山東大學(xué)管理學(xué)院線性代數(shù)42相似矩陣(編輯修改稿)
2024-10-22 22:27 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 矩陣,判定定理2.n階矩陣A與對(duì)角矩陣相似的充要條件是對(duì)于每一個(gè)ni重特征值λi有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。 （即（λiI－A）X＝0的基礎(chǔ)解系有ni個(gè)）,例. 已知 能對(duì)角化, 求An(n?1).,解: 先求A的特征方程,由此可見A有三個(gè)特征值, λ1=0, λ2=λ3=1. 因?yàn)锳能夠?qū)腔? 必須對(duì)應(yīng)于重根λ2=λ3=1有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 對(duì)于特征值λ= 1時(shí)（λΙ－A）Y＝0為,對(duì)其系數(shù)矩陣作行初等變換,可以看出如果此齊次方程要有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的基礎(chǔ)解系, 就必須有兩個(gè)自由變量, y3已經(jīng)是一個(gè)自由變量, 因此需要y2也是自由變量, 這就要求上面矩陣的第二行全為零, 即x+2=0,得x=2,此時(shí),這時(shí)候, A能對(duì)角化, 所以存在方陣 T 使,上式兩邊同時(shí)左乘 T 及右乘 T1 可得,又,∴,例 2 設(shè)有矩陣,(1) 問(wèn)矩陣 A 是否可對(duì)角化, 若能, 試求可逆 矩陣 P 和對(duì)角矩陣 ? , 使 P1AP = ? . (2) 使 P1AP = ? 成立的 P 、 ? 是否唯一， 舉例說(shuō)明.,解,單擊這里求特征多項(xiàng)式和特征值,（1） 矩陣 A 的特征多項(xiàng)式為,當(dāng),時(shí), 解方程組,即,所以 A 的三個(gè)特征值分別為:,單擊這里開始求解,解之得基礎(chǔ)解系為,所以,是對(duì)應(yīng)于,的特征向量.,當(dāng),時(shí), 解方程組,即,解之得基礎(chǔ)解系為,所以,是對(duì)應(yīng)于,的特征向量.,單擊這里開始求解,當(dāng),時(shí), 解方程組,即,所以,是對(duì)應(yīng)于,的特征向量.,解之得基礎(chǔ)解系為,單擊這里開始求解,因?yàn)?線性無(wú)關(guān),即三階矩陣 A 有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量, 所以,令,則,單擊這里求逆,矩陣 A 可對(duì)角化.,此時(shí),且有 P1AP = ? .,（2） 使 P1AP = ? 成立的 P、 ? 不唯一. 如,若取,則,此時(shí),亦有 P1AP = ? .,單擊這里求逆,例 3 判定下列矩陣是否相似于對(duì)角矩陣,若相似, 則求出可逆矩陣 P , 使 P1AP 是對(duì)角矩陣.,矩陣 A 是個(gè)對(duì)角線上的元素相同的上,三角矩陣, 注意任何對(duì)角矩陣、上下三角矩陣的特征,值都是其對(duì)角線上的元素, 所以此題 A 的特征值為,使
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1