【文章內容簡介】 () 11o c c iu u i d t u d tC R C? ? ? ? ? ??? () 其中 RC 為積分時間常數(shù)。 對于一個電路系統(tǒng)的分析，其實質就是建立描述這一系統(tǒng)特性的數(shù)學模型并求出其解。在建立數(shù)學模型方面常使用的方法主要有兩種：第一 種是輸入輸出法，俗稱端口法，第二種就本節(jié)介紹的狀態(tài)變量分析法。對于端口法，它只關心系統(tǒng)的輸入和輸出之間的關系，主要是研究系統(tǒng)激勵與響應之間的直接關系，并不涉及系統(tǒng)的內部變量的情況。這種方法一般用在單輸入、單輸出系統(tǒng)中。但是隨著系統(tǒng)復雜化，輸入與輸出有時是多個的，有時還要了解系統(tǒng)內部的情況 ，這時候狀態(tài)變量分析法就比較適用。 狀態(tài)變量分析法采用兩組方程來描述系統(tǒng)： (1)狀態(tài)方程，它描述系統(tǒng)內部狀態(tài)變量與激勵之間的關系； (2)輸出方程，它描述系統(tǒng)的響應與狀態(tài)變量和激勵的關系。 與端口法比較，狀態(tài)變量分析法主 要有以下兩個方面的優(yōu)點：第一，從應用范圍上看狀態(tài)變量分析法不僅可以應用于線性時不變系統(tǒng)，還可以經(jīng)過推廣應用于線性時變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)，第二，它除了能解出系統(tǒng)的響應外，還提供了系統(tǒng)內部的情況，使我們能同時觀測并處理幾個狀態(tài)變量，以滿足一定的設計要求。 系統(tǒng)的狀態(tài)實質上是指系統(tǒng)的儲能狀態(tài)，對于不具備儲能元件的系統(tǒng)，也就無狀態(tài)可言。一個動態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)是表示系統(tǒng)的一組最少變量。只要知道 t=0t 時這組變量和t0t 時系 統(tǒng)的激勵，那么就可以確定系統(tǒng)在任何 t0t 時刻的全部工作情況。該組變量的每一個分量稱為狀態(tài)變量。 系統(tǒng)的狀態(tài)可用一組狀態(tài)矢量來描述，狀態(tài)矢量可以表示成矩陣形式，如下所示： 12()()()....()nxtxtXtxt? ?? ?? ??? ?? ?? ?? 用狀態(tài)變量分析法來分析電路時，一般分兩步進行：第一步選定狀態(tài)變量，并列出用狀態(tài)變量描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程，它建立了狀態(tài)變量和激勵之間的關系，與此同時還要蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 建立響應和激勵關系的輸出方程；第二步是用系統(tǒng)的初始狀態(tài)及激勵求取狀態(tài)方程及輸出方程的解 。 對于較簡單的電路系統(tǒng)，可以采用直觀法列寫狀態(tài)方程，基本步驟總結如下： (1)選擇狀態(tài)變量。一般要注意選擇的狀態(tài)變量之間一定要相互獨立。 (2)列寫基本方程。此步驟 較為簡單，一般根據(jù) Kirchhoff 電壓電流定理，有幾個狀態(tài)變量寫幾個基本方程。 (3)消去非狀態(tài)變量。在基本方程中會出現(xiàn)一些變量，他們既不是狀態(tài)變量也不是已知量，所以要找出它們和狀態(tài)變量之間的關系，用狀態(tài)變量將他們消去。這也是所有步驟中最難的一步。 (4)整理方程。 對于非線形電路狀態(tài)方程的建立與以上步驟類似，只是對電路中的非線性元件要進行 特性分析，例如非線性電阻的實現(xiàn)方法，若這個電阻是分段連續(xù)變化的，也就是在任何時候都不發(fā)生跳變，就可以把這個非線性電阻看成分段的線性電阻，對其特性方程進行分段描述。 （二）蔡氏電路的 研究 Lorenz 系統(tǒng)和 Chua 系統(tǒng)是研究混沌研究領域中具有里程碑意義的兩個著名系統(tǒng)。早在 20世紀 60 年代初期， Lorenz 發(fā)現(xiàn)了第一個混沌吸引子，成為了后人研究混沌理論的出發(fā)點和基石。 1983 年， 提出了著名的 Chua 電路，首次將混沌與電路這兩個不同的領域聯(lián)系起來，成為了研究混沌電路的一個范例 。 蔡氏電路一直是在非線性電路中產(chǎn)生復雜動力學行為最為有效而簡單的混沌。 1983年，在日本蔡少棠目睹了在基于洛倫茲方程的模擬電路中產(chǎn)生混沌現(xiàn)象的實驗，于是他也試圖提出一個能夠產(chǎn)生混沌的電子電路。他意識到在分階段性電路中，如果能夠提供至少兩個不穩(wěn)定的平衡點（一個提供伸長，另一個折疊軌跡），就可以產(chǎn)生混沌。懷著這種想法，他系統(tǒng)地證明了那些含有簡單的由電壓控制非線性電阻的三階分段性電路能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象。證明了電壓控制非線性電阻 R 的驅動點特征應符合至少兩個不平衡點的要求，于是，他發(fā)現(xiàn)了蔡氏電路。 簡介 蔡氏電路是美國貝克萊（ Berkeley）大學的蔡少棠教授（ ）設計的能蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 產(chǎn)生混沌行為的最簡單的一種自治電路。該電路并不唯一。蔡氏電路在非線性系統(tǒng)及混沌研究中，占有極為重要的地位。最初發(fā)現(xiàn)的蔡氏電路實際上是同性質的某一組電路中的一個 ,這類電路被命名為“蔡氏振蕩器” ,從而將這一普適性電路與最初定義的“蔡氏電路”加以區(qū)別 。 蔡氏電路因其簡潔性和代表性而成為研究非線性電路中混沌的典范。其電路圖和伏安特性曲線如下圖 ： 圖 蔡氏電路及其伏安特性曲線圖 由圖 可推出電路的狀態(tài)方 程為：)())(/1()/(C 1121 1 VcgVcVcRdtd V c ??? () 2 ))(/1()/( 122 LiVcVcRdtd V cC ??? () )()/( 02 LL iRVcdtdiL ???? () 其中 Li 流經(jīng)電感的電流， 1cV 、 2cV 分別為 1C 、 2C 兩端的電壓， R 、 0R 分別為兩電阻的電阻值。 1()cgV 為非線性電阻的電導，它是一個三段線性的分段線性函數(shù)： 0 1 1 0 11 1 1 ,0 1 1 0 1( ) ,( ) 1( ) ,ccccccm V E m m V Eg V m V Vc Em V E m m V E? ? ???? ?? ? ? ?? () 也可以寫成： 1 0 1 1 0 1 11( ) ( )2c c c cg V m V m m V E V E? ? ? ? ? ? ? ??? () 蔡氏電路是由電 阻電容和電感及蔡氏二極管組成的三階自治電路，在滿足以下條件時能夠產(chǎn)生混沌現(xiàn)象： 蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） (a)非線性元件不少于 1個； (b)線性有效電阻不少于 1個； (c)儲能元件不少于 3個。 符合以上標準的最簡單電路，典型蔡氏 混沌 電路。蔡氏電路的運動形態(tài)因元件參數(shù)值的不同而有本質的不同，可以把電路元件參數(shù)值看作控制參數(shù)而使蔡氏電路工作在不同的狀態(tài)。 當 R為線性電阻時， g為常數(shù)，電路為一般振蕩電路，此時把 C1和 C2兩端的電壓分別輸入到示波器的 x,y軸，顯示的圖形是橢圓形；當 R為非線性負電阻時，其伏安特性，此時把 C1和 C2兩端的電壓分 別輸入到示波器的 x,y軸，調節(jié) g的值就會觀察到不同的混沌現(xiàn)象。而接下來要做的就是通過各個非線性元件來實現(xiàn)此非線性負電阻，不斷地改變電阻 R的數(shù)值，可以得到各種周期相圖和吸引子。 （ 3）蔡氏電路的模型 蔡氏電路是能產(chǎn)生混沌行為最簡單的自治電路，所有應該從三階自治常微分方程描述的系統(tǒng)中得到的 混沌現(xiàn)象 能夠在蔡氏電路中通過計算機仿真和示波器觀察到。蔡氏電路雖然簡單，但其中蘊含著豐富和復雜的非線性現(xiàn)象。不須改變電路系統(tǒng)結構，只調整控制參數(shù) R，就能獲得電路系統(tǒng)不同狀態(tài)的響應輸出信號。 自治動力系統(tǒng)產(chǎn)生混沌現(xiàn)象需要以下條 件：系統(tǒng)至少有三個狀態(tài)變量，并且存在一定的非線性環(huán)節(jié)。蔡氏電路使用三個儲能元件和一個分段線性電阻，電路如圖 所 示。可以把電路分為線性部分和非線性部分。其中線性部分包括：電路 R、電感 L（含內阻 r）和兩個電容 1C 和 2C ；非線性部分只有一個分段線性電阻 nR ，其伏安特性如圖 所示，非線性電阻采用如圖 所示的電路進行線性化處理。 圖 蔡氏電路 圖 蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 圖 非線性 電阻等效電路 非線性電阻伏安特性 電路圖中選用的具體參數(shù)為： ??10r ， nFC 101 ? ， nFC 1002 ? ， mHL 20? ，??? 30021 RR ， kR ? ， kRR ?? ， kRR 4776 ?? ， VVV Ec 1??? ，運放采用 741LM ，二極管采用 IN4148，為了調節(jié)混沌現(xiàn)象出現(xiàn)的條件， R 采用可變電阻，調節(jié)范圍為 0到 3k。下面分析圖 中非線性電阻的伏安特性： 二極管 1D 和 2D 都截止時， A 和 B 點的電壓為： ? ?644 RRRVV EA ??? （ ） ? ?755 RRRVV CB ??? （ ） 當 ? ?BDC VVEV ???1 時，其中 DV 為二極管導通電壓， 1CV 為電容 1C 兩端的電壓。 1D 截止，蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 2D 導通 ： ? ?312510 //1/ RRRRVim C ??? （ ） 當 EVC ?1 時， 21,DD 截止： ? ?31211 // RRRVim C ??? （ ） 當 EVC ?1 時， 1D 導通， 2D 截止： ? ? 0312412 //1/ mRRRRVim C ???? （ ） 這樣就可以得到如圖 所示的非線性電阻伏安特性?？梢酝ㄟ^調節(jié)電阻 R 的阻值來改變 1CV 的大小，非線性電阻中的運放 LM741 工作在線性放大區(qū)域中，由它及其相連的電阻組成線性負阻，運放本身并沒有產(chǎn)生非線性。 蔡氏電路（圖 3． 5）的電路模型為： ? ? ? ? ? ?? ? ? ??????????????????2122211211CLLCCCCCCCVdtdiLiRVVVdtdCViRVVVdtdC （ ） 其中 2CV 為電容 2C 兩端的電壓， Li 為通過電感 L的電流。 設計 通過使用 仿真 工具搭建一個典型的蔡氏電路，并用工具中自帶的示波器對其進行測量，并期望達到理論的效果。 混沌系統(tǒng)所依據(jù)的非線性方程有很多，從當今電子電路的現(xiàn)狀和發(fā)展來看，可以提供給我們的電路設計手段也有很多。利用模擬電子電路來設計非線性動力系統(tǒng)是相對容易的，運用一些簡單常見的基本電路單元就可以設計出很多靈活多樣的非線性混沌電路系統(tǒng)。一般來說，人們從模擬電路中運用電路理論提取電路狀態(tài)方程，然后把電路狀態(tài)方程進行處理得到一般的數(shù)學模型，再以數(shù)學模型為基礎運用一些易于實現(xiàn)的電子電路來設計相應的混沌電路，所以在設計的過程中我們離不 開非線性單元電路，通過這些基蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 本的非線性單元電路，我們能夠實現(xiàn)混沌電路。 按照器件特性形狀和特點，可以把器件分成時不變線性器件、時變線性器件、時不變非線性器件和時變非線性器件。廣義的說，器件的非線性是絕對的，而其線性是相對的，非線性器件種類很多，歸納起來，可分為非線性電阻、非線性電容和非線性電感三類。從目前的研究來看，人們主要通過時間延遲，擾動輸入，復雜系統(tǒng)等方法產(chǎn)生混沌信號，每一種方法都有自己的優(yōu)點和不足之處，實際上常常因為系統(tǒng)復雜 (比如神經(jīng)網(wǎng)絡 )難以操作、電路本身的缺陷、非線性器件太多精確度難以把握、穩(wěn)定 性不高同步難度大、頻帶范圍小、制作成本高等原因所以大部分混沌系統(tǒng)設計成混沌信號產(chǎn)生器是不現(xiàn)實的。 隨著電子技術的發(fā)展，從電路的設計這個角度來考慮，應該在混沌理論分析的基礎上，將狀態(tài)方程中的各種理論參數(shù)數(shù)值通過某種對應關系的變換 。這種用理論指導電路設計的方法，是最終解決用電路實驗證實產(chǎn)生混沌吸引子具有可行性的關鍵技術所在。利用這種方法獲得的電路參數(shù)具有較高的準確性，可進一步用于指導硬件電路的設計與實驗。這些電路參數(shù)設計值的準確性很高，當電路設計完成后，很多電路實驗都只需對某些元件的參數(shù)值稍微作一點調試的情況下 ，便可獲取所需的硬件實驗結果。對于一個己知的混沌系統(tǒng)，要想實現(xiàn)相應的 混沌 電路，可以用運算放大器組成的運算電路來描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 本文引用了一個典型的蔡氏電路 ,并對其進行研究。 圖 蔡氏二極管 蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 圖 蔡氏二極管的伏安特性 它相當于兩個非線性 1NR 和 2NR 電阻的并聯(lián)。圖 給出 1NR 和 2NR 電路及其伏安特性。 (a) 1NR 電路 (b) 2NR 電路 (c) 1NR 伏安特性 (d) 2NR 伏安特性 圖 兩個非線性電阻及其伏安特性 蘭州交通大學畢業(yè)設計（論文） 由于兩電阻是并聯(lián)，故電壓是相等的。 1i 和 2i