山東大學(xué)管理學(xué)院線性代數(shù)42相似矩陣(編輯修改稿)
2024-10-22 22:27 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 矩陣,判定定理2.n階矩陣A與對角矩陣相似的充要條件是對于每一個ni重特征值λi有n個線性無關(guān)的特征向量。 （即（λiI－A）X＝0的基礎(chǔ)解系有ni個）,例. 已知 能對角化, 求An(n?1).,解: 先求A的特征方程,由此可見A有三個特征值, λ1=0, λ2=λ3=1. 因為A能夠?qū)腔? 必須對應(yīng)于重根λ2=λ3=1有兩個線性無關(guān)的特征向量, 對于特征值λ= 1時（λΙ－A）Y＝0為,對其系數(shù)矩陣作行初等變換,可以看出如果此齊次方程要有兩個線性無關(guān)的基礎(chǔ)解系, 就必須有兩個自由變量, y3已經(jīng)是一個自由變量, 因此需要y2也是自由變量, 這就要求上面矩陣的第二行全為零, 即x+2=0,得x=2,此時,這時候, A能對角化, 所以存在方陣 T 使,上式兩邊同時左乘 T 及右乘 T1 可得,又,∴,例 2 設(shè)有矩陣,(1) 問矩陣 A 是否可對角化, 若能, 試求可逆 矩陣 P 和對角矩陣 ? , 使 P1AP = ? . (2) 使 P1AP = ? 成立的 P 、 ? 是否唯一， 舉例說明.,解,單擊這里求特征多項式和特征值,（1） 矩陣 A 的特征多項式為,當(dāng),時, 解方程組,即,所以 A 的三個特征值分別為:,單擊這里開始求解,解之得基礎(chǔ)解系為,所以,是對應(yīng)于,的特征向量.,當(dāng),時, 解方程組,即,解之得基礎(chǔ)解系為,所以,是對應(yīng)于,的特征向量.,單擊這里開始求解,當(dāng),時, 解方程組,即,所以,是對應(yīng)于,的特征向量.,解之得基礎(chǔ)解系為,單擊這里開始求解,因為,線性無關(guān),即三階矩陣 A 有三個線性無關(guān)的特征向量, 所以,令,則,單擊這里求逆,矩陣 A 可對角化.,此時,且有 P1AP = ? .,（2） 使 P1AP = ? 成立的 P、 ? 不唯一. 如,若取,則,此時,亦有 P1AP = ? .,單擊這里求逆,例 3 判定下列矩陣是否相似于對角矩陣,若相似, 則求出可逆矩陣 P , 使 P1AP 是對角矩陣.,矩陣 A 是個對角線上的元素相同的上,三角矩陣, 注意任何對角矩陣、上下三角矩陣的特征,值都是其對角線上的元素, 所以此題 A 的特征值為,使
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