0)( ) ( ) ( ) ( ) ...... ( ) ....2 ! !( ) ( )nnff nxxf f fx x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ??? （ 33） 式中 39。 (0)()f x ,…… () (0)nf x 分別為函數(shù) ()fx在 (0)x 處的一階導(dǎo)數(shù)， … .， n 階導(dǎo)數(shù)。 如果差值 (0)x? 很小， 39 式右端 (0)x? 的二次及以上階次的各項均可略去 。于是，39 便簡化為 39。( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( )ff fx x x x x? ? ? ? ?＝ 0 (34) 13 這是對于變量的修正量 (0)x? 的現(xiàn)行方程式，亦稱修正方程式。解此方程可得修正量 ( 0 )( 0 )39。 ( 0 )()()f xx f x? ? ? (35) 用所求的 (0)x? 去修正近似解，變得 ( 0 )( 1 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )39。 ( 0 )()()f xx x x x f x? ? ? ? ? (36) 由于 310 是略去高次項的簡化式，因此所解出的修正量 (0)x? 也只是近似值。修正后的近似解 (1)x 同真解仍然有誤差。但是，這樣的迭代計算可以反復(fù)進行下去，迭代計算的通式是 ()( 1 ) ( )39。 ()()()kkkkf xxx f x? ?? (37) 迭代過程的收斂判據(jù)為 () 1()kf x ?? (38) 或 () 2kx ??? (39) 式中 1? ， 2? 為預(yù)先給定的小正數(shù)。 這種解法的幾何意義可以從圖 3－ 1 得到說明。函數(shù) y＝ f(x)為圖中的曲線。 f(x)＝ 0 的解相當于曲線與 x 軸的交點 。如果第 k 次迭代中得 到 ()kx ，則過()( ) ( ), ( )kkkfyxx???????點作一切線，此切線同 x 軸的交點便確定了下一個近似值 ( 1)kx? 。由此可見，牛頓－拉夫遜法實質(zhì)上就是切線法，是一種逐步線性化的方法。 應(yīng)用牛頓法求解多變量非線性方程組 31 時，假定已給出各變量的初值1(0)x，2(0)x… . (0)nx，令1(0)x?，2(0)x?， … .. (0)nx?分別為各變量的修正量，使其滿足方程 32 即 14 1 1 1 2 22 1 1 2 21 1 2 2( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0......( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , .. .. , ) 0nnnnn nnf x x x x x xf x x x x x xf x x x x x x? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ??? (310) 將上式中的 n 個多元函數(shù)在初始值附近分別展成泰勒級數(shù) ,并略去含有 )0(1x? ，)0(2x? ， …… ， )0(nx? 二次及以上階次的各項，便得 1 1 10 0 01 1 2 1 2121 1 10 0 02 1 2 1 212101 2 11( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ... 0( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ... 0......( 0) ( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )| | || | ||nnnnnnn nf f ff x x x x x xx x xf f ff x x x x x xx x xff x x x xx? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ??1100 22( 0) ( 0)... 0||nnffxxxx???????????? ? ? ? ? ?? ???. (311) 方程式 317 也可以寫成矩陣形式 1 1 10 0 0121 122 2 22 12 0 0 012120 0 012...( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , ) ............ ... ... ...( 0) ( 0) ( 0)( , , ... , )...| | || | || | |nnnnn nn n nnf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x? ? ? ??? ? ???????? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??12( 0)( 0)...( 0)nxxx??? ???? ??? ??????? ???? ?????????? (312) 方程式 318 是對于修正量 )0(1x? ， )0(2x? ， …… ， )0(nx? 的線性方程組 ,稱為牛頓法 15 的修正方程式 .利用高斯消去法或三角分解法可以解出修正量 )0(1x? ， )0(2x? ， …… ，)0(nx? 。然后對初始近似值進行修正 (1) ( 0) ( 0)i i ix x x? ? ? (i=1,2,… .,n) (313) 如此反復(fù)迭代，在進行 k＋ 1 次迭代時，從求解修正方程式 1 1 1121 122 2 22 12121212...( ) ( ) ( )( , , ... , )( ) ( ) ( )( , , ... , ) ............ ... ... ...( ) ( ) ( )( , , ... , )...| | || | || | |k k knnn k k knn nn n nk k knk k kk k kk k kf f fx x xfx x xf f ff x x xx x xf x x xf f fx x x? ? ? ??? ? ???????? ? ??????? ? ? ?????? ? ? ?? ? ??12()()...()nkkkxxx??? ???? ??? ??????? ???? ?????????? (314) 得到修正量1()kx?，2()kx?， ()nkx?，并對各變量進行修正 ( 1 ) ( ) ( )i i ik k kx x x? ? ? ? (i=1,2,… ,n) (315) 式 320 和 321 也可以縮寫為 ? ? )()()( kkk xJxF ??? (316) 和 )()()1( kkk xxx ???? (317) 式中的 X 和 X? 分別是由 n 個變量和修正量組成的 n 維列向量； F(X)是由 n 個多元函數(shù)組成的 n 維列項量； J 是 n 階方陣，稱為雅可比矩陣，它的第 i、 j 個元素iijifJ x???是第 n 個函數(shù)12( , ,... , , )nif x x x對第 j 個變量jx的偏導(dǎo)數(shù)；上角標 (k)表示 J 陣的每一個元素都在點, ,()( ) ( )( .. ., )12i kkk nf xxx處取值。迭代過程一直到滿足收斂判據(jù) ? ?112( ) ( ) ( )m a x ( , , . . . , )i nk k kf x x x ?? (318)或 16 ? ? 2()m ax ikx ??? (319) 為止。1?和2?為預(yù)先給定的小正數(shù)。 將牛頓－拉 夫遜法用于潮流計算，要求將潮流方程寫成形如方程式 31 的形式。由于節(jié)點電壓可以采用不同的坐標系表示，牛頓－拉夫遜法潮流計算也將相應(yīng)的采用不同的計算公式。 牛頓 — 拉夫遜法的幾何意義 從幾何意義上，牛頓 — 拉夫遜法實質(zhì)上就是切線法，是一種逐步線性化的方法。 圖 31 牛頓－拉夫遜方法的幾何意義 牛頓 — 拉夫遜法計算潮流分布 以下討論的是用直角坐標形式的牛頓 — 拉夫遜法潮流的求解過程。當采用直角坐標時，潮流問題的待求量為各節(jié)點電壓的實部和虛部兩個分量，由于平衡節(jié)點的 電壓 17 向量是給定的，因此待求量共 2(n1)需要 2(n1)個方程式。事實上，除了平衡節(jié)點的功率方程式在迭代過程中沒有約束作用以外，其余每個節(jié)點都可以列出兩個方程式。 功率方程可以寫為 ni ji i i i i ijjiS P jQ U I U Y U? ? ??? ? ? ? ? （ 320） 也可以寫成 0nji i i ijjiP jQ U Y U???? ? ?? （ 321） 根據(jù)節(jié)點電壓的兩種不同表示方法，可以得到兩種不同的牛頓 — 拉夫遜法潮流計算方法。鑒于本次的設(shè)計題目，現(xiàn)只對節(jié)點電壓以直角坐標表示時的牛頓 — 拉夫遜法潮流計算做以下介紹。 節(jié)點電壓以直角坐標表示，即 i i iU e jf?? ， ie 為節(jié)點電壓實部，