【文章內容簡介】 1 sFsFtfLtfLtfL ???? 例 求 t?cos 及 t?sin 的拉氏變換。 解：根據歐拉公式 tjte tj ??? s inc o s ?? tjte tj ??? s inc o s ??? 則 )(21c os tjtj eet ??? ??? )(21s in tjtj eejt ??? ??? 又根據拉普拉斯變換的線性性質，有 ? ? ? ? ? ?tjtj eLeLtL ??? ??? 2121c os ? ? )( 1 ?? jseL tj ?? ， ? ? ?? jseL tj ??? 1 所以 ? ?2222 )(2 )()()(2 1)(2 1c os ?? ????? ??? ???????? s ss jsjsjsjstL 同理 ? ?2222 )(2 2)( 121)( 121s i n ??????? ?????????? ssj jjsjjsjtL 例 已知 tetf 21)( ??? ，求 )(tf 的拉氏變換。 解：應用線性性質，則 )2( 2211)]([)( ?????? sssstfLsF （ 2） 微分性質 若 ? ? )()( sFtfL ? ，則 )0()()( fssFtfdtdL ???????? 例 已知 mttf ?)( ， m 為整數，求 )(tf 的拉氏變換。 《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 13 解：由于 0)0()0()0( )1( ????? ?mfff ??，且 !)()( mtf m ? ，由拉氏變換微分性質得 ? ? ? ?)()()( tfLstfL mm ? ，又因 ? ? ? ? smmLtfL m !!)()( ?? 故 ? ? ? ? 1)( !)()( ??? mmm smstfLtfL (3) 積分性質 若 ? ? )()( sFtfL ? ，則 ? ?0)()()( ??? ?? tsdttfssFdttfL 例 已知 ?? ktdttf sin)( ， k 為實數，求 )(tf 的拉氏變換。 解：根據拉氏變換的積分性質得 ? ? ? ??? ktd tLtfL sin)( =s1 L? ?ktsin )( 22 kss k?? (4) 延遲性質 如圖 2－ 4－ 1 所示，原函數沿時間軸平移 τ， f (t) f (t) 平移后的函數為 f (tτ )。該函數滿足下述條件 f (tτ ) t0 時， f (t)=0 tτ時 , f (tτ )=0 0 τ t 若 L[f(t)]= F(s)， 則 圖 2－ 4－ 1 L[f (t?)]=es? F(s) ， ）（ 0?? 例 求函數 ??? ???? ??? tttu ,1 ,0)(的拉氏變換。 解：由延遲性質得： ? ? ? ? setLetuL ss ??? ?? ??? )(1)( (5) 位移性質 若 ? ? )()( sFtfL ? ，則 )()]([ asFtfeL at ??? 例 求 te at ?sin? 的拉氏變換。 解：因為 22][s in ??? ?? stL 《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 14 故 22)(]s in[ ??? ???? asteL at 例 求下面各圖所示函數的拉氏變換。 f (t) f (t) T2 2a a 0 T 2T 3T t 0 2T T t 圖 2－ 4－ 2 圖 2－ 4－ 3 解： 圖 2－ 4－ 2 可表示成如下時間函數： )3(12)2(1)()(1)( TtaTtTTtTatatf ????????? 利用延遲性質， 求得 f (t)的拉氏變換為 TsTsTs esaeTs aeTs asasF 3222 12)( ??? ???? 圖 2－ 4－ 3 三角波可表示為 )(4)2(84)(222 TtTTtTtTtf ????? 利用延遲性質，求得 f (t)的拉氏變換為 )21(4484)( 222222222 TssTTsTs eesTesTesTsTsF ???? ?????? (6) 時間尺度性質 若 )()]([ sFtfL ? ，則 01)]([ ???????? aasFaatfL (7) 初值定理 若 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim ssFs ??存在，則 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st ??? ?? (8) 終值定理 若 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim tft ??存在，則 )(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ??? 例 已知 F(s)= as?1 ,求 f(0)和 f (? )。 《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 15 解：由初值定理和終值定理可得 )(lim)0( ssFfs ???=asss ??? 1lim=1 ??? ? )(lim)( 0 ssFf s asss ?? 1lim0 =0 例 已知 F(s)= 22 1as ?， 求 f(0)和 f (? )。 解：由初值定理得 0lim)0( 22 ??? ?? as sf S 由于 jas ?? 是 )(ssF 的奇點 ，位于虛軸上，不能應用終值定理，既 )(?f 不存在。 例 (1) 拉氏變換的數學表達式為（ ）。 ① dtetf st?????)( ； ② dtetf tj??????)( ； ③ dtetf st??0)( ； ④ dtetf st???0)( 。 答： ④ 。 (2) 已知誤 差函 數)12( 1)( 2 ???? sss ssE， 則由 終值 定理可 知其 穩(wěn)定 誤差?? ?? )(lim tee tss （ ）。 ① 1 ； ② ∞ ； ③ 0 。 答： 1)12( 1l i m)(l i m 20 ??????? ??? sss sstee stss，所以選擇 ① 。 (3) 已知函數 ttetf 52)( ??? 的拉氏變換為（ ）。 ① 2)5( 12 ?? ss； ② sess 5212 ??； ③ 2)5( 12 ?? ss； ④ 511 ??ss 。 答：依據線性性質和位移性質選擇 ① 。 (4) 圖所 示函數的拉氏變換為（ ）。 a 0 τ t 圖 ① sa ； ② ses ??1 ； ③ sesa ?? ； ④ sesa? 。 答：因為 )()( ??? tatx ，依據延遲性質， )(tx 的拉氏變換為 sesa ?? 。所以選擇 ③ 。 《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 16 (5) 已知541)( 2 ??? sssF，其原函數 )(tf 為（ ）。 ① te t sin2? ； ② tet sin2 ； ③ te t 2sin? ； ④ tet cos2 。 答：由于1)2( 1541)( 22 ?????? ssssF，其原函數為 tetf t sin)( 2?? 所以選擇 ① 。 拉氏反變換 。 拉氏反變換的定義 部分分式法 例 已知23 3)( 2 ???? ss ssF，求 ?)( ?tf 解：因 )(21),2)(1(23)( 2 sFsssssssD 是和 ?????????? 的一階極點，可得 21)( 21 ???? sCsCsF 式中 21)1()2)(1(31 ????????sssssC 12)2()2)(1(32 ?????????sssssC 所以 )0(2)( 2 ??? ?? teetf tt 。 例 已知)1(10)( ?? sssF 。 （ 1） 用終值定理，求 ??t 時的 f(t)的值。 （ 2） 通過取 F（ s）的拉氏反變換，求 ??t 時 f(t)的值。 解：方法 1，由終值定理知： 方法 2，利用部分分式法將 )(sF 改寫成 11010)1( 10)( ?????? sssssF 則可知 )(sF 的拉氏反變換為 10)1( 10l i m)(l i m)(l i m 00 ???? ???? sssssFtf sst《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 17 tetf ??? 1010)( 則 1010lim10)(lim ??? ????? ttt etf 例 已知 2)2( 1)( ?? ssF 。 （ 1）利用初值定理求 )0(f 和 )0(f? 的值。 （ 2）通過取 F(s)的拉氏反變換求 )(tf ，并求 )(tf? 及 )0(f 和 )0(f? 。 解：（ 1） 0)2(l i m)(l i m)(l i m)0( 20 ?????? ????? s ssFstff sst 因為 ? ? )0()()0()0()()()( 220fsFsffssFsdtetftfL st ?????????? ??? ???? 兩邊取極限 s→∞ ， 0)0()(l i m)(l i m 20?????????? ?? ?????? ? fsFsdtetf ssts 所以 1)2(l i m)(l i m)0( 222 ????? ???? s ssFsf ss （ 2） F(s)的拉氏反變換為 ttetf 2)( ?? ，則 )21()( 2 tetf t ?? ?? 0)0( 02 ?? ?? ttetf 1)21()0(02 ??? ?? tt tef? 可見，兩種方法結果相同。 例求 61)(2 ???? ss ssF的拉氏反變換。 解： 部分分式法： 23)2)(3( 161)( 212 ?????? ???? ?? s Cs Css sss ssF 其中 52)3()2)(3( 1 31 ???? ?? ??ssss sC 53)2()2)(3( 1 22 ???? ?? ?ssss sC 《機電控制工程基礎》書面輔導（ 16） 安慶電大 程曦 18 所以 )21(53)31(52)( ???? sssF 因此 )(sF 的拉氏反變換為 ? ?tt eesLsLssLsFLtf231111535221533152))2(1(53))3(1(52)()(?????????????????????????????????? 第 2章 輔導 機械系統(tǒng) 機械旋轉系統(tǒng)如圖所示。為一圓柱體被軸承支撐并在黏性介質中轉動。當力矩作用于系統(tǒng)時，產生角位移。求該系統(tǒng)的微分方程 式。 解 根據牛頓第二定律，系統(tǒng)的諸力矩之和為 22s )()()(TT (t ) dt tdJtTt d ??? 式