【文章內(nèi)容簡介】 )x r x rx r x r??? ， 0,1, , 12Nr ?? 則將 DFT 化為 1 1 10 0 0( ) ( ) ( ) + ( )N N Nnk nk nkn n nnnX k x n x n x nN N NW W W? ? ?? ? ???? ? ?為 偶 數(shù) 為 奇 數(shù) = 11222 ( 2 1 )00( 2 r ) ( 2 r +1 )NNrk r krrxxNNWW?? ?????? 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 11 = 1122120212( r ) ( r )( ) ( )NNrk rkkNrrxxNNWWW??????? 利用系數(shù)的可約性，即 2 2NNWW? ，上式可表達為： 11221 2 1 200 22( ) ( r ) ( r ) ( ) ( )( ) ( )NNrk rkkkNNrrX k x x X k X kNNWWWW????? ? ? ???（ 26） 中 1()Xk與 2()Xk分別是 1(r)x 及 2(r)x 的 2N 點 DFT: 1211 20( ) ( r )NrkNrX k x W??? ? 1222 20( ) ( r )NrkNrX k x W??? ? （ 26） 式只得到的是 ()Xk 的 前一半項數(shù)的結(jié)果 ,要用 1()Xk與 2()Xk式來表達全部 ()Xk 值 ,還要用到系數(shù)的周期性 ,即 ()222NrkrkNNWW?? 這樣可得到 1122 ()21 1 1 12200( ) ( r ) ( r ) ( )2NN Nrk rkNNrrNX k x x X kWW?? ???? ? ? ??? 同理可得 : 22( ) ( )2NX k X k?? 又由于 ( ) 22Nr k N k kN N N NW W W W? ? ? ? 前半部分 X(k) 12( ) ( ) ( )kNX k X k X kW?? 0,1 , 12Nk?? 后半部分 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 12 ()212( ) ( ) ( )2 2 2NkNN N NX k X k X kW ?? ? ? ? ? = 12( ) ( )kNX k X kW? 0,1 , 12Nk ?? 用蝶形信號流圖符號表示： 1()Xk212( ) ( )kNX k X kW?( ) ( )kNX k X kW?kNW1? 圖 21 選法蝶形運算 采用這種方法，并依次分解下去最后兩個輸入組成一個蝶形算法，下圖為 N=8 的情況 圖 22 按時 間抽選法 FFT 運算流圖 倒序算法： 由上圖看出，按原位計算時， FFT 的輸出 ()Xk 是按照正常順序排列在存河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 13 儲單元中的，但是這時的輸入 ()xn 卻不是按自然順序存儲的，而是俺看起來好像是“混亂無序”的 ，實際上是有規(guī)律才，我們稱之為倒位序。造成倒位序的原因是輸入 ()xn 按標號 n 的奇偶不斷分組。 如下圖，我們必須先將輸入按照這個規(guī) 律，調(diào)整順序。 2 1 0( , , )x n n n00000111110n 1n 2n ( 000)x (100 )x ( 010)x (110 )x ( 001 )x (10 1 )x( 011 )x (11 1 )x 圖 23 位序的樹狀圖 rNW 的確定 ： r 的求解方法如下： 蝶形運算兩節(jié)點中的第一個節(jié)點標號值，即 K 值，乘上 2LM? ， M 為第 M 級運算， L 為總級數(shù)。 由以上分析，我們用 C 語言來實現(xiàn) ，程 徐流程圖如下圖 34 所示 。 輸 入 序 列倒 位 序 算 法第 m 級 蝶 形 算 法此 級 第 n 次 蝶 形 算 法n = n + 1m = m + 12mNn ?mL?序 列 輸 出 2LN ? 圖 24 基 2 按 時間抽選 FFT 流程圖 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 14 3 濾波器設計及實現(xiàn) 濾波器按所處理的信號可分為模擬濾波器和數(shù)字濾波器。按所通過信號的頻段可分為：低通 ﹑ 高通 ﹑ 帶通 ﹑ 帶阻濾波器。 本章我們所討論的是數(shù)字濾波器，數(shù)字濾波器也有低通 ﹑ 高通 ﹑ 帶通 ﹑帶阻濾波器四種形式。而后三種濾波器可以通過低通濾波器數(shù)學變換得到，所以我們重點討論數(shù)字低通濾波器的實現(xiàn)。 而數(shù)字濾波器按實現(xiàn)形式不同可分為無限長單位沖激響應（ IIR）濾波器和有限長單位沖激響應 (FIR)濾波器，下面分別介紹，并實現(xiàn)。 IIR 濾波器的設計及 MATLAB 仿真 無限長濾波器有 以下幾個特點： (1) 系統(tǒng)的單位沖激響應是無限長的； (2) 系統(tǒng)函數(shù)在有限 z 平面上有極點； (3) 結(jié)構(gòu)上存在著輸出到輸入的反饋； 其實現(xiàn)形式 有四種：直接 I 型 ﹑ 直接 II 行 ﹑ 級聯(lián)型和并聯(lián)型四種。實現(xiàn)時我們多用級聯(lián)型，下面只對其介紹 。 數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可以分解為以下形式： 12121( ) ( )1 kk kkkzzH z A A H z?????????????? 其級聯(lián)結(jié)構(gòu)如下 圖 41 所示。 圖 31 級聯(lián) IIR 結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡 11?? ?1?z][kx ][ky21 L1?? 1?1?z L22河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 15 級聯(lián)的特點是調(diào)整系數(shù)就能單獨調(diào)整濾波器的零極點，而不影響其他零極點，所以這種結(jié)構(gòu)便于 準確實現(xiàn)濾波器零極點和調(diào)整濾波器頻率響應的性能。 數(shù)字濾波器往往是由模擬濾波器離散化得來的，利用模擬濾波器設計數(shù)字濾波器步驟如下 : (1) 將給定的數(shù)字濾波器的性能指標，按某一變換轉(zhuǎn)換成相應的模擬濾波器的性能指標。 (2) 如果要設計的不是數(shù)字低通濾波器，則還需要將 (1)中變換得到的相應的高通 ﹑ 帶通 ﹑ 帶阻模擬濾波器性能指標變換成模擬濾波器的性能指標。 (3) 用所得到的模擬低通濾波器的性能能指標，利用某種模擬濾波器的逼近方法，設計查表求得此模擬低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)，以它作為設計數(shù)字濾波器的“樣本”。 (4) 利用與步驟 (1) ﹑ (2)中的變換規(guī)則，將此作為“樣本”的模擬原型低通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)最終變換成所需的數(shù)字各型濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 模擬原型濾波器的設計有多種方法，例如巴特沃茲濾波器，切比雪夫濾波器等等。這里我們選用巴特沃茲濾波器。將模擬濾波器變換成數(shù)字濾波器有以下方法： 沖激響應不變法 ﹑ 階躍響應不變法 ﹑ 雙線性變換法。 本節(jié)將利用巴特沃茲，雙線性變換來設計一個低通數(shù)字濾波器： (1) 由所給指標，求得最低巴特沃茲低通濾波器的階數(shù) N； (2) 由 N 值求系統(tǒng)極點，將系統(tǒng)函數(shù)表示成級聯(lián)形式 ； (3) 利用雙線性變換，查表得到數(shù)字濾 波器的系統(tǒng)函數(shù)； (4) 用 matlab 來驗證所得到的數(shù)字濾波器系統(tǒng)函數(shù)的正確性； N 為偶數(shù)時，巴特沃茲系統(tǒng)函數(shù)可表示如下： 2222211( ) ( )212 c os( )22NNcakkkccH s H skss? ???? ?? ? ? ? ??? N 為奇數(shù)時，巴特沃茲系統(tǒng)函數(shù)可表示如下： 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 16 112222211( ) ( )212 c os( )22NNcakkkccH s H skssss ? ???????? ???? ? ? ? ??? 將以上兩式進行雙線性變換時有兩種情況： 一階系統(tǒng)的變換：因為此式一階系統(tǒng)較為固定，且只在 N 為奇數(shù)時才出現(xiàn)，其雙線性變換為： 111(1 ) (1 )zc z c???? ? ? 二階系統(tǒng)的變換：因為上面兩式大部分都可表示為二階系 統(tǒng)級聯(lián)的形式，這種形式也利于編程實現(xiàn)，且二階系統(tǒng)的雙線性變換可以查表，可以將 表示成： 22 1 022 1 0()a d s d s dHs e s e s e??? ?? 212 1 021() 1A z A z AHz B z B z????? 其中系數(shù)之間的對應關(guān)系有表可查。 下面是用 C 語言編程實現(xiàn)計算出技術(shù)指標為：抽樣頻率為 10khz，頻率為 1khz 時幅度值下降 1dB，在頻率為 時衰減為 15dB 時的 系數(shù)： 經(jīng)求得，巴特沃茲系統(tǒng)函數(shù)為： 182 3 6 2 3 6 2 3 61 2 . 0 9 2 3 1 4 1 0() ( 3 . 6 4 0 0 3 1 0 4 9 . 4 5 0 5 1 0 ) ( 9 . 9 4 4 7 5 1 0 4 9 . 4 5 0 5 1 0 ) ( 1 3 . 5 8 4 7 8 1 0 4 9 . 4 5 0 5 1 0 )aHs s s s s s s?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 雙線性變換后的系數(shù)如下圖 32 所示。 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 17 圖 32 雙線性變換后的系數(shù) 用計算機計算好了系數(shù)后，用 matlab 程序驗證如下： 圖 33 幅值頻率特性 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 18 圖 34 域 相位頻率特性 圖 35 域幅值頻率特性 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 19 圖 36 域相位頻率特性 FIR 濾波器 的設計 及 MATLAB 仿真 IIR 濾波器雖然易于實現(xiàn)，在相同的技術(shù)質(zhì)變下， IIR 濾波器由于存在著輸出到熟入的反饋，所以可用比 FIR 濾波器較少的階數(shù)來滿足指標的要求，但是其相位的非線性十分嚴重。而 FIR 濾波器可以得到嚴格的線性相位，在數(shù)據(jù)傳輸以及圖像處理等要求具有線性相位的系統(tǒng)中有廣泛的應用。 有限長濾波器有以下幾個特點： (1) 系統(tǒng)的單位沖激響應在有限個 n值處不為零； (2) 系統(tǒng)函數(shù)在除原點的 z 平面處收斂，且只有零點； (3) 結(jié)構(gòu)上主要是非遞歸結(jié)構(gòu)，沒有輸出到輸入的反應； 其實現(xiàn)形式有橫截 I 型（卷積型），級聯(lián)型 ， 頻率抽樣型 和線性相位型 。這里我們選用 線性相位 型 ，下面我們只對其介紹。 河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 20 我們知道，如果 FIR 濾波器單位沖激響應為實數(shù)，且滿足一下的條件 偶對稱： ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? 奇對稱： ( ) ( 1 )h n h N n? ? ? ? 則這種 FIR 濾波器就具有嚴格線性相位。 FIR 濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 : 10( ) ( )N nnH z h n z? ???? 當 N 為奇數(shù)時 : 121122( 1 )001( ) ( ) ( ) ( 1 )2 NNNn N nnnNH z h n z h z h N n z??? ?? ? ? ????? ? ? ? ??? 代入相位奇偶關(guān)系 : 121 12( 1 )01( ) ( ) [ ] ( )2 NN n N nnNH z h n z z h z ?? ? ?? ? ? ???? ? ?? 結(jié)構(gòu)圖如圖 37 所示。 圖 37 N 為奇數(shù)時線性相位 FIR 濾波器的直接型結(jié)構(gòu) 當 N 為偶數(shù)時 : 1122( 1 )00( ) ( ) ( 1 )NNn N nnnH z h n z h N n z??? ? ? ???? ? ? ??? 代入相位奇偶關(guān)系 : 12( 1 )0( ) ( ) [ ]Nn N nnH z h n z z? ? ? ? ????? 1z]2 3[ ?Mh ]2 1[ ?Mh?x [ k ]y [ k ]h [ 0 ] h [ 1 ] h [ 2 ]? 1? 1? 1??1z z 1?zz 1?z河南工大學畢業(yè)設計（論文）說明書 21 結(jié)構(gòu)圖如下 圖 38 所示。 圖